Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида
Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:
Теорема.Общее решение неоднородного дифференциального уравнения равняется сумме общего решения соответствующего однородного дифференциального уравненияyи частного решения неоднородного уравнения.
Для дифференциального уравнения второго порядка, у которого правая часть имеет специальный вид, применяются методы подбора формы записи частного решения по виду ,а затем метод неопределенных коэффициентов.
Возможны следующие виды :
1. Если многочлен n ‒ й степени.
где ‒ многочлен, той же степени, что и , но с неопределенными коэффициентами (A, B, C, D…), r‒ число корней характеристического уравнения, равных нулю, то есть r= 0, или r= 1, или r= 2.
Пример.
Решение:
Подставим в исходное уравнение.
2. Если правая часть уравнения , где α ‒ любое число, тогда
, где r ‒ число корней характеристического уравнения, равных α, то есть r= 0, или r= 1, или r= 2.
В частном случае , то , где A‒неопределенный коэффициент.
Пример.
Решение:
3. Если , a и b‒ действительные числа.
,где r ‒ число корней характеристического уравнения, совпадающих с (если D< 0) и r= 0(если D≥ 0).
Пример.
Решение:
D= 0
Ответ: .
ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. СУММА РЯДА.
Задача суммирования множества слагаемых решается в теории рядов.
где u1,u2,u3…., un…–члены бесконечной числовой последовательности, называется числовым рядом.
Числа u1,u2,u3…., un… называют членами ряда, а un– общий член ряда.
Сумма конечного числа n первых членов ряда называется n–й частичной суммой ряда.
Sn= u1 + u2 +… + un,
т.е. S1= u1; S2= u1+ u2
Sn= u1+ u2+…+ un
Ряд называется сходящимся, если существует конечный предел частичной суммы Sn при n , то есть
Число S называется суммой ряда.
В противном случае:
Тогда ряд называется расходящимся.
Эталонные ряды.
1. Геометрический ряд (геометрическая прогрессия)
.
.
Пример.
2. Гармонический ряд.
3. Обобщенный гармонический ряд.
Пример.
.
Признаки сходимости знакоположительных рядов
Теорема 1. Необходимый признак сходимости.
C помощью этого признака можно установить расходимость ряда.
Пример.
Достаточные признаки
Теорема 1.Признак сравнения рядов.
Пусть даны два знакоположительных ряда:
и
Причем тогда, если ряд (2) сходится, то сходится и ряд (1).
Если ряд (1) расходится, то расходится и ряд (2).
Пример.Исследовать ряд на сходимость:
Сравним этот ряд с геометрическим рядом:
Сравним ряды:
и так далее.
Следовательно, по признаку сравнения искомый ряд сходится.