Момент импульса и закон его сохранения

Моментом импульса (количеством движения) материальной точки A относительно неподвижной точки O называется физическая величина, определяемая векторным произведением:

Момент импульса и закон его сохранения - student2.ru

где r – радиус-вектор, проведённый из точки O в точку A; Момент импульса и закон его сохранения - student2.ru – импульс материальной точки (рис. 4.1.); L – псевдовектор, его направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от r к p.

 
  Момент импульса и закон его сохранения - student2.ru

Модуль вектора момента импульса:

Момент импульса и закон его сохранения - student2.ru

где a – угол между векторами r и p; l – плечо вектора p относительно точки O.

Моментом импульса материальной точки A относительно неподвижной оси Z называется скалярная величина Lz, равная проекции на эту ось вектора момента импульса. Значение момента импульса Lz не зависит от положения точки O на оси Z.

Проекцией момента импульса материальной точки называется:

Момент импульса и закон его сохранения - student2.ru

она направлена по оси в сторону, определяемую правилом правого винта.

Момент импульса твердого тела относительно оси есть сумма моментов импульсов отдельных материальных точек:

Момент импульса и закон его сохранения - student2.ru

Используя формулу Момент импульса и закон его сохранения - student2.ru , получим:

Момент импульса и закон его сохранения - student2.ru

таким образом:

Момент импульса и закон его сохранения - student2.ru

где Jz – момент инерции тела; w – угловая скорость.

Продифференцировав последнее уравнение по времени, получим:

Момент импульса и закон его сохранения - student2.ru

т.е. Момент импульса и закон его сохранения - student2.ru .

Это выражение - ещё одна форма уравнения (закона) динамики вращательного движения твёрдого тела относительно неподвижной оси.

В замкнутой системе вектор момента внешних сил M=0 и Момент импульса и закон его сохранения - student2.ru , откуда:

Момент импульса и закон его сохранения - student2.ru .

Выражение представляет собой закон сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы сохраняется, т.е. не меняется с течением времени.

Основная связь между величинами и уравнениями, определяющие вращение тела вокруг неподвижной оси и его поступательном движении:

Поступательное движение Вращательное движение
 
1. Масса m Момент инерции J
2. Скорость Момент импульса и закон его сохранения - student2.ru Угловая скорость Момент импульса и закон его сохранения - student2.ru
3. Ускорение Момент импульса и закон его сохранения - student2.ru Угловое ускорение Момент импульса и закон его сохранения - student2.ru
4. Сила F Момент силы Mz или M
5. Импульс Момент импульса и закон его сохранения - student2.ru Момент импульса Момент импульса и закон его сохранения - student2.ru
6. Основное уравнение динамики Момент импульса и закон его сохранения - student2.ru Момент импульса и закон его сохранения - student2.ru Основное уравнение динамики Момент импульса и закон его сохранения - student2.ru Момент импульса и закон его сохранения - student2.ru
7. Работа Момент импульса и закон его сохранения - student2.ru Работа при вращательном движении Момент импульса и закон его сохранения - student2.ru
8. Кинетическая энергия Момент импульса и закон его сохранения - student2.ru Кинетическая энергия вращения Момент импульса и закон его сохранения - student2.ru

Деформации твердого тела

Рассматривая механику твердого тела, мы пользовались понятием абсолютно твердого тела. Однако в природе абсолютно твердых тел нет, так как все реальные тела под действием сил изменяют свою форму и размеры, т. е. деформируются.

Деформация– изменение форм и размеров тела.

Деформация называется упругой, если после прекращения действия внешних сил тело принимает первоначальные размеры и форму.

Деформации, которые сохраняются в теле после прекращения действия внешних сил, называются пластическими (или остаточными).

 
  Момент импульса и закон его сохранения - student2.ru

Рассмотрим однородный стержень длиной l и площадью поперечного сечения S (рис, 1.1), к концам которого приложены направленные вдоль его оси силы F1 и F2(F1=F2=F), в результате чего длина стер­жня меняется на величину Dl.

