Базис. Разложение вектора по базису.

Векторы и скаляры. Линейные действия над векторами.

Вектором а, называется множество всех направленных отрезков, имеющих одинаковую длину и направление. О всяком отрезке АВ из этого множества говорят, что он представляет вектор а . Длина отрезка АВ называется длиной (модулем) вектора а и обозначается символом |a|=|AB|. Модуль вектора – это скаляр.

Вектор нулевой длины, называется нулевым вектором и обозначается символом О. Векторы а и в, называются коллинеарными если они параллельны одной прямой. Векторы, параллельные одной плоскости, называются компланарными.

В b

Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru

a C

А

Два вектора называются равными, если они имеют одинаковый модуль, параллельны и направлены в одну и ту же сторону.

       
  Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru   Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru

a b

К линейным действиям над векторами относятся их сложение и умножение вектора на скаляр.

Пусть направленный отрезок АВ представляет вектор а. Приложив к точке В заданный вектор в, получим некоторый направленный отрезок ВС. Вектор, представляемый направленным отрезком АС, называется суммой векторов а и в и обозначается а + в. Суммой векторов а+в+с называется вектор R=OC, замыкающий ломаную ОАВС построенную

из данных векторов.

В частности, в параллелограмме, построенном на данных векторах ОА=а и ОВ = в, один вектор – диагональ ОС есть сумма а+в, а другой ВА есть разность а-в. Если дан вектор а=АВ, то вектор ВА называется противоположным вектором к вектору а и обозначается – а. Очевидно, что а+(-а)= 0. Вычесть какой - либо вектор – это значить прибавить противоположный. Отсюда следует, что в + (а - в)=в + [в + (-в)]=а+0=а.

Система векторов аֽ..., аnназывается линейно-зависимой, если существуют числа λ1 , ..., λn такие, что хотя бы одна из них отлично от нуля и λ1 а1 + ...+ λn аn =0. В противном случае система называется ли Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru нейно – независимой.

Проекция вектора.

Пусть вектор а составляет угол φ с осью Ох. Тогда проекция вектора на эту ось определяется формулой пре ≤ |а| · cosφ.

Проекция суммы векторов на ось равна сумме проекцией составляющих векторов на ту же ось:

Пре (а + в)=преа + прев.

Пусть даны точки А(x11,z1) и В(х22,z2). Проекция вектора а=АВ на оси координат: прx АВ=X=х21

Прy АВ=Y=у21 (1)

Прz АВ=Z=z2-z1

т.е а = {х21; у21; z2-z1}

Базис. Разложение вектора по базису.

Если е1, е2, е3 – базисы, то а = х1е12е23 е3 (2)

Числа х1, х2, х3 называются координатами вектора а в базисе β=(е123). Запись (2) называют также разложением вектора а по базису β.

Скалярным произведением двух векторов Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru и Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла φ между ними: ( Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru ) = Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru = | Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru |×| Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru |×cosφ

Скалярное произведение обладает следующими основными свойствами:

  1. Скалярное произведение двух векторов не зависит от порядка этих сомножителей (переместительное свойство): Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru = Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru
  2. Распределительное свойство. ( Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru + Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru ) Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru = Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru + Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru .
  3. Скалярный квадрат вектора равен квадрату модуля этого вектора, т. е. Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru 2= | Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru |2
  4. Скалярный множитель можно выносить за знак скалярного произведения, т. е. (λ Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru ) = ( Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru , λ Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru ) = λ( Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru )
  5. Скалярное произведение линейной комбинации векторов на произвольный вектор равно такой же линейной комбинации данных векторов на этот вектор, т. е. (λ Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru + μ Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru , Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru ) = λ( Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru , Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru ) + μ( Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru , Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru )

Косинус угла φ= Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru ( Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru ) между двумя ненулевыми векторами Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru и Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru равен cosφ= Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru .

