Взаимное расположение прямых.

Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых.

Пол углом между этими прямыми понимают угол между направляющими векторами S1 и S2.

Взаимное расположение прямых. - student2.ru

Для нахождения острого угла между прямыми L1 и L2 числитель правой части формулы следует взять по модулю.

Если прямые L1 и L2 перпендикулярны, то в этом и только в этом случае имеем cos Взаимное расположение прямых. - student2.ru =0. следовательно, числитель дроби = 0, т.е. Взаимное расположение прямых. - student2.ru =0.

Если прямые L1 и L2 параллельны, то параллельны их направляющие векторы S1 и S2. следовательно, координаты этих векторов пропорциональны: Взаимное расположение прямых. - student2.ru .

Условие, при котором две прямые лежат в одной плоскости:

Взаимное расположение прямых. - student2.ru =0.

При выполнении этого условия прямые либо лежат в одной плоскости, то есть либо пересекаются.

Взаимное расположение прямой и плоскости.

Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости.

Пусть плоскость задана уравнением Ах +By + Cz + D=0, а прямая L уравнениями Взаимное расположение прямых. - student2.ru . Углом между прямой и плоскостью называется любой из двух смежных углов, образованных прямой и ее проекцией на плоскость. Обозначим через Взаимное расположение прямых. - student2.ru угол между плоскостью и прямой.

Взаимное расположение прямых. - student2.ru .

Если прямая L параллельна плоскости Q, то векторы n и S перпендикулярны, а потому Взаимное расположение прямых. - student2.ru , т.е.

Взаимное расположение прямых. - student2.ru =0 является условием параллельности прямой и плоскости.

Если прямая L перпендикулярна плоскости Q, то векторы n и S параллельны. Поэтому равенства

Взаимное расположение прямых. - student2.ru являются условиями перпендикулярности прямой и плоскости.

Пересечение прямой с плоскостью. Условие принадлежности прямой плоскости:

Рассмотрим прямую Взаимное расположение прямых. - student2.ru и плоскость Ах +By + Cz + D=0.

Одновременное выполнение равенств:

Аm +Bn+ Cp =0

Ах0+By0 + Cz0 + D=0 являются условием принадлежности прямой плоскости.

Эллипс.

Геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до двух фиксированных точек плоскости (обычно называемых фокусных) постоянна, называется эллипсом.

Если оси координат расположены так, что Ox проходит через фокусы F1(C,0) и F2(-C,0), а О(0,0) совпадает с серед отрезка F1F2, то по F1М+F2M получаем:

каноническое ур-ие эллипса Взаимное расположение прямых. - student2.ru,

b2=-(с2-a2).

а и b- полуоси эллипса., а-большая, b-меньшая.

Эксцентриситет. Взаимное расположение прямых. - student2.ru , (если а>b)

(если а<b)

Эксцентриситет характеризует выпуклость эллипса.

У эллипса эксцентриситет находится: 0 Взаимное расположение прямых. - student2.ru .

Случай Взаимное расположение прямых. - student2.ru =0 возникает только тогда, когда с=0, а это есть случай окружности – это эллипс с нулевым эксцентриситетом.

Директрисы (D) Геометрическое место точек, отношение расстояний от которых до точки эллипса к расстоянию от этой точки эллипса до фокуса постоянно и равно величине Взаимное расположение прямых. - student2.ru , называется директрисами. Взаимное расположение прямых. - student2.ru .

Примечание: у окружности нет директрисы.

Гипербола.

Геометрическое место точек, модуль разности расстояний от которых до двух фиксированных точек плоскости постоянна, называется гиперболой.

Каноническое уравнение гиперболы:
Взаимное расположение прямых. - student2.ru , где Взаимное расположение прямых. - student2.ru .

Гипербола есть линия второго порядка.

Гипербола имеет 2 асимптоты: Взаимное расположение прямых. - student2.ru и Взаимное расположение прямых. - student2.ru

Гипербола называется равносторонней, если ее полуоси равны. (а=b). Каноническое уравнение:

Взаимное расположение прямых. - student2.ru

Эксцентриситет – отношение расстояния между фокусами к величине действительной оси гиперболы:
Взаимное расположение прямых. - student2.ru

Так как для гиперболы с>а , то эксцентриситет гиперболы >1.

Эксцентриситет характеризует форму гиперболы: Взаимное расположение прямых. - student2.ru . Эксцентриситет равносторонней гиперболы равен равен Взаимное расположение прямых. - student2.ru .

Директрисы – прямые Взаимное расположение прямых. - student2.ru .

Фокальные радиусы: Взаимное расположение прямых. - student2.ru и Взаимное расположение прямых. - student2.ru .

Есть гиперболы, которые имеют общие асимптоты. Такие гиперболы называются сопряженными.

