Приведём другое решение. Задание на каникулы 8 класс

Задание на каникулы 8 класс

1.Найдите значение выражения

Решение.

Приведём в скобках к общему знаменателю:

Ответ: 22,96.

Ответ: 22,96

22,96

Источник: Банк заданий ФИПИ

2.Вычислите:

Решение.

Приведём дроби к общему знаменателю:

Ответ: 2,35.

Ответ: 2,35

2,35

Источник: Банк заданий ФИПИ

3.Вычислите:

Решение.

Приведём дроби к общему знаменателю:

Ответ: −0,3.

Ответ: -0,3

-0,3

Источник: Банк заданий ФИПИ

4.Найдите значение выражения

Решение.

Найдём значение выражения:

Ответ: 0,8.

Ответ: 0,8

0,8

5.Укажите выражение, значение которого является наименьшим.

Решение.

Упростим заданные числовые выражения:

Сравним полученные дроби, приведя их к наименьшему общему знаменателю:

Наименьшим является третье число.

Правильный ответ указан под номером 3.

Ответ: 3

6.Найдите значение выражения .

Решение.

Приведём к общему знаменателю:

Ответ: 2,18.

Ответ: 2,18

2,18

Источник: МИОО: Диагностическая работа по математике 17.04.2014 вариант МА90605

7.Найдите значение выражения

Решение.

Последовательно получаем:

Ответ: −460.

Ответ: -460

-460

Источник: СтатГрад: Тренировочная работа по математике 26.11.2014 вариант МА90202.

8.Найдите значение выражения

Решение.

Используем свойства дробей:

Ответ: 6.

Ответ: 6

9.Найдите значение выражения

Решение.

Последовательно получаем:

Ответ: −380.

Ответ: -380

-380

Источник: Банк заданий ФИПИ

10.Найдите значение выражения:

Решение.

Для упрощения вычислений, вынесем общий множитель за скобки:

Ответ: 4,4.

Ответ: 4,4

4,4

Источник: МИОО: Диагностическая работа по математике 01.10.2013 вариант МА90103.

11.На координатной прямой отмечено число

В ответе укажите номер правильного варианта.

Какое из утверждений относительно этого числа является верным?

Решение.

Заметим, что . Проверим все варианты ответа:

1) — верно.

2) — неверно.

3) — неверно.

4) — неверно.

Верным является утверждение 1.

Ответ: 1

Источник: Диагностическая работа 01.10.2013 Вариант МА90105

12.Известно, что . Выберите наименьшее из чисел.

В ответе укажите номер правильного варианта.

Решение.

Заметим, что по условию a положительно и находится в интервале от 0 до 1. Поэтому числа a², a³ и тоже будут положительными, тогда как число −a будет отрицательным. Таким образом, −a является наименьшим из предложенных в качестве вариантов ответа чисел.

Правильный ответ указан под номером 3.

Ответ: 3

Источник: 9 класс. Математика. Краевая диагностическая работа. Краснодар (вар. 1)

13.На координатной прямой отмечены числа p, q и r.

Какая из разностей p − r, p − q, r − q отрицательна?

В ответе укажите номер правильного варианта.

1) p − r

2) p − q

3) r − q

4) ни одна из них

Решение.

Заметим, что r < q < p. Разность отрицательна только в том случае, когда вычитаемое больше уменьшаемого. Это верно только для разности r − q.

Правильный ответ указан под номером: 3.

Ответ: 3

14.Какое из приведенных ниже неравенств является верным при любых значениях a и b, удовлетворяющих условию a > b?

В ответе укажите номер правильного варианта.

1) b − a < −2

2) a − b > −1

3) a − b < 3

4) b − a > −3

Решение.

Рассмотрим каждое из приведённых неравеств.

1) Данное неравенство будет верным не для любых значений и таких, что например, это неравенство не выполняется для значений

2) Поскольку больше

3) Данное неравенство будет верным не для любых значений и таких, что например, это неравенство не выполняется для значений

4) Данное неравенство будет верным не для любых значений и таких, что например, это неравенство не выполняется для значений

Правильный ответ указан под номером: 2.

Ответ: 2

Решение.

Возведём в квадрат числа 4, 5, 6, 7, 8:

Число 53 лежит между числами 49 и 64, поэтому принадлежит промежутку

Правильный ответ указан под номером 4.

Приведём другое решение.

Квадрат равен 53 и лежит между числами 7² и 8². Поэтому исходное число лежит в отрезке [7; 8].

Ответ: 4

16.Упростите выражение , найдите его значение при . В ответ запишите полученное число.

Решение.

Упростим выражение:

Найдём значение выражения при :

Ответ: 8.

Ответ: 8

Источник: ГИА по математике 28.05.2013. Основная волна. Вариант 1301.

17.Упростите выражение и найдите его значение при . В ответе запишите найденное значение.

Решение.

Упростим выражение:

При , значение полученного выражения равно 7,5 : 5 = 1,5.

Ответ: 1,5.

Ответ: 1,5

1,5

Источник: ГИА-2013. Математика. Экзамен. Вариант 5

18.Найдите значение выражения при a = −74, x = −10.

