V. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами

V. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru

будем решать 2-мя способами.

5.1. Метод вариации произвольной постоянной.

1 шаг. Решаем ОЛДУ:

V. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru

V. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru

V. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru

V. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru V. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru V. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru

V. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru V. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru V. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru

V. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru V. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru V. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru

2 шаг. Считаем V. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru ; V. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru .

Подставляем это решение в исходное НЛДУ и получаем систему уравнений для определения V. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru и V. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru :

V. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru

Найдя V. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru и V. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru решаем для определения V. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru и V. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru полученные дифференциальные уравнения.

3 шаг. Подставляем найденные V. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru и V. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru в решение и получаем общее решение НЛДУ.

Пример 5.1: Решить уравнение V. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru .

Решение:

1 шаг. Решаем уравнение V. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru .

Его характеристическое уравнение V. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru .

Отсюда V. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru

И решение ОЛДУ имеет вид V. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru .

2 шаг. Считаем V. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru , V. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru .

Имеем систему:

V. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru .

Решаем эту систему относительно V. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru и V. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru :

V. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru

V. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru .

Т.о. мы получим V. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru

V. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru .

Решая эти дифференциальные относительно V. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru уравнения, получим

V. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru .

3 шаг. V. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru .

Отсюда общее решение НЛДУ:

V. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru .

Пример 5.2: Метод подбора частного решения НЛДУ.

Метод основан на известном утверждении о том, что общее решение НЛДУ есть сумма общего решения ОЛДУ и некоторого частного решения V. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru НЛДУ.

Общее решение ОЛДУ мы уже умеем исходить.

Частные же решения НЛДУ ищутся по виду V. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru на основе следующих рецептов:

«Правило угадывания частного решения»

Форма f(x): V. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru V. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru V. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru Форма частного решения: V. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru V. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru V. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru

1. Угаданное у* надо умножить на х, если

а) V. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru - это один из корней характеристического уравнения и V. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru ;

в) V. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru - это один из корней характеристического уравнения и V. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru ;

с) V. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru и V. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru .

2. Угаданное у* надо умножить на х2, если

а) V. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru - кратный корень характеристического уравнения и V. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru ;

в) V. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru - кратный корень характеристического уравнения и V. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru ;

Обобщая сказанное, можно для V. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru рекомендовать подбор частного решения в виде

V. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru ,

где k – кратность корня характеристического уравнения;

V. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru - многочлены, степень которых равна наибольшей из степеней многочленов V. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru .

Пример 5.3.:Решить V. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru

Решение:1 шаг. Решаем однородное уравнение

V. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru V. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru V. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru

Отсюда V. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru

2 шаг. Так как V. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru не является корнем характеристического уравнения, то угадываем V. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru .

Подставляя его в исходное уравнение, получим

V. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru .

Приравнивая коэффициенты левой и правой частей, находим

V. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru

Отсюда V. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru ; V. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru .

3 шаг. Искомое решение имеет вид

V. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru .

Пример 5.4.Решить уравнение V. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru .

Решение: 1 шаг. То же, что и в 2.1.5.

V. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru

2 шаг. Поскольку в правой части стоит V. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru , т.е. V. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru , то мы применяем правило 1.в: -1 также является корнем характеристического уравнения. В связи с этим принимаем

V. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru .

Подставляем его в исходное уравнение

V. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru .

Упрощая, находим: V. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru . Отсюда V. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru

3 шаг. Пишем решение

V. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru

Пример 5.5.Найти решение уравнения V. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru проходящее через точку: V. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru

Решение: 1 шаг. Решаем однородные уравнения

V. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru

V. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru

V. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru

Отсюда V. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru .

2 шаг. Поскольку и в корнях V. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru и под знаком cos в правой части уравнения стоит коэффициент 2, то мы имеем случай 1.с. Поэтому

V. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru .

Найдем производные V. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru

V. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru .

Подставляем это в исходное уравнение и получаем

V. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru .

Отсюда V. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru и V. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru .

3 шаг. Общее решение, очевидно, будет

V. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru .

Найдем с1 и с2 из начальных условий:

V. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru

V. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru

Искомое частное решение имеет вид V. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru .

Пример 5.6. Решить уравнение V. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru

Решение: 1 шаг. Решаем однородное уравнение:

V. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru

т.к. корень кратный.

2 шаг. Так как V. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru является кратным корнем характеристического уравнения, то ищем V. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru

Подставляем это в исходное уравнение

V. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru

Отсюда V. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru .

3 шаг. Общее решение примет вид V. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru V. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru .

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА:

№ 1 Исследовать уравнение на наличие особых решений:

1. V. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru

2. V. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru

3. V. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru

4. V. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru

5. V. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru

6. V. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru

7. V. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru

8. V. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru

9. V. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru

10. V. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами - student2.ru

Наши рекомендации