Парабола.

Парабола – множество всех точек плоскости, каждая из которых одинаково удалена от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой.

Расстояние от фокуса до директрисы – параметр параболы (p>0).-полуфокальный диаметр.

Парабола есть линия второго порядка.

М(х,у) – произвольная точка параболы. Соединим точку М с F, проведем отрезок MN перпендикулярно директрисе. Согласно определению параболы MF=MN. По формуле расстояния между 2 точкам находим: Взаимное расположение прямых. - student2.ru => Взаимное расположение прямых. - student2.ru = Взаимное расположение прямых. - student2.ru =>

Взаимное расположение прямых. - student2.ru =>

Каноническое уравнение параболы:
y2 = 2px.

Эллипсоид.

Исследуем поверхность, заданную уравнением:

Взаимное расположение прямых. - student2.ru

Рассмотрим сечения поверхности с плоскостями, параллельными плоскости xOy. Уравнения таких плоскостей: z=h,где h – любое число. Линия, получаемая в сечении, определяется двумя ур-ниями:

Взаимное расположение прямых. - student2.ru

z=h .

Исследуем поверхность:

А) если Взаимное расположение прямых. - student2.ru то Взаимное расположение прямых. - student2.ruЛиния пересечения поверхности с плоскостямиz=h не существует.

Б) если Взаимное расположение прямых. - student2.ru , Взаимное расположение прямых. - student2.ruлиния пересечения вырождается в две точки (0,0,с), и (0,0,-с). Плоскости z = c, z = - c касается данной поверхности.

В) если Взаимное расположение прямых. - student2.ru , то уравнения можно переписать в виде: Взаимное расположение прямых. - student2.ru , как видно, линия пересечения есть эллипс с полуосями а1 = Взаимное расположение прямых. - student2.ru , b1 = Взаимное расположение прямых. - student2.ru . При этом, чем меньше h, тем больше полуоси. При н=0 они достигают своих наибольших значений. а1=а, b1=b. Уравнения примут вид:
Взаимное расположение прямых. - student2.ru

h=0.

Рассмотренные сечения позволяют изобразить поверхность как замкнутую овальную поверхность. Поверхность называется эллипсоидами., если какие-либо полуоси равны, трехосный эллипсоид превращается в эллипсоид вращения, а если а=b=c, то в сферу.

Взаимное расположение прямых. - student2.ru

Гиперболоид и конус.

1. Исследуем поверхность Взаимное расположение прямых. - student2.ru .Пересекая поверхностьплоскостью z=h, получим линию пересечения, уравнения которой имеет вид

Взаимное расположение прямых. - student2.ru Взаимное расположение прямых. - student2.ru

z=h. или z=h

полуоси: а1= Взаимное расположение прямых. - student2.ru b1= Взаимное расположение прямых. - student2.ru

полуоси достигают своего наименьшего значения при h=0: а1=а, b1=b. При возрастании h полуоси эллипса будут увеличиваться. =>

Взаимное расположение прямых. - student2.ru

х=0.

Анализ этих сечений показывает, что поверхность, определяемая уравнением, имеет форму бесконечной расширяющейся трубки. Поверхность называется однополостным гиперболоидом.

Взаимное расположение прямых. - student2.ru

2. Взаимное расположение прямых. - student2.ru -уравнение поверхности.

Взаимное расположение прямых. - student2.ruи Взаимное расположение прямых. - student2.ru -поверхность, состоящая из 2 полостей, имеющих форму выпуклых неограниченных чаш. Поверхность называется двухполостным гиперболоидом.

Взаимное расположение прямых. - student2.ru

3. Конус второй степени

Взаимное расположение прямых. - student2.ru Каноническое уравнение:

Взаимное расположение прямых. - student2.ru

a = b - конус вращения (прямой круговой).

Сечения конуса плоскостями: в плоскости, пересекающей все прямолинейные образующие, - эллипс; в плоскости, параллельной одной прямолинейной образующей, - парабола; в плоскости, параллельной двум прямолинейным образующим, - гипербола; в плоскости, проходящей через вершину конуса, - пара пересекающихся прямых или точка (вершина).
26. Параболоид.

1. Взаимное расположение прямых. - student2.ru -это эллиптический параболоид.

Каноническое уравнение:

Взаимное расположение прямых. - student2.ru (р>0, q>0).

p = q - параболоид вращения вокруг оси Oz.

Сечения эллиптического параболоида плоскостями - либо эллипс, либо парабола, либо точка.

2. Взаимное расположение прямых. - student2.ru - гиперболический параболоид.

Взаимное расположение прямых. - student2.ru

Сечения гиперболического параболоида плоскостями - либо гипербола, либо парабола, либо пара прямых (прямолинейных образующих).

Наши рекомендации