Система уравнений Максвелла для электромагнитного поля.

Уравнения Максвелла – наиболее общие уравнения для электрических и магнитных полей в покоящихся средах. Из уравнений Максвелла следует, что переменное магнитное поле всегда связано с порождаемым им электрическим полем, а переменное электрическое поле всегда связано с порождаемым им магнитным, т.е. электрическое и магнитное поля неразрывно связаны друг с другом – они образуют единое электромагнитное поле.

Первое уравнение Максвелла определяет источники электрического поля. Электрические заряды создают вокруг себя электрические поля. Физический смысл этого уравнения состоит в том, что электрическое поле в некоторой области пространства связано с электрическим зарядом внутри этой поверхности.

Исходным для этого уравнения является уравнение Гаусса, которое говорит о том, что поток вектора Система уравнений Максвелла для электромагнитного поля. - student2.ru через замкнутую поверхность S равен заряду q, заключенному в данной поверхности:

Система уравнений Максвелла для электромагнитного поля. - student2.ru

Система уравнений Максвелла для электромагнитного поля. - student2.ru где ρ – объемная плотность заряда.

Система уравнений Максвелла для электромагнитного поля. - student2.ru

Для того чтобы получить дифференциальную форму, воспользуемся теоремой Гаусса-Остроградского, которая устанавливает связь между объемным и поверхностным интегралом:

Система уравнений Максвелла для электромагнитного поля. - student2.ru

Дивергенция (расходимость) векторного поля – величина мощности источника поля.

Дивергенция является скалярной величиной:

Система уравнений Максвелла для электромагнитного поля. - student2.ru

Система уравнений Максвелла для электромагнитного поля. - student2.ru

Данное равенство справедливо, если равны подынтегральные функции:

Система уравнений Максвелла для электромагнитного поля. - student2.ru

Система уравнений Максвелла для электромагнитного поля. - student2.ru

Второе уравнение Максвелла устанавливает для любых магнитных полей отсутствие свободных магнитных зарядов и то, что магнитные силовые линии всегда замкнуты. В интегральном виде этот факт записывается в виде уравнения:

Система уравнений Максвелла для электромагнитного поля. - student2.ru

Поток вектора магнитной индукции через замкнутую поверхность равен нулю, поскольку магнитных зарядов одного знака в природе не обнаружено.

Применяя теорему Гаусса – Остроградского:

Система уравнений Максвелла для электромагнитного поля. - student2.ru

Система уравнений Максвелла для электромагнитного поля. - student2.ru

Система уравнений Максвелла для электромагнитного поля. - student2.ru

Третье уравнение Максвелла- это обобщение закона индукции Фарадея для диэлектрической среды в свободном пространстве

Система уравнений Максвелла для электромагнитного поля. - student2.ru

где Ф – поток магнитной индукции, пронизывающий проводящий контур и создающий в нем ЭДС.

Система уравнений Максвелла для электромагнитного поля. - student2.ru

ЭДС создается не только в проводящем контуре, но и в некотором диэлектрическом контуре в виде электрического тока смещения.

Система уравнений Максвелла для электромагнитного поля. - student2.ru

Физический смысл второго уравнения Максвелла состоит в том, что электрическое поле в некоторой области пространства связано с изменением магнитного поля во времени в этой области. Т.е. переменное магнитное поле порождает вихревое электрическое поле.

Система уравнений Максвелла для электромагнитного поля. - student2.ru

Система уравнений Максвелла для электромагнитного поля. - student2.ru

Воспользуемся уравнением Стокса, которое преобразует контурный интеграл в поверхностный:

Система уравнений Максвелла для электромагнитного поля. - student2.ru

Система уравнений Максвелла для электромагнитного поля. - student2.ru

Система уравнений Максвелла для электромагнитного поля. - student2.ru

Данное равенство справедливо, если равны подынтегральные функции:

Система уравнений Максвелла для электромагнитного поля. - student2.ru

Система уравнений Максвелла для электромагнитного поля. - student2.ru

Четвертое уравнение Максвелла - это обобщение закона Ампера и Био-Саварра для токов смещения: циркуляция вектора напряженности магнитного поля по замкнутому контуру равна полному току, пронизывающему этот контур.

Система уравнений Максвелла для электромагнитного поля. - student2.ru

Система уравнений Максвелла для электромагнитного поля. - student2.ru

Физический смысл первого уравнения Максвелла состоит в том, что магнитное поле в некоторой области пространства связано не только с токами проводимости, протекающими в этой области, но и с изменением электрического поля во времени в этой области (токами смещения).