Сила, действующая на единицу площади поперечного сечения, называется напряжением:

Момент импульса и закон его сохранения - student2.ru (5.1)

Если сила направлена по нормали к по­верхности, напряжение называется нормальным, если же по касательной к поверхности — тангенциальным.

Количественной мерой, характеризую­щей степень деформации, испытываемой телом, является его относительная деформация. Так, относительное изменение длины стержня (продольная деформация)

Момент импульса и закон его сохранения - student2.ru (5.2)

относительное поперечное растяжение (сжатие)

Момент импульса и закон его сохранения - student2.ru

где d– диаметр стержня.

Деформации e иe'всегда имеют разные знаки (при растяжении Dlположительно, а Ddотрицательно, при сжатии Dlотрицательно, a Dd положительно).

Взаимосвязь e иe':

Момент импульса и закон его сохранения - student2.ru

где m - положительный коэффициент, зависящий от свойств материала, называется коэффициент Пуассона.

Для малых деформаций относительное удлинение e и напряжение s прямо пропорциональны друг другу:

Момент импульса и закон его сохранения - student2.ru (5.3)

где коэффициент пропорциональности Е называется модулем Юнга. Модуль Юнга определяется напряжением, вызывающим относительное удлинение, равное единице.

Из формул (5.2), (5.3) и (5-1) вытекает, что

Момент импульса и закон его сохранения - student2.ru или Момент импульса и закон его сохранения - student2.ru (5.4)

где k – коэффициент упругости.

Выражение (5.4) также задает закон Р. Гука (1635–1703 гг), согласно которому удлинение стержня при упругой деформации пропорционально действующей на стержень силе.

 
  Момент импульса и закон его сохранения - student2.ru

Закон Гука, выполняется лишь на участке ОА, до предела пропорциональности(sп). При дальнейшем увеличении напряжения деформация ещё упругая (хотя зависимость не линейна) и до предела упругости(sу) остаточчые деформации не возникают.

За пределом упругости в теле возникают остаточные деформации и график, описывающий возвращение тела в первоначальное состояние после прекращения действия силы, изобразится не кривой ВО, апараллельной ей CF.

Напряжение, при котором появляется заметная остаточная деформация (»0,2%), называется пределом текучести(sт) – точка С на кривой.

В области CD деформация возрастает без увеличения напряжения, т. е. тело как бы «течёт». Эта область называется областью текучести(или областью пластическихдеформаций).

Материалы, для которых область текучести значительна, называются вязкими,для которых же она практически отсутствует хрупкими.

При дальнейшем растяжении (за точку D) происходит разрушение тела. Максимальное напряжение, возникающее в теле до разрушения, называется пределом прочности(sр).

Потенциальная энергия упруго растянутого (сжатого) стержня, равна работе, совершаемой внешними силами при деформации:

Момент импульса и закон его сохранения - student2.ru

где х – абсолютное удлинение стержня, изменяющееся в процессе деформации от 0 до Dl. Согласно закону Гука (5.4),

Момент импульса и закон его сохранения - student2.ru

Поэтому

Момент импульса и закон его сохранения - student2.ru

т.е. потенциальная энергия упругорастянутого стержня пропорциональна квадрату деформации Dl2.

Момент импульса и закон его сохранения - student2.ru Деформацию сдвига проще всего осуществить, если взять брусок, имеющий форму прямоугольного параллелепипеда, и приложить к нему силу Ft,(рис. 5.3), касательную к его поверхности (нижняя часть бруска закреплена неподвижно).

Относительная деформация сдвига определяется из формулы

Момент импульса и закон его сохранения - student2.ru

где DS – абсолютный сдвиг параллельных слоев тела относительно друг друга;

h – расстояние между слоями (для малых углов tgg»g).

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ

Наши рекомендации