Дифференциалдық теңдеулерді шешу және әдістері. Коши есебі. Эйлер әдістері

Физикадағы ең маңызды және көп тараған есептердің бірі әртүрлі қозғалыс теңдеулері. Олардың қарапайымдары алғашқы шартпен берілген бір немесе бірнеше диффренциалдық теңдеулерді шешуді қажет етеді. Бірақ көп жағдайда бұндай теңдеулерді аналитикалық шешу мүмкін болмайды, сондықтан Коши есебін шешуге негізделген сандық әдістерді қолданнамыз. Сонымен қатар бұл әдістердің көмегімен шамалары уақытқа байланысты өзгеретін динамикалық есептерді шешуге болады.

Эйлер әдісі. Осындай айрымдық әдістің бірі Эйлер әдісі болып табылады. Мысал ретінде (14.2) алғашқы шартпен бірінші ретті диффренциалдық теңдеуді (14.1) шешуді қарастырамыз:

Дифференциалдық теңдеулерді шешу және әдістері. Коши есебі. Эйлер әдістері - student2.ru (14.1)

Дифференциалдық теңдеулерді шешу және әдістері. Коши есебі. Эйлер әдістері - student2.ru (14.2)

Бұл есептің шешімі айырымдық әдіс бойынша тордық функция түрінде, яғни кесте түрінде Дифференциалдық теңдеулерді шешу және әдістері. Коши есебі. Эйлер әдістері - student2.ru ізделінеді, мұндағы Дифференциалдық теңдеулерді шешу және әдістері. Коши есебі. Эйлер әдістері - student2.ru - Дифференциалдық теңдеулерді шешу және әдістері. Коши есебі. Эйлер әдістері - student2.ru тәуелсіз айнымалысының көптік мәндері (олар түйін деп аталады ), Дифференциалдық теңдеулерді шешу және әдістері. Коши есебі. Эйлер әдістері - student2.ru - түйіндегі Дифференциалдық теңдеулерді шешу және әдістері. Коши есебі. Эйлер әдістері - student2.ru -тің дәл шешімін аппроксимациялайтын мән. Түйіндерді тең қатарлы орналасқан деп есептесек, яғни Дифференциалдық теңдеулерді шешу және әдістері. Коши есебі. Эйлер әдістері - student2.ru , Дифференциалдық теңдеулерді шешу және әдістері. Коши есебі. Эйлер әдістері - student2.ru -қадам деп аталады, ол тұрақты шама болып табылады. Енді (14.1), (14.2) есебі тордық функцияны анықтайтын есепке келеді:

Дифференциалдық теңдеулерді шешу және әдістері. Коши есебі. Эйлер әдістері - student2.ru (14.3)

Дифференциалдық теңдеулерді шешу және әдістері. Коши есебі. Эйлер әдістері - student2.ru (14.4)

(14.3) туындысын шеткі-айырымдық өрнекпен алмастырамыз:

Дифференциалдық теңдеулерді шешу және әдістері. Коши есебі. Эйлер әдістері - student2.ru (14.5)

Осыған байланысты Дифференциалдық теңдеулерді шешу және әдістері. Коши есебі. Эйлер әдістері - student2.ru үшін келесі есептеу формуласын аламыз:

Дифференциалдық теңдеулерді шешу және әдістері. Коши есебі. Эйлер әдістері - student2.ru . (14.6)

Дәлірек Эйлер әдісі.Әдісті қарастыру үшін Дифференциалдық теңдеулерді шешу және әдістері. Коши есебі. Эйлер әдістері - student2.ru функциясын Тейлор қатарына жіктейміз:

Дифференциалдық теңдеулерді шешу және әдістері. Коши есебі. Эйлер әдістері - student2.ru Дифференциалдық теңдеулерді шешу және әдістері. Коши есебі. Эйлер әдістері - student2.ru (14.7)

Енді екінші ретті туындыны шеткі-айырымдық әдіс бойынша жазамыз:

Дифференциалдық теңдеулерді шешу және әдістері. Коши есебі. Эйлер әдістері - student2.ru . (14.8)

(14.8)-ші өрнекті (14.7)-ге қоя отырып келесі өрнекті аламыз:

Дифференциалдық теңдеулерді шешу және әдістері. Коши есебі. Эйлер әдістері - student2.ru . (14.9 )

Туындыларды келесі өрнектермен алмастырамыз

Дифференциалдық теңдеулерді шешу және әдістері. Коши есебі. Эйлер әдістері - student2.ru . (14.10)

Мұндағы Дифференциалдық теңдеулерді шешу және әдістері. Коши есебі. Эйлер әдістері - student2.ru -(14.6) формула бойынша анықталады.

Бұл әдістерден басқа диффренциалдық теңдеуді шешетін Рунге-Кутта әдісі бар.

6. Диффренциалдық теңдеулер жүйесін шешу. Рунге-Кутта әдісі.

