Потенциальные и соленоидальные поля

Векторное поле F называется потенциальным, если оно является градиентом некоторого скалярного поля U, т.е. F = gradU .

В случае если поле F потенциально, выполняются равенства

, , ,

что равносильно тому, что выражение является полным дифференциалом некоторой функции . Эта функция называется потенциалом векторного поля F.

Теорема. Пусть область поверхностно односвязна и функции – непрерывно дифференцируемы в . Тогда векторное поле F потенциально тогда и только тогда, когда выполняются равенства:

, , .

Приведенная теорема утверждает, что векторное поле F потенциально тогда и только тогда, когда rot F = 0, т.е. поле является безвихревым. Условие rot F = 0 является также необходимым и достаточным условием того, что криволинейный интеграл

не зависит от формы кривой, соединяющей точки А и В в области , а также того, что циркуляция поля F по любому замкнутому контуру равна нулю, т.е.

.

Если поле F потенциально, то его потенциал U можно найти непосредственным интегрированием по некоторому пути :

.

При этом, в силу независимости этого интеграла от формы пути, путь выбирают в виде ломаной , вдоль каждого из звеньев которой изменяется лишь одна координата, а остальные остаются постоянными. В этом случае два из трех дифференциалов в криволинейном интеграле обращаются в ноль, и потенциал вычисляется в виде суммы:

,

где каждый из интегралов – есть обычный определенный интеграл по соответствующей переменной, а остальные переменные играют роль констант.

Если потенциал векторного поля F известен, то

.

Векторное поле F называется соленоидальным, если оно является ротором некоторого векторного поля А, т.е. F rot A A. Поле А называется векторным потенциалом поля F.

Теорема. Пусть область пространственно односвязна и координаты векторного поля непрерывно дифференцируемы в . Тогда векторное поле F соленоидально в том и только в том случае, когда

div F

в каждой точке области .

Если векторное поле соленоидально, то его поток через любую замкнутую поверхность равен нулю.

Пример. Показать, что поле F i j k потенциально и найти его потенциал.

Покажем, что rot F = 0.

Rot F i j k i j k 0.

Следовательно, поле F потенциально. Найдем потенциал поля F непосредственным интегрированием.

Зафиксируем точку и рассмотрим произвольную точку . Тогда

.

Линию интегрирования (в силу независимости такого интеграла от формы пути) выберем в виде ломаной , где отрезок параллелен оси , отрезок – оси , а отрезок – оси . Вдоль имеем и , а, следовательно, , вдоль уже – постоянно и , откуда , а вдоль обе переменные, и – постоянны, а, значит, . Тогда

.

Контрольные вопросы:

1. Дайте определение потенциального векторного поля F.
2. Какие равенства выполняются, когда поле F потенциально?
3. Дайте определение соленоидального векторного поля F.
4. Приведите необходимое и достаточное условие того, что векторное поле F соленоидально.

Задания для самостоятельного решения:

1. Найти градиент скалярного поля :

а) .

б) .

в) .

г) .

д) .

е) .

ж) .

2. Найти градиент скалярного поля в точке :

а) , .

б) , .

в) , .

3. Вычислить дивергенцию и ротор векторного поля F:

а) F i j k.

б) F i j k.

в) F .

г) F .

д) F i j k.

е) F i j k.

ж) F i j k.

з) F i j k.

и) F i j k.

к) F i j k.

4. Вычислить поток векторного поля F через поверхность в сторону, определяемую нормалью n к поверхности , если:

а) F , – часть цилиндра , заключенная между плоскостями и , n – внешняя нормаль.

б) F , – часть плоскости , расположенная в первом октанте между плоскостями и , n образует острый угол с осью .

в) F , – полусфера , расположенная в полупространстве , n образует острый угол с осью .

г) F , – часть конуса , заключенная между плоскостями и , n образует тупой угол с осью .

д) F , – поверхность пирамиды, ограниченной плоскостями , , , .

е) F , – часть сферы , расположенная в первом октанте, n – внешняя нормаль.

ж) F i j k, – часть параболоида , заключенная между плоскостями и , n образует тупой угол с осью .

5. Вычислить поток векторного поля F через замкнутую поверхность в направлении внешней нормали, если:

а) F , – полная поверхность цилиндра , , .

б) F i j k, – полная поверхность призмы, ограниченной плоскостями , , , , .

в) F i j k, – полная поверхность пирамиды, ограниченной плоскостями , , , .

6. Найти циркуляцию плоского векторного поля F вдоль кривой L (направление обхода – положительное):

а) F , L – ломанная АВА, где , , кривая – кусок параболы , а – отрезок прямой.

б) F , L – граница квадрата , .

в) F , L – ломанная АВС, где , , .

г) F , L – кардиоида: , в сторону увеличения параметра.

7. Найти циркуляцию векторного поля F вдоль замкнутого контура L:

а) F , L – окружность, параметрические уравнения которой: , , , направление обхода – в сторону увеличения параметра .

б) F , L – окружность, получающаяся пересечением сферы и плоскости , направление обхода – против часовой стрелки, если смотреть с конца оси .

в) F , L – контур треугольника АВС, , , .

г) F , L – ломанная АВС, где , , .

д) F , L – окружность: , .

е) F i j k, L – контур треугольника АВС, , , .