Решение.

Упростим выражение:

Найдём значение выражения при a = −74, x = −10:

Ответ: 7,4.

Ответ: 7,4

7,4

Источник: СтатГрад: Тренировочная работа по математике 07.05.2015 вариант МА90901.

19.Упростите выражение и найдите его значение при b=0,3

Решение.

Упростим выражение:

Найдем значение выражения при

Ответ: 1,9.

Ответ: 1,9

1,9

Источник: ГИА-2012. Математика. Диагностическая работа № 1(2 вар)

20.Представьте в виде дроби выражение и найдите его значение при . В ответ запишите полученное число.

Решение.

Упростим выражение:

Найдем значение выражения при :

Ответ: −5.

Ответ: -5

-5

Источник: ГИА-2013. Математика. Тренировочная работа № 1(2 вар)

21. В прямоугольном треугольнике катет и гипотенуза равны 40 и 50 соответственно. Найдите другой катет этого треугольника по формуле = + , с-гипотенуза, а, в - катеты

Решение.

По теореме Пифагора сумма квадратов катетов ( ) равна квадрату гипотенузы ( ). Таким образом:

Ответ: 30

22.Один угол параллелограмма в два раза больше другого. Найдите меньший угол. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Пусть x — меньший угол параллелограмма, а 2x — больший угол, x + 2x + x + 2x = 6x — сумма углов параллелограмма, откуда x = 60°.

Таким образом меньший угол параллелограмма равен 60°.

Ответ: 60.

Ответ: 60

23. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его катет и гипотенуза равны соответственно 12 и 13 . = + , с-гипотенуза, а,в-катеты

Решение.

Синус угла равен отношению противолежащего катета AС к гипотенузе ВC. Поэтому:

Ответ: 20.

Ответ: 20

Источник: СтатГрад: Тренировочная работа по математике 26.11.2014 вариант МА90202.

25.Найдите острый угол параллелограмма , если биссектриса угла образует со стороной угол, равный 41°. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Введём обозначения как показано на рисунке. Углы и равны как накрест лежащие углы при параллельных прямых и Поскольку — биссектриса угла Сумма смежных углов параллелограмма равна поэтому угол равен Таким образом, острый угол параллелограмма равен

Ответ: 82.

Ответ: 82

26.Какое из следующих утверждений верно?

1. Все углы ромба равны.

2. Если стороны одного четырёхугольника соответственно равны сторонам другого четырёхугольника, то такие четырёхугольники равны.

3. Через любую точку, лежащую вне окружности, можно провести две касательные к этой окружности.

Решение.

Рассмотрим каждое из утверждений:

1. Все углы ромба равны - неверно. Верно только в случае квадрата.

2. Если стороны одного четырёхугольника соответственно равны сторонам другого четырёхугольника, то такие четырёхугольники равны - неверно. Стороны квадрата и ромба могут быть равны, однако такие четырёхугольники не равны.

3. Через любую точку, лежащую вне окружности, можно провести две касательные к этой окружности - верно.

Ответ: 3

27.Какие из следующих утверждений верны?

1) Около любого правильного многоугольника можно описать не более одной окружности.

2) Центр окружности, описанной около треугольника со сторонами, равными 3, 4, 5, находится на стороне этого треугольника.

3) Центром окружности, описанной около квадрата, является точка пересечения его диагоналей.

4) Около любого ромба можно описать окружность.

Если утверждений несколько, запишите их номера в порядке возрастания.

Решение.

Проверим каждое из утверждений.

1) «Около любого правильного многоугольника можно описать не более одной окружности.»— верно, около любого правильного многоугольника можно описать окружность, и притом только одну.

2) «Центр окружности, описанной около треугольника со сторонами, равными 3, 4, 5, находится на стороне этого треугольника.» — верно, треугольник с такими сторонами является прямоугольным, таким образом, центр окружности лежит на гипотенузе.

3) «Центром окружности, описанной около квадрата, является точка пересечения его диагоналей.» — верно, диагонали квадрата точкой пересечения делятся пополам, таким образом, центром окружности является точка пресечения диагоналей.

4) «Около любого ромба можно описать окружность.» — неверно, чтобы около четырёхугольника можно было описать окружность, необходимо, чтобы сумма противоположных углов четырёхугольника составляла 180°. Это верно не для любого ромба.

Ответ: 123.

Ответ: 123

28.Укажите номера верных утверждений.

1) Через любую точку проходит не менее одной прямой.

2) Если при пересечении двух прямых третьей прямой соответственные углы равны 65°, то эти две прямые параллельны.

3) Если при пересечении двух прямых третьей прямой внутренние накрест лежащие углы составляют в сумме 90°, то эти две прямые параллельны.

Если утверждений несколько, запишите их номера в порядке возрастания.

Решение.

Проверим каждое из утверждений.

1) Через любую точку проходит бесконечное множество прямых, следовательно, утверждение 1 верно.

2) Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны верно, это признак параллельности прямых.

3) Накрест лежащие углы двух параллельных прямых, пересечённых третьей, равны. Утверждение 3 неверно: прямые могут оказаться непараллельными.

Ответ: 12.

