Свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций.
1. Сумма (разность) конечного числа бесконечно малых есть функция бесконечно малая.
2. Произведение бесконечно малой функции при на функцию, ограниченную в окрестности точки , есть функция бесконечно малая.
3. Сумма бесконечно больших функций одного знака является бесконечно большой того же знака.
4. Произведение бесконечно большой при функции на функцию, имеющую предел при , не равный нулю, есть бесконечно большая.
5. Если функция является бесконечно малой при , то - бесконечно большая, и обратно, если функция является бесконечно большой при , то - бесконечно малая при ,то есть
(символическая запись ).
(символическая запись );
Поведение же функции, являющейся отношением бесконечно малых (неопределенность ), бесконечно больших при ,суммой бесконечно больших разных знаков , произведением бесконечно малой на бесконечно большую требует исследования. Нахождение предела в случае неопределенности называется раскрытием неопределенности.
Замечательные пределы.
Можно доказать следующие утверждения:
1)
2) . Возможно: и .
Они называются первым и вторым замечательными пределами.
Справедливы следствия:
1) ;
2)
С помощью замечательных пределов расширяется возможность вычислять пределы функций.
Приведем некоторые приемы вычисления пределов, излагая их на конкретных примерах.
Пример.Найти пределы (не применяя правило Лопиталя)
1) | 2) | 3) |
4) | 5) | 6) |
7) |
Решение:
1)
Так как пределы числителя и знаменателя при равны нулю, то мы имеем неопределенность вида . Эту неопределенность можно раскрыть, разложив на множители квадратные трехчлены в числителе и знаменателе и сократив далее на общий множитель :
2)
Здесь мы имеем неопределенность вида . Домножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное числителю:
3)
Числитель и знаменатель дроби - бесконечно большие функции, поэтому здесь имеет место неопределенность вида . Чтобы раскрыть эту неопределенность поделим числитель и знаменатель на старшую степень переменной х в данной дроби:
.
4) .
Применяя первый замечательный предел , получим
.
5)
Используя формулу понижения степени , преобразуем числитель дроби, затем сведем предел к первому замечательному пределу ,
.
6)
Имеем неопределенность вида . Преобразуем функцию так, чтобы воспользоваться вторым замечательным пределом , или следствием .
7)
Преобразуем функцию так, чтобы воспользоваться вторым замечательным пределом:
Непрерывность функции.
Функция называется непрерывной в точке , если .
Ищем условия непрерывности в точке .
Функция непрерывна в точке , если
1. Существует предел
2. Существует значение функции в точке ( )
3. Этот предел и значение функции совпадают, то есть .
Условие 3 можно переписать в виде: .
Точки, в которых нарушается непрерывность функции, называются точками разрыва этой функции.
Если правый (левый) предел совпадает со значением функции, то функция называется непрерывной справа (слева) в рассматриваемой точке, то есть
Точка называется точкой устранимого разрыва, если существуют конечные , и выполняется условие .
Этот разрыв можно устранить, изменив значение функции всего в одной точке, а именно, вместо в точке взять значение .
Но это будет уже другая функция, которая будет отличаться от функции всего в одной точке (при ).
Точка называется точкой разрыва I рода с конечным скачком, если существуют конечные и , но . При этом возможна непрерывность функции, с одной стороны.
Точка называется точкой разрыва II рода, если хотя бы один из односторонних пределов не существует.
Пример. Функция задана различными аналитическими выражениями в различных областях изменения независимой переменной. Найти точки разрыва функции, если они существуют, и построить график функции.
Решение.Функции , , являются непрерывными на . Значит, функция может иметь разрыв только в точке перехода от одного аналитического выражения к другому. Такими точками являются точки и . Проверим условие непрерывности для точек и .
1. Найдем пределы слева и справа в точке и значение функции в этой точке.
.
Вывод: так как , то функция в точке является непрерывной.
2. Найдем пределы слева и справа в точке и значение функции в этой точке.
.
Вывод: так как , то функция в точке терпит разрыв. Поскольку односторонние пределы являются конечными, то точкой разрыва I рода с конечным скачком (слева непрерывна, так как ).
Скачок функции .
3. Строим график функции