Алғашқы шартпен берілген диффренциалдық теңдеулерді шешу үшін Эйлер әдістерінен басқа да бір қадамды әдістер бар. Мысал ретінде екі теңдеуден тұратын диффренциалды теңдеулер жүйесін қарастырамыз:

Дифференциалдық теңдеулерді шешу және әдістері. Коши есебі. Эйлер әдістері - student2.ru(14.11)

Дифференциалдық теңдеулерді шешу және әдістері. Коши есебі. Эйлер әдістері - student2.ru

Рунге-Кутта әдісі Эйлер әдістеріне қарағанда дәлірек әдіс болып саналады. Есептеу үлгісі келесі түрде болады:

Дифференциалдық теңдеулерді шешу және әдістері. Коши есебі. Эйлер әдістері - student2.ru(14.12)

мұндағы

Дифференциалдық теңдеулерді шешу және әдістері. Коши есебі. Эйлер әдістері - student2.ru

Егер жүйе бірнеше теңдеуден тұрса, онда Дифференциалдық теңдеулерді шешу және әдістері. Коши есебі. Эйлер әдістері - student2.ru мен Дифференциалдық теңдеулерді шешу және әдістері. Коши есебі. Эйлер әдістері - student2.ru сияқты сонша коэффиценттер қажет. Айта кететін жағдай, жоғарғы ретті диффренциалдық теңдеулер үшін Коши есебін бірінші ретті дифференциалдық теңдеулер жүйесін шешуге келтіруге болады.

7.10. Дербес туындылы теңдеулерді шешу әдістері. Лаплас теңдеуі

Жылуөткізгіштік теңдеуді үшін аралас есепті қарастырамыз.

Дифференциалдық теңдеулерді шешу және әдістері. Коши есебі. Эйлер әдістері - student2.ru (15.8)

теңдеуін және қанағаттандыратын Дифференциалдық теңдеулерді шешу және әдістері. Коши есебі. Эйлер әдістері - student2.ru функциясын табу керек.

Бастапқы шарт

Дифференциалдық теңдеулерді шешу және әдістері. Коши есебі. Эйлер әдістері - student2.ru , (15.9)

және шекаралық шарттар

Дифференциалдық теңдеулерді шешу және әдістері. Коши есебі. Эйлер әдістері - student2.ru , Дифференциалдық теңдеулерді шешу және әдістері. Коши есебі. Эйлер әдістері - student2.ru . (15.10)

берілген.

Есепті шешу үшін тор әдісін қолданамыз. Әдістің негізінетуындының н әндерін шекті-айырымды қатынаспен алмастыру жатыр. Тәуелсіз екі айнымалы бар жағдайды қарастырамыз. А йталық хОу жазықтығында Дифференциалдық теңдеулерді шешу және әдістері. Коши есебі. Эйлер әдістері - student2.ru шекарасымен қандай да бір Дифференциалдық теңдеулерді шешу және әдістері. Коши есебі. Эйлер әдістері - student2.ru облысы берілсін (Сурет 1).

Дифференциалдық теңдеулерді шешу және әдістері. Коши есебі. Эйлер әдістері - student2.ru

Сурет 1

Жазықтықта екі паралель түзулер жиынтығын қарастырамыз:

Дифференциалдық теңдеулерді шешу және әдістері. Коши есебі. Эйлер әдістері - student2.ru , Дифференциалдық теңдеулерді шешу және әдістері. Коши есебі. Эйлер әдістері - student2.ru , i=0,1,2,…, k=0,1,2,…

Осы түзулердің қиылысқан нүктелерін түйіндер деп атайды.

Іздеп отырған и=и(х,у) функцияның мәндері тор түйіндерінде Дифференциалдық теңдеулерді шешу және әдістері. Коши есебі. Эйлер әдістері - student2.ru деп белгілейік. Әр ішкі түйіндердегі дербес туындыны шекті айырым қатынастары арқылы алмастырамыз:

Дифференциалдық теңдеулерді шешу және әдістері. Коши есебі. Эйлер әдістері - student2.ru

Дифференциалдық теңдеулерді шешу және әдістері. Коши есебі. Эйлер әдістері - student2.ru

Шекаралық нүктелерде келесі түрдегі формуланы қолданамыз

Дифференциалдық теңдеулерді шешу және әдістері. Коши есебі. Эйлер әдістері - student2.ru , Дифференциалдық теңдеулерді шешу және әдістері. Коши есебі. Эйлер әдістері - student2.ru .

Екінші ретті дербес туынды да сәйкесінше алмастырылады

Дифференциалдық теңдеулерді шешу және әдістері. Коши есебі. Эйлер әдістері - student2.ru

Енді Дифференциалдық теңдеулерді шешу және әдістері. Коши есебі. Эйлер әдістері - student2.ru түріндегі теңдеуден келесі теңдеуге көшеміз

Дифференциалдық теңдеулерді шешу және әдістері. Коши есебі. Эйлер әдістері - student2.ru - Дифференциалдық теңдеулерді шешу және әдістері. Коши есебі. Эйлер әдістері - student2.ru =0.

