Полная система уравнений Максвелла для электромаг-нитного поля в дифференциальной форме. Материальные уравне-ния. Граничные условия

Используя систему уравнений Максвелла для электромагнитного поля в интегральной форме (5.1.3, 5.1.12–5.1.14), получим полную систему уравнений Максвелла для электромагнитного поля в диффе-ренциальной форме.

Рассмотрим первое уравнение Максвелла (5.1.3). К левой части уравнения применим теорему Стокса:

∫ Edl =∫(rotE )ndS,	(5.2.1)
L	S

где S – произвольная поверхность, ограниченная контуром L.

Если контур L не деформируется и не перемещается в простран-стве, то правую часть уравнения (5.1.3) можно представить в виде:

d Фm		d					dBn
=		∫ Bn dS	= ∫	dS.	(5.2.2)
dt	dt S		S dt

Подставив выражения (5.2.1–5.2.2) в уравнение (5.1.3), получим:

			d Ф	m			dB
∫	Edl	= −		⇒ ∫ ( rotE )n	dS = −∫	n	dS.	(5.2.3)
dt
L				S	S	dt

Так как поверхность S в выражении (5.2.3) является произволь-ной, то равенство интегралов будет выполняться, если выполняется условие:

	dB	(5.2.4)
rot E = − dt .

Уравнение (5.2.4) является 1-м уравнением Максвелла в диффе-ренциальной форме.

Рассмотрим второе уравнение Максвелла (5.1.12). К левой части

уравнения применим теорему Стокса:
∫ Hdl =∫(rot H )ndS.	(5.2.5)
L	S

Суммарный ток проводимости, пронизывающий произвольную поверхность S, ограниченную контуром L, запишем в виде:

I =∫ jn dS.	(5.2.6)
S

Если контур L не деформируется и не перемещается в простран-стве, то поток вектора электрического смещения через поверхность S, ограниченную контуром L, можно записать в виде:

dФD	=	d		D dS =		dDn dS.	(5.2.7)
dt dt ∫S	n	∫S	dt

Подставив выражения (5.2.5–5.2.7) в уравнение (5.1.12), получим:

			dФD				dDn
∫	Hdl	= I +	⇒ ∫ ( rot H )n	dS =∫ jn dS +∫	dS.	(5.2.8)
dt
L			L	S	S dt

Так как поверхность S в выражении (5.2.8) является произволь-ной, то равенство интегралов будет выполняться, если выполняется условие:

		+	dD	.	(5.2.9)
rotH = j	dt

Уравнение (5.2.9) является 2-м уравнением Максвелла в диффе-ренциальной форме.

3-м и 4-м уравнениями Максвелла в дифференциальной форме яв-

ляются теоремы Гаусса для электрического (5.2.10) и магнитного (5.2.11) поля в дифференциальной форме:

divD =ρ.	(5.2.10)
divB = 0.	(5.2.11)

Уравнения (5.2.3, 5.2.9–5.2.11) составляют систему четырех урав-нений Максвелла в дифференциальной форме.

Четыре фундаментальных уравнения Максвелла не образуют пол-ную систему уравнений электромагнитного поля в веществе. В самом деле, если два векторных уравнения системы (5.2.3, 5.2.9) записать в ко-ординатной форме, то с учетом двух оставшихся уравнений получится восемь скалярных уравнений. Они связывают между собой проекции пяти векторов (Е, D, Н, В, j) и ρ, т. е. восемь уравнений содержат шест-надцать неизвестных величин. Это связано с тем, что уравнения Мак-свелла не содержат никакой информации о свойствах среды, в которой существует электромагнитное поле. Электромагнитные свойства веще-ства (материи) определяются уравнениями, которые в случае изотроп-ной, однородной, проводящей, неферромагнитной и не сегнетоэлектри-

ческой среды (ε = const, μ = const, σ = const) имеют вид:
D =εε0 E, B =μμ0 H , j =σE.	(5.2.12)

Уравнения (5.2.12) называют материальными уравнениями среды. Уравнения (5.2.3, 5.2.9–5.2.12) образуют полную систему уравне-ний электромагнитного поля в среде, решение которой при заданных граничных условиях позволяет определить векторы Е, D, Н, В, j и ска-ляр ρ в каждой точке среды с заданными ее характеристиками ε, μ, σ.

Уравнения справедливы при следующих условиях: 1) материальные тела в поле неподвижны;

2) материальные константы ε, μ, σ могут зависеть от координат, но не должны зависеть от времени и векторов поля;

3) в поле отсутствуют постоянные магниты и ферромагнитные тела. Из уравнений Максвелла следует:

• источниками электрического поля являются либо электриче-

ские заряды, либо изменяющиеся во времени магнитные поля (1-е и 3-е уравнение);

• магнитное поле может возбуждаться либо электрическими то-ками, либо переменным электрическим полем (2-е уравнение);

• переменное магнитное поле всегда связано с порождаемым им электрическим полем, а переменное электрическое поле − с магнит-ным, т. е. электрическое и магнитное поля неразрывно связаны друг с другом и образуют единое электромагнитное поле.

Тема 6. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ

Лекция № 8

6.1. Электромагнитные волны. Волновое уравнение.

6.2. Основные свойства электромагнитной волны. Уравнение элек-тромагнитной волны. Фазовая скорость. Монохроматические волны.

6.3. Энергия электромагнитной волны. Вектор Умова−Пойнтинга.

6.4. Шкала электромагнитных волн.