Фигура ограничена графиком функции, заданной в полярной системе координат.

Если график функции задан в полярной системе координат, для того чтобы вычислить площадь криволинейного сектора, ограниченного двумя лучами и графиком функции в полярной системе координат, томожно использовать метод интегральных сумм, вычисляя площадь криволинейного сектора как предел суммы площадей элементарных секторов, в которых график функции заменен дугой окружности . Можно использовать и метод дифференциалов: .

Заменяя элементарный криволинейный сектор, соответствующий центральному углу круговым сектором, имеем пропорцию . Отсюда . Интегрируя и используя формулу Ньютона – Лейбница, получается .

Приложение определенного интеграла..Вычисление длины дуги плоской кривой.

Если дуга представляет собой график непрерывно дифференцируемой функции , дифференциал длины дуги можно вычислить по формуле

. Поэтому

Если гладкая дуга задана параметрически , то . Получается, .

Если дуга задана в полярной системе координат, то

.получается, у .

После того, уберите ручкой символ «&» в формулах, а то не поймем.

Приложение определенного интеграла. Вычисление объема тела.

1.Вычисление объемов тел по площадям параллельных сечений. Для вычисления объеам некоторого тела V по известным площадям сечений этого тела плоскостями, перпендикулярными прямой OX, проведенными через любую точку x отрезка [a, b] прямой OX.

Считая элементарный объем , над отрезком объемом прямого кругового цилиндра с площадью основания и высотой , получится , применяем формулу Ньютона – Лейбница, получим .

2.Вычисление объемов тел вращения. Для определения объема тела вращения вокруг оси OX. Тогда . объем тела вращения вокруг оси OY, если функция задана в виде , можно вычислить по формуле .

Если функция задана в виде и требуется определить объем тела вращения вокруг оси OY, формулу для вычисления объема получим следующим образом

имеем . Интегрируем и применяем формулу Ньютона – Лейбница, и получается .

Функции нескольких (двух) переменных. Основные понятия

Переменная z (с областью изменения Z)называется функцией двух независимых переменных х,у в множестве М, если каждой паре (х,у) из множества М по некоторому правилу или закону ставится в соответствие одно определенное значение z из Z. . Множество М, в котором заданы переменные х,у, называется областью определения функции, а сами х,у – ее аргументами.

Обозначения: z = f(x,y), z = z(x,y).Переменная z (с областью изменения Z)называется функцией нескольких независимых переменных в множестве М, если каждому набору чисел из множества М по некоторому правилу или закону ставится в соответствие одно определенное значение z из Z. Понятия аргументов и области определения вводятся так же, как для функции двух переменных. Обозначения: z = f , z = z .