Циркуляция вектора Система уравнений Максвелла для электромагнитного поля. - student2.ru по контуру L равна сумме токов проводимости и смещения.

Система уравнений Максвелла для электромагнитного поля. - student2.ru

Система уравнений Максвелла для электромагнитного поля. - student2.ru

Система уравнений Максвелла для электромагнитного поля. - student2.ru

Система уравнений Максвелла для электромагнитного поля. - student2.ru

Получим дифференциальную форму уравнения Максвелла. Для этого воспользуемся уравнением Стокса, которое преобразует контурный интеграл в поверхностный:

Система уравнений Максвелла для электромагнитного поля. - student2.ru

Система уравнений Максвелла для электромагнитного поля. - student2.ru

Данное равенство справедливо, если равны подынтегральные функции:

Система уравнений Максвелла для электромагнитного поля. - student2.ru

Система уравнений Максвелла для электромагнитного поля. - student2.ru

Величины, входящие в уравнения Максвелла, не являются независимыми и между ними существует следующая связь (изотропные несегнетоэлектрические и неферромагнитные среды):

Система уравнений Максвелла для электромагнитного поля. - student2.ru

где Система уравнений Максвелла для электромагнитного поля. - student2.ru и Система уравнений Максвелла для электромагнитного поля. - student2.ru – соответственно электрическая и магнитная постоянная,

ε и μ – соответственно диэлектрическая и магнитная проницаемость,

Система уравнений Максвелла для электромагнитного поля. - student2.ru – удельная проводимость вещества.

Уравнение плоской электромагнитной волны (ЭМВ). Поперечный характер ЭМВ. Амплитудные и фазовые соотношения. Скорость распространения электромагнитных волн в средах. Энергия электромагнитной волны. Вектор Пойнтинга.

Процесс распространения электромагнитных колебаний в пространстве называется электромагнитной волной. На электромагнитной волне колеблются векторы напряжённости Система уравнений Максвелла для электромагнитного поля. - student2.ru во взаимно перпендикулярных плоскостях в одной фазе – они одновременно обращаются в нуль и одновременно достигают максимальных значений.

Различают плоские, сферические, цилиндрические и другие волны. Простейшими из них являются плоские волны. Плоскойназывается волна, у которой поверхности равных фаз – параллельные плоскости. Если поверхности равных амплитуд совпадают с поверхностями равных фаз, то такая волна называется однородной.

В однородной волне векторы Система уравнений Максвелла для электромагнитного поля. - student2.ru изменяются в пространстве только вдоль одного направления, перпендикулярно фазовому фронту этой волны и совпадающего с направлением ее распространения.

ЭМВ - это поперечные волны, т.е. векторы Система уравнений Максвелла для электромагнитного поля. - student2.ru перпендикулярны друг другу и лежат в плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны.

Исследуем плоскую ЭМВ, распространяющуюся в однородной нейтральной Система уравнений Максвелла для электромагнитного поля. - student2.ru непроводящей Система уравнений Максвелла для электромагнитного поля. - student2.ru среде с постоянными проницаемостями Система уравнений Максвелла для электромагнитного поля. - student2.ru .

Тогда уравнения Максвелла принимают вид:

Система уравнений Максвелла для электромагнитного поля. - student2.ru

Система уравнений Максвелла для электромагнитного поля. - student2.ru

Система уравнений Максвелла для электромагнитного поля. - student2.ru

Система уравнений Максвелла для электромагнитного поля. - student2.ru

Система уравнений Максвелла для электромагнитного поля. - student2.ru

Направим ось x перпендикулярно к волновым поверхностям.

Система уравнений Максвелла для электромагнитного поля. - student2.ru

Векторы Система уравнений Максвелла для электромагнитного поля. - student2.ru и их компоненты по осям зависят от одной координаты (х) и от времени (t). Тогда уравнения для Система уравнений Максвелла для электромагнитного поля. - student2.ru имеют вид:

Система уравнений Максвелла для электромагнитного поля. - student2.ru

Система уравнений Максвелла для электромагнитного поля. - student2.ru

Решения этих уравнений – уравнения электромагнитной волны:

Система уравнений Максвелла для электромагнитного поля. - student2.ru

Система уравнений Максвелла для электромагнитного поля. - student2.ru

Система уравнений Максвелла для электромагнитного поля. - student2.ru

Система уравнений Максвелла для электромагнитного поля. - student2.ru

Система уравнений Максвелла для электромагнитного поля. - student2.ru

Система уравнений Максвелла для электромагнитного поля. - student2.ru

Наши рекомендации