Ответ: 12

Источник: МИОО: Диагностическая работа по математике 01.10.2013 вариант МА90101.

29.Какое из следующих утверждений верно?

1) Любой прямоугольник можно вписать в окружность.

2) Все углы ромба равны.

3) Треугольник со сторонами 1, 2, 4 существует.

Решение.

Проверим каждое из утверждений.

1) « Любой прямоугольник можно вписать в окружность.» — верно, выпуклый четырёхугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда сумма противоположныхх углов этого четырёхугольника равна 180°.

2) «Все углы ромба равны.» — неверно, противоположные углы ромба равны.

3) «Треугольник со сторонами 1, 2, 4 существует.» — неверно, для того, чтобы существовал треугольник, сумма любых его двух сторон должна быть больше третьей стороны.

Ответ: 1.

Ответ: 1

Источник: СтатГрад: Диагностическая работа по математике 30.09.2014 вариант МА90102.

30.Какие из следующих утверждений верны?

1) Площадь многоугольника, описанного около окружности, равна произведению его периметра на радиус вписанной окружности.

2) Если диагонали ромба равна 3 и 4, то его площадь равна 6.

3) Площадь трапеции меньше произведения суммы оснований на высоту.

4) Площадь прямоугольного треугольника меньше произведения его катетов.

Если утверждений несколько, запишите их номера в порядке возрастания.

Решение.

Проверим каждое из утверждений.

1) «Площадь многоугольника, описанного около окружности, равна произведению его периметра на радиус вписанной окружности.» — неверно, площадь многоугольника равна произведению половине периметра на радиус вписанной окружности.

2) «Если диагонали ромба равна 3 и 4, то его площадь равна 6.» — верно, площадь ромба равна половине произведения диагоналей.

3) «Площадь трапеции меньше произведения суммы оснований на высоту.» — верно, площадь трапеции равна половине произведения суммы оснований на высоту.

4) «Площадь прямоугольного треугольника меньше произведения его катетов.» — верно, площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.

Ответ: 234.

Ответ: 234

31.Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 44 км/ч, проезжает мимо пешехода, идущего в том же направлении параллельно путям со скоростью 4 км/ч, за 81 секунду. Найдите длину поезда в метрах.

Решение.

Скорость сближения пешехода и поезда равна 44 − 4 = 40 км/ч. Заметим, что 1 м/c равен 3,6 км/ч. Значит, длина поезда в метрах равна

Ответ: 900 м.

32.Из городов А и В навстречу друг другу одновременно выехали мотоциклист и велосипедист. Мотоциклист приехал в В на 40 минут раньше, чем велосипедист приехал в А, а встретились они через 15 минут после выезда. Сколько часов затратил на путь из В в А велосипедист?

Решение.

Пусть — скорость мотоциклиста, — скорость велосипедиста. Пример расстояние между городами за единицу. Мотоциклист и велосипедист встретились через 15 минут, то есть через часа, после выезда, поэтому Мотоциклист прибыл в B на 40 минут раньше, чем велосипедист в А, откуда Получаем систему уравнений:

Скорость мотоциклиста не может быть отрицательной, поэтому скорость велосипедиста равна 1, а время, затраченное на весь путь равно одному часу.

Ответ: 1.

33.Рыболов проплыл на лодке от пристани некоторое расстояние вверх по течению реки, затем бросил якорь, 2 часа ловил рыбу и вернулся обратно через 6 часов от начала путешествия. На какое расстояние от пристани он отплыл, если скорость течения реки равна 3 км/ч, а собственная скорость лодки 6 км/ч?

Решение.

Пусть S км — расстояние, на которое от пристани отплыл рыболов. Зная, что скорость течения реки — 3 км/ч, а скорость лодки — 6 км/ч, найдём, что время, за которое он проплыл туда и обратно, составляет Учитывая, что он был на стоянке 2 часа и вернулся через 6 часов после отплытия можно составить уравнение:

Отсюда S = 9 км.

Ответ: 9 км.

Источник: Банк заданий ФИПИ

34.Рыболов проплыл на лодке от пристани некоторое расстояние вверх по течению реки, затем бросил якорь, 2 часа ловил рыбу и вернулся обратно через 6 часов от начала путешествия. На какое расстояние от пристани он отплыл, если скорость течения реки равна 1 км/ч, а собственная скорость лодки 5 км/ч?

Решение.

Пусть S км — расстояние, на которое от пристани отплыл рыболов. Зная, что скорость течения реки — 1 км/ч, а скорость лодки — 5 км/ч, найдём, что время, за которое он проплыл туда и обратно, составляет Учитывая, что он был на стоянке 2 часа и вернулся через 6 часов после отплытия можно составить уравнение:

Отсюда S = 9,6 км.

Ответ: 9,6 км.

Источник: Банк заданий ФИПИ

35.Туристы проплыли на лодке от лагеря некоторое расстояние вверх по течению реки, затем причалили к берегу и, погуляв 3 часа, вернулись обратно через 7 часов от начала путешествия. На какое расстояние от лагеря они отплыли, если скорость течения реки равна 3 км/ч, а собственная скорость лодки 5 км/ч?