Д 12. Тақырып: Қарапайым дифференциалды теңдеулерді шешудің классикалық әдістері. Басқа әдістер.

Дәріс жоспары:

1. Қарапайым дифференциалды теңдеулерді шешудің классикалық әдістері.

2. Басқа әдістер.

Дәріс тезисi.

Қарапайым дифференциалды теңдеулерді шешудің классикалық әдістері.

Классикалық деп аталатын қарапайым сандық әдістерін қарастырайық.

Бір адымды әдіс.

1. 1 нүктесіне бірінші туындыға дейін қысқартылған (9.3) қатарын жазамыз: y(t₁) = y₁= y(t₀) + h y’(t₀) = y₀ + hf(y₀, t₀). (9.4)

(9.4) оң жақ бөлігі белгілі шамалардан тұрады, олар арқылы y₁ табуға болады. Дәл солай y₂ және т.с. басқаларын табуға болады. Бұл әдіс Эйлера әдісі (немесе Рунге–Куттаның бірінші дәреже әдісі) деп аталынды. Әдiстiң геометриялық интерпретациясы: қадамның ішіндегі қисығының дәл шешімі жанама кесіндісімен ауысады.

Әдістің қателігі h² тең. Әдіс шешімнің жанамасы интегралдық кесіндісінен көп ауытқуынан шешім тура дәлдікпен табылмайды.

(9.4) формуласын келесі пікірлер арқылы алуға болады. Анықталған интегралды геометриялық талқылау арқылы келесі түрде жаза аламыз:

. (9.5)

Анықтама бойынша оң жақ интегралданбайды. Сондықтан солжағын тікбұрыш арқылы есептейміз. Нәтижесінде n = 0 шамасы hf(y₀, t₀) тең болатын (9.4) формуласына әкеледі. Сондықтан Эйлер әдісін кей кезде төртбұрыш әдісі деп атайды.

2. (9.3) қатарын екінші туындыға дейін қысқартып, түрлендіруін жуықтаймыз:

y(t₁) = y₁ = y(t₀) + h y’(t₀ ) + h² y’’(t₀) /2! =

= y(t₀) + h y’(t₀ ) + (h²/2) [ (y’(t₁) – y’(t₀))/h] =

= y(t₀) + (h/2) ( y’(t₀) + y’(t₁)) = y₀ + (h/2) [ f(y₀, t_o) + f(Y₁,t₁)] =

= y₀ + (h/2) [ f(y₀, t_o) + f(y₁^*,t₁)].

Мұнда Y₁ және y₁^* – Эйлер әдісі бойынша есептелінген, сәйкесінше дәл және жуықтап алынғн мән. Бұл әдіс жақсартылған Эйлер әдісі (немесе Рунге–Куттаның екінші дәреже әдісі) деп аталынды. Әдістің қателігі h³ тең. һ қадамында жанаманың иілу бұрышының түзетілуінің арқасында шешімнің дәлдігі артты. Мұнда (9.5) анықталған интегралды есептеуде трапеция әдісі қолданылады.

Нәтижесінде модифицирленген Эйлер әдісі құрастырылды.

3. Рунге-Кутте әдісі.

Өткен әдістерде шешімнің дәлдігін арттыру үшін туынды арқылы жанаманың иілу бұрыншын анықадық. Туындысыз арқылы иілу бұрышын табу үшін Рунге мен Кутте басқа әдісті ұсынды.

Мысалы геометриялық түрде N=4 болсын. (t_n, y_n) нүктесінде (k₁/h) бұрышының тангенсін табамыз; ол арқылы жартыға бiр қадам алға жүрiп, көлбеу бұрышының тангенсiн есептеймiз; (k₂/h) тангенсін тапқаннан кейін қайтадан (t_n, y_n) нүктесінен жартыға бiр қадам алға жүрiп, көлбеу бұрышының тангенсiн есептеймiз. Дәл солай (k₄/h) дейін есептейміз. Нәтижесінде (t_n, y_n)-нан (t_n+1, y_n+1)-ге қадам жасаймыз және 4 қадам 1/6, 2/6, 2/6, 1/6 салмағымен аламыз. Бұл әдіс (9.3) Тейлер қатарындағы y^1V мүшесінің сақтлынуымен сипатталады. Қысқартудың әртүрлi реттерi үшiн тиiстi тәуелдiлiктер төменде келтiрiлген.

Көп қадамды әдiстер. Бұл әдісте алдыңғы k (бірден беске дейін) нәтижесін қолданады. Сондықтан оны әдістің шешімінің жалғасы деп, ал бір қадамды әдісті шешімнің басы деп атайды. Әдісті қолдану үшін iзделiп отырған функцияның бiрнеше нүктелердегi мәнiн алдын ала есептеуге керек.

Көп қадамды әдісті келесі түрде құрастыруға болады. Интегралдың (9.5) оң жағындағы интеграл астындағы функцияны интерполяцияланған Лагранж полиномына ауыстыру керек. Сонда осы интегралды оңай есептеуге болады:

Осы ой негізінде Адамс–Башфорд болжамы және Адамс–Башфорд–Моултон болжам-коррекция әдісі негізделеді. Бірінші болжам әдісінде (бастапқы жуықтау) t_n+1 нүктесі алдыңғы t_n-3, t_n-2, t_n-1, t_n нүктелер арқылы интерполяцияланған полином арқылы есептелінеді. Екінші коррекцияда t_n+1, t_n, t_n-1, t_n-2 нүктелер арқылы интерполяцияланған полином арқылы есептелінеді. Мұнда y_n+1 мағнасы алдыңғы болжамға негізделеді.

Басқа әдістер.

Қарапайым диференциалдық теңдеулердің сандық шешiмнiң басқа әдiстерiнiң қысқа негiзгi идеяларын қарап шығайық.

Тез өзгерiсi де, байсалды да деп аталатын қатты жүйелер үшiн iзделiп отырған функция бөлiмшелерiнен тұрады.

Мұндай жүйелер үшiн байсалды бөлiмшелерге үлкен адымын есептеулерде ұтымды таңдалатын және оның тез өзгерiсi бөлiмшелерiнде азайтылатыны анық. Ауыспалы адымды таңдау қателердiң әрбiр адымның талдау негiзінде алады. Көрcетiлген қатеге кейбiр кiру рұқсаттары беріледі.

Бақылау сұрақтары:

1. ҚДТ шешуде кейбір сандық әдістерін сипаттаңыз.

2. Эйлер әдісінің негізі ойы қандай?

3. Рунге-Кутте қай жағдайда қолданылады?

4. Адамс–Башфорд болжамы және Адамс–Башфорд–Моултон болжам-коррекция әдісінің негізгі ойы неде?