VΙ. линии второго порядка на плоскости

Задачи к экзамену по математике для ПИЭ-21, ИСТ-21, 22.

Ι. Комплексные числа

Задача 1. Даны комплексные числа и .

1) Найти их сумму, разность, произведение и частное в алгебраической форме.

2) Представить эти числа в тригонометрической форме и найти:

3) Представить эти числа в показательной форме.

Задача 2. Решить уравнения: ; .

ΙΙ. Векторы на плоскости и в пространстве

Задача 3. Даны три вектора . Найти длину вектора и разложить вектор по векторам и .

Задача 4. Даны векторы , , , . Приняв в качестве базиса векторы , , , найти разложение вектора по этому базису.

Задача 5. Даны векторы и . Найти: 1) векторы , ; 2) длины векторов и ; 3) скалярный квадрат вектора ; 4) скалярное произведение ; 5) угол между векторами и .

Задача 6. Даны вершины треугольника , , . Вычислить длину его высоты, опущенной из вершины на сторону .

Задача 7. Выяснить, являются ли компланарными векторы:
а) , , ; б) , , .

Задача 8. Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках , , , и его высоту, опущенную из вершины на грань .

ΙΙΙ. Прямая линия на плоскости

Задача 9. Составить уравнение прямой, проходящей через точку : а) под углом к оси ; б) параллельно оси ; в) и точку .

Задача 10. Даны вершины треугольника . Найти координаты точки пересечения медиан треугольника.

Задача 11. Дан треугольник с вершинами в точках , , . Записать уравнения всех его сторон и высоты в общем виде, в нормальном виде, как уравнение прямой с известным угловым коэффициентом.

ΙV. Плоскость, различные виды ее уравнений

Задача 12. Написать уравнение плоскости, параллельной вектору и проходящей через точки и .

Задача 13. Вычислить расстояние от точки до плоскости .

Задача 14. Дана треугольная пирамида с вершинами в точках , , , . Найти длину высоты .

Задача 15.Составить уравнение плоскости, проходящей через точку , параллельно плоскости .

Задача 16. Найти расстояние от точки до плоскости, проходящей через три точки .

V. Прямая линия в пространстве

Задача 17. Привести общие уравнения прямой
к каноническому виду.

Задача 18. Составить уравнение прямой, проходящей через точку и:

а) образующей с осями координат углы ;

б) параллельной прямой ;

в) параллельной оси ;

г) параллельной прямой ;

д) точку .

Задача 19. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно плоскости, походящей через точки .

VΙ. Линии второго порядка на плоскости

Задача 20. Записать уравнение окружности, если координаты концов одного из диаметров .

Задача 21. Определить радиус и центр окружности, данной уравнением и построить ее.

Задача 22. Дано уравнение линии второго порядка . Найти полуоси, координаты фокусов, эксцентриситет, уравнения директрис. Построить линию.

Задача 23. Дано уравнение линии второго порядка . Найти полуоси, координаты фокусов, эксцентриситет, уравнения асимптот и директрис. Построить линию.

Задача 24. Найти параметр, координаты фокуса, уравнение директрисы параболы .

Задача 25. Вычислить длину хорды, образуемой пересечением прямой с параболой .

Задача 26. Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду и найти точки ее пересечения с прямой . Построить графики кривой и прямой.