Построение кривойв полярной системе координат

Прямая на плоскости

Всякая прямая линия определяется в заданной прямоугольной декартовой системе координат Оху уравнением первой степени относительно переменных х и у.

Ах + Ву + С=0 (1)

общее уравнение прямой, где А и В - координаты одного из нормальных векторов этой прямой.

(2)

каноническое уравнение прямой, где (х₀,у₀) - координаты точки, через которую проходит прямая, l и т- координаты направляющего вектора .

xCosa+yCosβ-p = 0 (3)

нормированное уравнение прямой, где Cosa,Cosβ - координаты единичного вектора нормали прямой (он направлен из начала координат к прямой), р - расстояние прямой от начала координат .

Из уравнений (1)-(3) могут быть получены удобные в геометрическом смысле уравнения:

у = кх + b (4)

уравнение с угловым коэффициентом к = tga, α - угол наклона прямой к осиОх, b - величина отрезка, отсекаемого на оси Оу.

(5)

уравнение прямой, проходящей через две данные точки (х₁ ,у₁) и (х₂ ,у₂).

(6)

параметрические уравнения прямой, проходящей через точку (х_о ,у_о) в направлении вектора = {1,т).

(7)

уравнение прямой «в отрезках», где а и b величины отрезков отсекаемых прямой на осях ох и оу соответственно.

Взаимное расположение двух прямых, заданных уравнениями (1),(2),(3), вполне определяется взаимным расположением векторов с ними связанных, поэтому условия параллельности, ортогональности и угол между прямыми получены из соответствующих условий для векторов. Для прямых, заданных уравнениями вида (4), выпишем эти условия. Если y=k₁х + b₁ и у = к₂х + Ь₂ уравнения этих прямых, то

k₁ =k₂ –условие параллельности, (8)

k₁×k₂=-1 –условие перпендикулярности, (9)

-тангенс угла между прямыми (10)

Если дана прямая общим уравнением Aх + Ву + С=О, то его можно нормировать умножением на нормирующий множитель

, (11)

где знак выбирается противоположным знаку свободного члена С из общего уравнения

μАх + μBу + μC = 0

Нормированное уравнение позволяет получить отклонение δ и расстояние d для данной точки М₀(х₀,у₀) от прямой по формуле δ = х₀ cosα + у₀ cosβ - ρ,

. (12)

Пример 1. Найти угол между прямыми

.

Решение.

,

тогда другой угол между прямыми 135°.

Пример 2. Найти проекцию точки М_о(4,9) на прямую, проходящую через точки М₁(3,1) и М₂(5,2).

Решение. Найдем уравнение прямой М₁М₂ по формуле (5)

,

откуда . Ищем уравнение перпендикуляра к этой прямой, проходящего через точку М_о в виде (4). Пользуясь условием перпендикулярности к_гк₁ =-1, найдем . Так как координаты М_о должны удовлетворять искомому уравнению, то в уравнение у=-2x+b подставим координаты М_о: 9 =-2×4+b.

Получим b= 17. Точка пересечения заданной прямой и этого перпендикуляра даст проекцию М_о на данную прямую.

Решим систему:

.

Получим х = 7,у = 3.

Пример 3. Найти расстояние между параллельными прямыми

у=2х-З и у=2х + 5.

Решение. На первой прямой найдем какую-нибудь точку. Пусть х =1, тогда у=-1. Получим точку М_о (1,-1).

Приведем уравнение второй прямой к нормированному виду:

2x-y+5=0, ,

- нормированное уравнение. Тогда по формуле (12) получим

(лин.ед.)

Плоскость

Уравнение плоскости с нормальным вектором = {А,В,С} и проходящей через точку M₀(x₀,y₀,z_o) имеет вид

А(х -х₀) + В(у - у₀) + C(z - z₀) = 0. (13)

Из этого уравнения получается общее уравнение плоскости

Ax + By + Cz+D=0, (14)

представляющее собой уравнение первой степени относительно переменных x,y и z.

Геометрически удобное уравнение в отрезках

, (15)

где а,b,с - величины отрезков, отсекаемых плоскостью на осях координат соответственно.

Нормированное уравнение плоскости

xcosα + ycosβ + zcosg-ρ = 0, (16)

где ρ - расстояние плоскости от начала координат; a,β,g - углы образованные единичным вектором нормали к плоскости (он направлен от начала координат к плоскости) с соответствующими осями координат. Если дана плоскость общим уравнением (14), то

μАх + μDy + μСz + μD = О

будет нормированным уравнением той же плоскости, если

,

где знак выбирается противоположным знаку D - свободного члена в общем уравнении.

Нормированное уравнение (16) позволяет получить отклонение δ и

расстояние d от заданной точки М_о (х₀, у₀ ,z₀) до плоскости

δ = x₀cosα + y₀cosβ + z₀cosγ -ρ, (17)

d = \ δ \. (18)

Условия перпендикулярности, параллельности и угол между плоскостями совпадают с аналогичными условиями для векторов, нормальных к этим плоскостям.

