Основные сведения из теории. Обратная функция и ее график

Обратная функция и ее график

Если функциональная зависимость от задана аналитически уравнением , из которого можно определить как функцию от уравнением так, что каждому значению соответствует единственное значение , то функция, определяемая уравнением , называется обратной по отношению к функции , которая в этой связи называется прямой. В уравнении величина —называется переменная, а —функция. Для того чтобы сохранить стандартные обозначения, в которых обозначает независимую переменную, а —функцию, в уравнении следует заменить буквой , а —буквой . Именно так полученную функцию мы и будем считать обратной по отношению к функции . График обратной функции симметричен графику прямой функции относительно биссектрисы первого и третьего координатных узлов.

Задача 9.1

Найти функцию, обратную функции , и построить ее график.

Решение.

Находим из данного уравнения в зависимости от : . Заменяя в этом равенстве на , а на , получаем окончательно .

Графики заданной функции и ей обратной представлены на фиг.9.1.

Задача 9.2

Найти функцию, обратную функции .

Решение.

Из уравнения видно, что значение функции заполняют полуотрезок . Если это уравнение разрешить относительно , то получим уравнение , из которого видно, что каждому значению из полуотрезка соответствует не одно, а два значения из интервала . Отсюда мы заключаем, что если функцию рассматривать на интервале , то для ее обратной функции не существует ( через выражается не однозначно).

Если будем рассматривать данную функцию только для положительных значений и , т.е. значений из полуотрезка , тогда и каждому значению соответствует не два, а только одно значение , обратная функция теперь существует и определяется уравнением (фиг.9.2).

Если данную функцию рассматривают только для значений , то она и в этом случае будет иметь обратную функцию. Действительно, в этом случае , каждому значению соответствует единственное значение , и обратная функция определяется уравнением .

Задача 9.3

(для самостоятельного решения). Убедиться, что на интервале функция не имеет обратной функции, а на отрезке — имеет.

Задача 9.4

Найти функцию, обратную функции .

Решение.

1) Находим в зависимости от :

; .

2) Заменим в последнем выражении на , а на и получим . Это и есть функция, обратная данной.

Задача 9.5

(для самостоятельного решения). Найти функции, обратные данным:

1) ;

2) ;

3) .

Ответ.

1) ;

2) ;

3) .

При каких значениях могут рассматриваться эти функции?

Задача 9.6

(для самостоятельного решения).Найти функцию, обратную функции , и построить ее график, пользуясь свойством графика обратной функции.

Задача 9.7

(для самостоятельного решения). Определить функции обратные следующим функциям:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) .

Указание. Заданную функцию рассмотреть сначала для значений ,а потом для значений .

Ответ.

1) ;

2) , область существования – два бесконечных интервала: ; ;

3) , область существования – интервалы и

4) , область существования— ;

5) ;

6) .

Периодические функции