Базис. Разложение вектора по базису.
Векторы и скаляры. Линейные действия над векторами.
Вектором а, называется множество всех направленных отрезков, имеющих одинаковую длину и направление. О всяком отрезке АВ из этого множества говорят, что он представляет вектор а . Длина отрезка АВ называется длиной (модулем) вектора а и обозначается символом |a|=|AB|. Модуль вектора – это скаляр.
Вектор нулевой длины, называется нулевым вектором и обозначается символом О. Векторы а и в, называются коллинеарными если они параллельны одной прямой. Векторы, параллельные одной плоскости, называются компланарными.
В b
a C
А
Два вектора называются равными, если они имеют одинаковый модуль, параллельны и направлены в одну и ту же сторону.
a b
К линейным действиям над векторами относятся их сложение и умножение вектора на скаляр.
Пусть направленный отрезок АВ представляет вектор а. Приложив к точке В заданный вектор в, получим некоторый направленный отрезок ВС. Вектор, представляемый направленным отрезком АС, называется суммой векторов а и в и обозначается а + в. Суммой векторов а+в+с называется вектор R=OC, замыкающий ломаную ОАВС построенную
из данных векторов.
В частности, в параллелограмме, построенном на данных векторах ОА=а и ОВ = в, один вектор – диагональ ОС есть сумма а+в, а другой ВА есть разность а-в. Если дан вектор а=АВ, то вектор ВА называется противоположным вектором к вектору а и обозначается – а. Очевидно, что а+(-а)= 0. Вычесть какой - либо вектор – это значить прибавить противоположный. Отсюда следует, что в + (а - в)=в + [в + (-в)]=а+0=а.
Система векторов аֽ..., аnназывается линейно-зависимой, если существуют числа λ1 , ..., λn такие, что хотя бы одна из них отлично от нуля и λ1 а1 + ...+ λn аn =0. В противном случае система называется ли нейно – независимой.
Проекция вектора.
Пусть вектор а составляет угол φ с осью Ох. Тогда проекция вектора на эту ось определяется формулой пре ≤ |а| · cosφ.
Проекция суммы векторов на ось равна сумме проекцией составляющих векторов на ту же ось:
Пре (а + в)=преа + прев.
Пусть даны точки А(x1,у1,z1) и В(х2,у2,z2). Проекция вектора а=АВ на оси координат: прx АВ=X=х2-х1
Прy АВ=Y=у2-у1 (1)
Прz АВ=Z=z2-z1
т.е а = {х2-х1; у2-у1; z2-z1}
Базис. Разложение вектора по базису.
Если е1, е2, е3 – базисы, то а = х1е1+х2е2+х3 е3 (2)
Числа х1, х2, х3 называются координатами вектора а в базисе β=(е1,е2,е3). Запись (2) называют также разложением вектора а по базису β.
Скалярным произведением двух векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла φ между ними: ( ) = = | |×| |×cosφ
Скалярное произведение обладает следующими основными свойствами:
- Скалярное произведение двух векторов не зависит от порядка этих сомножителей (переместительное свойство): =
- Распределительное свойство. ( + ) = + .
- Скалярный квадрат вектора равен квадрату модуля этого вектора, т. е. 2= | |2
- Скалярный множитель можно выносить за знак скалярного произведения, т. е. (λ ) = ( , λ ) = λ( )
- Скалярное произведение линейной комбинации векторов на произвольный вектор равно такой же линейной комбинации данных векторов на этот вектор, т. е. (λ + μ , ) = λ( , ) + μ( , )
Косинус угла φ= ( ) между двумя ненулевыми векторами и равен cosφ= .
Два вектора и перпендикулярны тогда и только тогда, когда
Пусть =ax + ay + az и =bx + by + bz , тогда =axbx+ayby+azbz, здесь учтены, что = = = 0 и = = = 1
Поэтому косинус угла φ между двумя векторами и определяется cosφ= (axbx+ayby+azbz)/ (| || |)
Для перпендикулярных векторов и имеем φ=π/2 и, следовательно, cosφ=0, или axbx+ayby+azbz=0.
Под векторным произведением двух векторов и понимается вектор = × =[a.b], для которого:
1. Модуль равен площади параллелограмма, построенного на данных векторах, т.е. |c| = |a | |b|sinφ,где φ=∟( ), (0≤φ≤π) (рис 4.1);
рис 4.1
2. Этот вектор перпендикулярен перемножаемым векторам, т. е. ┴ и ┴ ;
3. Если векторы неколлинеарные, то векторы , образуют правую тройку векторов.
Основные свойства векторного произведения.
1. При изменении порядка сомножителей векторное произведение меняет свой знак на обратный, сохраняя модуль, т. е. × =-( × )
2. Векторный квадрат равен нуль-вектору, т. е. × =0
3. Скалярный множитель можно выносить за знак векторного произведения, т. е. если λ-скалярное, то (λ × ) = ( ×λ ) = λ( × )
4. Для любых трёх векторов a,b,c справедливо равенство ( + )× =( )+( )
Необходимым и достаточным условием коллинеарности двух векторов и : × =0
Пусть =ax + ay + az и =bx + by + bz , тогда
× = | ay az| - | ax az| + | ax ay|
| by bz| |bx bz| | bx by |
Для удобства последняя формула записывается в виде определителя третьего порядка
| |
× = | ax ay az|
|bx by bz|
Под смешанным произведением и понимается число
Построим параллелепипед (рис 4.2),
рис 4.2
Ребрами которого, исходящего из общей вершины О, являются векторы и . Тогда | × |=S представляет собой площадь параллелогромма, построенного на векторах и , т. е. площадь основания параллелипипеда. Высота этого параллелипипеда равна H= ±nр = ±| | cosφ, где = × и знак плюс соответствует острому углу φ=∟( , ), а знак минус тупому углу φ. В первом случае векторы , образуют правую тройку, а во втором- левую тройку. Поэтому = = S np =±V, т. е. объём параллелипипеда, построенного на векторах , . Отсюда =±V.
Основные свойства смешанного произведения
- = =
- = = = =-
Необходимым и достаточным условием компланарности трёх векторов , : =0
Если = ax + ay + az , =bx + by + bz , =сx + сy + сz то
| ax + ay + az|
=| bx+ by + bz|
| сx + сy + сz|
Задание на СРС:
1. Вычисление длины вектора, угла между векторами. (Конспект. Срок сдачи по графику) [1,5,6]
2. Решить №1,3 из [2-стр. 273; 4], по вариантам.
Задание на СРСП:
1. Разложение вектора по базису. [3 – стр. 156 ]
Контрольные вопросы