Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида

Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:

линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида - student2.ru

Теорема.Общее решение неоднородного дифференциального уравнения линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида - student2.ru равняется сумме общего решения соответствующего однородного дифференциального уравненияyи частного решения неоднородного уравнения.

линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида - student2.ru

Для дифференциального уравнения второго порядка, у которого правая часть имеет специальный вид, применяются методы подбора формы записи частного решения линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида - student2.ru по виду линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида - student2.ru ,а затем метод неопределенных коэффициентов.

Возможны следующие виды линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида - student2.ru :

1. Если линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида - student2.ru многочлен n ‒ й степени.

линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида - student2.ru

линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида - student2.ru

где линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида - student2.ru ‒ многочлен, той же степени, что и линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида - student2.ru , но с неопределенными коэффициентами (A, B, C, D…), r‒ число корней характеристического уравнения, равных нулю, то есть r= 0, или r= 1, или r= 2.

Пример.

линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида - student2.ru

Решение:

линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида - student2.ru

линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида - student2.ru

линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида - student2.ru

линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида - student2.ru

линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида - student2.ru

линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида - student2.ru

линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида - student2.ru

линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида - student2.ru

линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида - student2.ru

линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида - student2.ru

Подставим в исходное уравнение.

линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида - student2.ru

линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида - student2.ru

линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида - student2.ru
линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида - student2.ru

линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида - student2.ru

2. Если правая часть уравнения линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида - student2.ru , где α ‒ любое число, тогда

линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида - student2.ru , где r ‒ число корней характеристического уравнения, равных α, то есть r= 0, или r= 1, или r= 2.

В частном случае линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида - student2.ru , то линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида - student2.ru , где A‒неопределенный коэффициент.

Пример.

линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида - student2.ru

Решение:

линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида - student2.ru

линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида - student2.ru

линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида - student2.ru

3. Если линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида - student2.ru , a и b‒ действительные числа.

линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида - student2.ru ,где r ‒ число корней характеристического уравнения, совпадающих с линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида - student2.ru (если D< 0) и r= 0(если D≥ 0).

Пример.

линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида - student2.ru

Решение:

линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида - student2.ru

D= 0

линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида - student2.ru

линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида - student2.ru

Ответ: линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида - student2.ru .

ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. СУММА РЯДА.

Задача суммирования множества слагаемых решается в теории рядов.

линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида - student2.ru

где u1,u2,u3…., un…–члены бесконечной числовой последовательности, называется числовым рядом.

Числа u1,u2,u3…., un… называют членами ряда, а un– общий член ряда.

Сумма конечного числа n первых членов ряда называется n–й частичной суммой ряда.

Sn= u1 + u2 +… + un,

т.е. S1= u1; S2= u1+ u2

Sn= u1+ u2+…+ un

Ряд называется сходящимся, если существует конечный предел частичной суммы Sn при n линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида - student2.ru , то есть

линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида - student2.ru

Число S называется суммой ряда.

В противном случае:

линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида - student2.ru

Тогда ряд называется расходящимся.

Эталонные ряды.

1. Геометрический ряд (геометрическая прогрессия)

линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида - student2.ru

линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида - student2.ru .

линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида - student2.ru .

Пример.

линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида - student2.ru

линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида - student2.ru

2. Гармонический ряд.

линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида - student2.ru

3. Обобщенный гармонический ряд.

линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида - student2.ru

линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида - student2.ru

линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида - student2.ru

Пример.

линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида - student2.ru

линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида - student2.ru .

Признаки сходимости знакоположительных рядов

Теорема 1. Необходимый признак сходимости.

линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида - student2.ru

C помощью этого признака можно установить расходимость ряда.

Пример.

линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида - student2.ru

линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида - student2.ru

линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида - student2.ru

Достаточные признаки

Теорема 1.Признак сравнения рядов.

Пусть даны два знакоположительных ряда:

линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида - student2.ru

и

линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида - student2.ru

Причем линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида - student2.ru тогда, если ряд (2) сходится, то сходится и ряд (1).

Если ряд (1) расходится, то расходится и ряд (2).

Пример.Исследовать ряд на сходимость:

линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида - student2.ru

Сравним этот ряд с геометрическим рядом:
линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида - student2.ru

линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида - student2.ru

Сравним ряды:

линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида - student2.ru

линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида - student2.ru

и так далее.

Следовательно, по признаку сравнения искомый ряд сходится.

Наши рекомендации