Вероятностное пространство

Элементы комбинаторного анализа

Соединения.Пустъ А – множество, состоящее из конечного числа элементов a₁, a_2, a₃…a_n. Из различных элементов множества А можно образовывать группы. Если в каждую группу входит одно и то же число элементов m (m из n), то говорят, что они образуют соединения из n элементов пo m в каждом. Различают три вида соединений: размещения, сочетания и перестановки.

Перестановки.Пустъ А – множество, состоящее из конечного числа элементов a₁, a_2, a₃…a_n. Из различных элементов множества А можно образовывать группы. Если в каждую группу входит одно и то же число элементов m (m из n), то говорят, что они образуют соединения из n элементов пo m в каждом. Различают три вида соединений: размещения, сочетания и перестановки.

Размещения.Соединения каждое из которых содержит m различных элементов (m < n) взятых из n элементов множества A , отличающихся друг oт друга или составом элементов, или их порядком называются размещениями из n элементов по m в каждом. Число таких размещений обозначается символом

Теорема 1. Число всех различных перестановок из n элементов равно

=n(n-1)(n-2)(n-3)….3*2*1=1*2*3…(n-1)n=n!

Tеорема 2. Число всех размещений из n элементов по m вычисляется по формуле:

Иногда для записи числа размещений используют следующую формулу:

Сочетания. Соединения каждое из которых содержит m различных элементов (m < n) взятых из n элементов множества А, отличающихся друг от друга по крайней мере одним из элементом (только составом) называются сочетаниями из n элементов по m в каждом. Число таких сочетаний обозначается символом

Теорема 3. Число всех сочетаний из n элементов по m определяется формулой:

Иногда для записи числа размещений используют следующую формулу:

Сущность и условия применения теории вероятностей.

Теория вероятностей есть математическая наука, изучающая закономерности в случайных явлениях.

Случайное явление – это такое явление, которое при неоднократном воспроизведении одного и того же опыта протекает каждый раз несколько по-иному.

Методы теории вероятности по природе приспособлены только для исследования массовых случайных явлений; они не дают возможность предсказать исход отдельного случайного явления, но дают возможность предсказать средний суммарный результат массы однородных случайных явлений.

Т.в. служит для обоснования математической и прикладной статистики, которая используется при планировании организации производства и др.

Основные понятия теории вероятностей.

Теория вероятностей есть математическая наука, изучающая закономерности в случайных явлениях.

Случайное явление – это такое явление, которое при неоднократном воспроизведении одного и того же опыта протекает каждый раз несколько по-иному.

Методы теории вероятности по природе приспособлены только для исследования массовых случайных явлений; они не дают возможность предсказать исход отдельного случайного явления, но дают возможность предсказать средний суммарный результат массы однородных случайных явлений.

В теории вероятностей испытанием принято называть эксперимент, который (хотя бы теоретически) может быть произведён в одних и тех же условиях неограниченное число раз.

Результат или исход каждого испытания назовём событием. Событие являетсяосновным понятием теории вероятностей. Будем обозначать события буквами А, В, С.

Виды событий:

достоверное событие - событие, которое в результате опыта обязательно произойдет.

невозможное событие - событие, которое в результате опыта не может произойти.

случайное событие - событие, которое может произойти в данном опыте, а может и не произойти. Равновозможность событий означает, что нет оснований предпочесть какое-либо одно из них другим.

Вероятностью события A (обозначают P(A)) называется отношение числа исходов, благоприятных событию A (обозначают m(A)), к числу всех исходов испытания – N т.е. P(A)= m(A)/ N.

Вероятностное пространство.

Вероятностное пространство – это математическая модель случайного эксперимента (опыта) в аксиоматике А.Н. Колмогорова. Вероятностное пространство содержит в себе всю информацию о свойствах случайного эксперимента, необходимую для его математического анализа средствами теории вероятностей. Любая задача теории вероятности решается в рамках некоторого вероятностного пространства, полностью заданного изначально. Задачи, в которых вероятностное пространство задано не полностью, а недостающую информацию следует получить по результатам наблюдений, относятся к области математической статистики.

Вероятностное пространствоопределяется тройкой компонент (символов) (Ω,S,P), где Ω-пространство элементарных событий

S-∂(сигма)-алгебра событий, Р - вероятность, Ω-достоверное событие, S-система подмножеств пространства элементарных исходов Ω.

5. 5.Непосредственный подсчет вероятности.

Классическое определение вероятности основано на понятии равновозможности событий.

Равновозможность событий означает, что нет оснований предпочесть какое-либо одно из них другим.

Рассмотрим испытание, в результате которого может произойти событие A. Каждый исход, при котором осуществляется событие A, называется благоприятным событию A.

Вероятностью события A (обозначают P(A)) называется отношение числа исходов, благоприятных событию A (обозначают m(A)), к числу всех исходов испытания – N т.е. P(A)= m(A)/ N.

Из классического определения вероятности вытекают следующие ее свойства:

Вероятность любого события заключена между нулем и единицей.

Доказательство. Так как , то поделив все части неравенства на N, получим

Откуда по классическому определению вероятности следует, что

Вероятность достоверного события равна единице.

Вероятность невозможного события равна нулю

6. 6.Теоремы сложения вероятностей.

Если А и В несовместны, то Р(А + В) = Р(А) +Р(В)

Если А и Â противоположные события, то

Если А и В совместны, то теорема сложения принимает вид:

Р(А+В)=Р(А)+Р(В) - Р(АВ).

7. 7.Теоремы умножения вероятностей.

Если А и В независимые события, то

Р(АВ) = Р(А)*Р(В).

Если А и В совместны, то

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

8. 8.Теорема о вероятности хотя бы одного события

Вероятность появления хотя бы одного из , …. независимых в совокупности равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий: , …

P(A)=1- …. , где =P( )

=1- , i=1,2,….n