Два вектора Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru и Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru перпендикулярны тогда и только тогда, когда Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru

Пусть Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru =ax Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru + ay Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru + az Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru и Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru =bx Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru + by Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru + bz Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru , тогда Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru =axbx+ayby+azbz, здесь учтены, что Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru = Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru = Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru = 0 и Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru = Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru = Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru = 1

Поэтому косинус угла φ между двумя векторами Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru и Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru определяется cosφ= (axbx+ayby+azbz)/ (| Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru || Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru |)

Для перпендикулярных векторов Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru и Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru имеем φ=π/2 и, следовательно, cosφ=0, или axbx+ayby+azbz=0.

Под векторным произведением двух векторов Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru и Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru понимается вектор Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru = Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru × Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru =[a.b], для которого:

1. Модуль равен площади параллелограмма, построенного на данных векторах, т.е. |c| = |a | |b|sinφ,где φ=∟( Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru ), (0≤φ≤π) (рис 4.1);

Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru рис 4.1

2. Этот вектор перпендикулярен перемножаемым векторам, т. е. Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru и Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru ;

3. Если векторы неколлинеарные, то векторы Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru , Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru образуют правую тройку векторов.

Основные свойства векторного произведения.

1. При изменении порядка сомножителей векторное произведение меняет свой знак на обратный, сохраняя модуль, т. е. Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru × Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru =-( Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru × Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru )

2. Векторный квадрат равен нуль-вектору, т. е. Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru × Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru =0

3. Скалярный множитель можно выносить за знак векторного произведения, т. е. если λ-скалярное, то (λ Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru × Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru ) = ( Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru ×λ Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru ) = λ( Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru × Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru )

4. Для любых трёх векторов a,b,c справедливо равенство ( Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru + Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ruБазис. Разложение вектора по базису. - student2.ru =( Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru )+( Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru )

Необходимым и достаточным условием коллинеарности двух векторов Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru и Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru : Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru × Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru =0

Пусть Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru =ax Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru + ay Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru + az Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru и Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru =bx Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru + by Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru + bz Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru , тогда

Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru × Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru = Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru | ay az| - Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru | ax az| + Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru | ax ay|

| by bz| |bx bz| | bx by |

Для удобства последняя формула записывается в виде определителя третьего порядка

| Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru |

Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru × Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru = | ax ay az|

|bx by bz|

Под смешанным произведением Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru и Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru понимается число Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru

Построим параллелепипед (рис 4.2), Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru

рис 4.2

Ребрами которого, исходящего из общей вершины О, являются векторы Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru и Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru . Тогда | Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru × Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru |=S представляет собой площадь параллелогромма, построенного на векторах Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru и Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru , т. е. площадь основания параллелипипеда. Высота этого параллелипипеда равна H= ±nр Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru = ±| Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru | cosφ, где Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru = Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru × Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru и знак плюс соответствует острому углу φ=∟( Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru , Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru ), а знак минус тупому углу φ. В первом случае векторы Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru , Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru образуют правую тройку, а во втором- левую тройку. Поэтому Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru = Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru = S np Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru =±V, т. е. объём параллелипипеда, построенного на векторах Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru , Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru . Отсюда Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru =±V.

Основные свойства смешанного произведения

  1. Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru = Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru = Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru
  2. Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru = Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru = Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru = Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru =- Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru

Необходимым и достаточным условием компланарности трёх векторов Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru , Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru : Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru =0

Если Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru = ax Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru + ay Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru + az Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru , Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru =bx Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru + by Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru + bz Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru , Базис. Разложение вектора по базису. - student2.rux Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru + сy Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru + сz Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru то

| ax + ay + az|

Базис. Разложение вектора по базису. - student2.ru =| bx+ by + bz|

| сx + сy + сz|

Задание на СРС:

1. Вычисление длины вектора, угла между векторами. (Конспект. Срок сдачи по графику) [1,5,6]

2. Решить №1,3 из [2-стр. 273; 4], по вариантам.

Задание на СРСП:

1. Разложение вектора по базису. [3 – стр. 156 ]

Контрольные вопросы

Наши рекомендации