Дифференциалдық теңдеулерді шешу және әдістері. Коши есебі. Эйлер әдістері - student2.ru деп алып, ішкі түйіндер үшін есептеуге арналған теңдеуді аламыз

Дифференциалдық теңдеулерді шешу және әдістері. Коши есебі. Эйлер әдістері - student2.ru (15.11)

Дифференциалдық теңдеулерді шешу және әдістері. Коши есебі. Эйлер әдістері - student2.ru болғанда (15.11) теңдеулері орнықты болады. Дифференциалдық теңдеулерді шешу және әдістері. Коши есебі. Эйлер әдістері - student2.ru болған кезде (15.9) теңдеуі мына түрде жазылады

Дифференциалдық теңдеулерді шешу және әдістері. Коши есебі. Эйлер әдістері - student2.ru (15.12)

Айталық Дифференциалдық теңдеулерді шешу және әдістері. Коши есебі. Эйлер әдістері - student2.ru (x,t) – (15.8)-(15.10) есептің шешімі болсын, Дифференциалдық теңдеулерді шешу және әдістері. Коши есебі. Эйлер әдістері - student2.ru – дәл мәннің тор әдісімен есептелген мәннен ауытқуы. Онда есептеу қателігі келесі формуламен есептелу керек

Дифференциалдық теңдеулерді шешу және әдістері. Коши есебі. Эйлер әдістері - student2.ru Дифференциалдық теңдеулерді шешу және әдістері. Коши есебі. Эйлер әдістері - student2.ru , (15.13)

мұндағы Дифференциалдық теңдеулерді шешу және әдістері. Коши есебі. Эйлер әдістері - student2.ru = Дифференциалдық теңдеулерді шешу және әдістері. Коши есебі. Эйлер әдістері - student2.ru , Дифференциалдық теңдеулерді шешу және әдістері. Коши есебі. Эйлер әдістері - student2.ru

8. Интерполяция және оның түрлері. квадраттық интерполяциялар.

  1. Интерполяция және оның түрлері.

Сызықты интерполяция. Сызықты интерполяцияда берілген нүктелерді қисық сызықтар арқылы қосамыз. Бұл жергілікті интерполяцияға жатады, себебі берілген нүктеге көршілес жатқан екі нүктені қарастырамыз.

Белгісіз функцияның мәні келесі түрде ізделінеді

Дифференциалдық теңдеулерді шешу және әдістері. Коши есебі. Эйлер әдістері - student2.ru . (12.1)

Дифференциалдық теңдеулерді шешу және әдістері. Коши есебі. Эйлер әдістері - student2.ru және Дифференциалдық теңдеулерді шешу және әдістері. Коши есебі. Эйлер әдістері - student2.ru коэффиценттерін табу үшін, Дифференциалдық теңдеулерді шешу және әдістері. Коши есебі. Эйлер әдістері - student2.ru және Дифференциалдық теңдеулерді шешу және әдістері. Коши есебі. Эйлер әдістері - student2.ru нүктелері арқылы өтетін түзудің канондық теңдеуін жазамыз

Дифференциалдық теңдеулерді шешу және әдістері. Коши есебі. Эйлер әдістері - student2.ru . (12.2)

Бұл жерден

Дифференциалдық теңдеулерді шешу және әдістері. Коши есебі. Эйлер әдістері - student2.ru . (12.3)

Сосын (12.1) және (12.3) өрнектерін салыстыра отырып Дифференциалдық теңдеулерді шешу және әдістері. Коши есебі. Эйлер әдістері - student2.ru және Дифференциалдық теңдеулерді шешу және әдістері. Коши есебі. Эйлер әдістері - student2.ru коэффиценттерін табамыз

Дифференциалдық теңдеулерді шешу және әдістері. Коши есебі. Эйлер әдістері - student2.ru . (12.4)

Квадраттық интерполяция.Квадраттық интерполяцияда функцияның мәнің келесі түрде ізделінеді

Дифференциалдық теңдеулерді шешу және әдістері. Коши есебі. Эйлер әдістері - student2.ru (12.5)

Бұл жердегі белгісіз Дифференциалдық теңдеулерді шешу және әдістері. Коши есебі. Эйлер әдістері - student2.ru және Дифференциалдық теңдеулерді шешу және әдістері. Коши есебі. Эйлер әдістері - student2.ru коэффициенттерін табу үшін, үш нүкте Дифференциалдық теңдеулерді шешу және әдістері. Коши есебі. Эйлер әдістері - student2.ru арқылы өтетін параболла үшін теңдеулер жүйесін жазамыз

Дифференциалдық теңдеулерді шешу және әдістері. Коши есебі. Эйлер әдістері - student2.ru

Наши рекомендации