Линейные однородные дифференциальные уравнения II порядка с постоянными коэффициентами

Дифференциальное уравнение называется линейным, если оно имеет вид Линейные однородные дифференциальные уравнения II порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru . Если в нем функция в правой части принимает нулевой значение, т.е. Линейные однородные дифференциальные уравнения II порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru , то уравнение называют однородным.

Линейное однородное уравнение II порядка с постоянными коэффициентами имеет вид Линейные однородные дифференциальные уравнения II порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru , где p и q – действительные числа. Его решение ищется в виде Линейные однородные дифференциальные уравнения II порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru , где k – постоянная, подлежащая определению.

Если Линейные однородные дифференциальные уравнения II порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru , то Линейные однородные дифференциальные уравнения II порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru , Линейные однородные дифференциальные уравнения II порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru . Подстановка полученных выражений в уравнение и сокращение на Линейные однородные дифференциальные уравнения II порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru приводит к квадратному уравнению Линейные однородные дифференциальные уравнения II порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru относительно k. Оно называется характеристическим уравнением исходного дифференциального уравнения с корнями Линейные однородные дифференциальные уравнения II порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru . Возможно 3 случая.

1) Числа Линейные однородные дифференциальные уравнения II порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru и Линейные однородные дифференциальные уравнения II порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru действительны и различны, т.е. Линейные однородные дифференциальные уравнения II порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru . Тогда Линейные однородные дифференциальные уравнения II порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru , Линейные однородные дифференциальные уравнения II порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru , а общее решение исходного уравнения есть линейная комбинация полученных, т.е. Линейные однородные дифференциальные уравнения II порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru .

2) Числа Линейные однородные дифференциальные уравнения II порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru и Линейные однородные дифференциальные уравнения II порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru равны, т.е. Линейные однородные дифференциальные уравнения II порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru . Тогда Линейные однородные дифференциальные уравнения II порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru , а общее решение исходного уравнения имеет вид Линейные однородные дифференциальные уравнения II порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru .

3) Числа Линейные однородные дифференциальные уравнения II порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru и Линейные однородные дифференциальные уравнения II порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru - комплексно-сопряженные, т.е. Линейные однородные дифференциальные уравнения II порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru . Обозначим Линейные однородные дифференциальные уравнения II порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru , Линейные однородные дифференциальные уравнения II порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru , поскольку Линейные однородные дифференциальные уравнения II порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru . Тогда общее решение исходного дифференциального уравнения имеет вид Линейные однородные дифференциальные уравнения II порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru .

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения II порядка с постоянными коэффициентами

Теорема. Общее решение неоднородного дифференциального уравнения II порядка с постоянными коэффициентами вида Линейные однородные дифференциальные уравнения II порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru является суммой общего решения соответствующего однородного уравнения Линейные однородные дифференциальные уравнения II порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru и частного решения данного неоднородного уравнения.

Поскольку метод нахождения общего решения однородного уравнения рассмотрен ранее, рассмотрим вопрос нахождения частного решения неоднородного уравнения в зависимости от вида функции Линейные однородные дифференциальные уравнения II порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru в его правой части.

1) Линейные однородные дифференциальные уравнения II порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru

Частное решение ищется в виде Линейные однородные дифференциальные уравнения II порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru , где Линейные однородные дифференциальные уравнения II порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru - неопределенный коэффициент. Тогда Линейные однородные дифференциальные уравнения II порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru , Линейные однородные дифференциальные уравнения II порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru . После подстановки в исходное уравнение и сокращения на Линейные однородные дифференциальные уравнения II порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru получим Линейные однородные дифференциальные уравнения II порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru , откуда Линейные однородные дифференциальные уравнения II порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru . Возможно 3 случая.

а) уравнение Линейные однородные дифференциальные уравнения II порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru не имеет действительных корней, тогда Линейные однородные дифференциальные уравнения II порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru ;

б) уравнение Линейные однородные дифференциальные уравнения II порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru имеет два различных действительных корня, тогда частное решение следует искать не в виде Линейные однородные дифференциальные уравнения II порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru , а в виде Линейные однородные дифференциальные уравнения II порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru ;

в) уравнение Линейные однородные дифференциальные уравнения II порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru имеет два одинаковых действительных корня, тогда частное решение следует искать не в виде Линейные однородные дифференциальные уравнения II порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru , а в виде Линейные однородные дифференциальные уравнения II порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru .

2) Линейные однородные дифференциальные уравнения II порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru

Частное решение ищется в виде Линейные однородные дифференциальные уравнения II порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru , где Линейные однородные дифференциальные уравнения II порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru и Линейные однородные дифференциальные уравнения II порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru – неопределенные коэффициенты. Линейные однородные дифференциальные уравнения II порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru , Линейные однородные дифференциальные уравнения II порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru . После подстановки в исходное уравнение получим Линейные однородные дифференциальные уравнения II порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru

Перегруппировав слагаемые с косинусами и синусами, получим

Линейные однородные дифференциальные уравнения II порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru .

Приравнивая коэффициенты при синусе и косинусе в правой и левой частях уравнения, получим систему из двух уравнений относительно Линейные однородные дифференциальные уравнения II порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru и Линейные однородные дифференциальные уравнения II порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru :

Линейные однородные дифференциальные уравнения II порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru .

Единственная ситуация, когда полученная система несовместна – это Линейные однородные дифференциальные уравнения II порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru , Линейные однородные дифференциальные уравнения II порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru . Тогда частное решение ищется в виде Линейные однородные дифференциальные уравнения II порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru . Во всех остальных случаях решение полученной системы дает искомые значения Линейные однородные дифференциальные уравнения II порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru и Линейные однородные дифференциальные уравнения II порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru .

3) Линейные однородные дифференциальные уравнения II порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru

а) если Линейные однородные дифференциальные уравнения II порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru , то частное решение имеет вид Линейные однородные дифференциальные уравнения II порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru ;

б) если Линейные однородные дифференциальные уравнения II порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru , то частное решение имеет вид Линейные однородные дифференциальные уравнения II порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru ;

в) если Линейные однородные дифференциальные уравнения II порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru , то частное решение имеет вид Линейные однородные дифференциальные уравнения II порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru .

Наши рекомендации