Прямая в пространстве

Прямая в пространстве может быть задана как линия пересечения двух плоскостей

(19)

причем должно нарушаться хотя бы одно из равенств

,

чтобы эти плоскости пересекались.

Другой способ задания прямой:

(20)

каноническими уравнениями, где М₀(x₀, у₀,z₀) - точка, через которую проходит прямая в направлении вектора = {1,т,п}. Тогда условия параллельности, перпендикулярности и угол между прямыми могут быть получены как соответствующие условия для направляющих векторов этих прямых.

Из (20) могут быть получены уравнения прямой, проходящей через две точки М₁{x₁, y₁, z₁) и M₂(x₂,y₂,z₂)

(21)

и параметрические уравнения прямой:

. (22)

Если прямая задана уравнениями (19), то можно получить канонические уравнения этой прямой, если взять какую-нибудь точку, задавая, например, х₀ и отыскивая соответствующие у₀ и z₀ из системы (19), и получить направляющий вектор прямой

Если прямая задана уравнениями (20), а плоскость общим уравнением (14), то условие параллельности прямой и плоскости

Аl + Вт+Сп = 0, (23)

а условие перпендикулярности

.

Пример 4. Привести уравнение прямой

к каноническому виду.

Решение. Найдем какую-нибудь точку на этой прямой. Пусть х = 0, тогда система примет вид

.

Отсюда y=-2, . Получим точку М_о(0;-2; )Найдем направляющий вектор

Канонические уравнения прямой

Пример 5. Составить уравнения движения точки M(x,y,z), которая имеет начальное положение М_о(1;-2;4), движется прямолинейно и равномерно в направлении вектора = {2; 3; 6} со скоростью , .

Решение. Тогда . Искомые уравнения будут

Пример 6. Найти расстояние точки М₀(1;2;0) от прямой

Решение. Проведем через точку М_о плоскость α, перпендикулярную данной прямой и найдем М₁ - точку пересечения плоскости α с данной прямой. Тогда искомое расстояние будет расстоянием от М_о до М₁. Для плоскости α воспользуемся уравнением вида (13), так как известна точка М₀(1;2;0) на ней лежащая и нормальным вектором может служитьнаправляющий вектор прямой а= {2,5,1}. Получим

2(х -1) + 5(у - 2) + 1(z- 0) = 0 ,

или

2x + 5y + z-12 = 0.

Найдем точку пересечения плоскости α и данной прямой, решив систему из уравнений плоскости α и параметрических уравнений данной прямой:

Исключая x,y,z, найдем t=-0,5. Тогда х=1,y=1,5,z=2,5. Точка М₁(1;1,5;2,5). Расстояние М₀М₁:

(лин.ед.).

Пример 7. Найти угол между прямой

и плоскостью

х + 2у - 3z - 1 = 0.

Решение. Рассмотрим нормальный вектор плоскости = {1;2;-3} и направляющий вектор прямой = {2;3;5}. Косинус угла между этими векторами равен синусу угла между прямой и плоскостью:

,

.

Кривые второго порядка

Канонические уравнения:

эллипса ,

гиперболы ,

параболы ;

Эксцентриситеты

эллипса ,

гиперболы

параболы ,

где r и d - расстояния любой точки параболы до фокуса и директрисы соответственно. Уравнение директрисы параболы ; .

Построение кривойв полярной системе координат

Полярная система координат задается точкой О (полюсом), выходящим из нее лучом и единицей масштаба. Полярные координаты точки М - два числа ρ и φ, первое из которых ρ (полярный радиус) равно расстоянию точки М от полюса О, а второе φ (полярный угол) - угол, на который нужно повернуть полярный луч против часовой стрелки до совмещения с лучом ОМ.

Обычно считают, что ρ и φ изменяются в пределах

,

чтобы соответствие между точками плоскости и полярными координатами было однозначным.

Замечание. В задачах, связанных с перемещением точки по плоскости (в механике), удобнее отказаться от этих ограничений, когда естественно считать, что при вращении точки угол может быть и больше 2π, а при движении точки по прямой, проходящей через полюс, считать, что при переходе через полюс полярный радиус точки меняет знак на отрицательный.

Пример. Построить график функции ρ = 2 + 3cos φ.

Построение выполняем поточечное. Выяснив область определения функции ( ), задаемся для начала значениями φ в интервале [0,2π] и вычисляем соответствующие значения ρ:

Номер точки
j									π
r		4,6	4,1	3,5		0,5	-0,1	-0,5	-1	-0,5

Номер точки
j
r	-0,1	0,5		-3,5	4,1	4,6

Выполним построение с помощью транспортира.

Улитка Паскаля

При значениях полученные точки повторяются.

Замечание 1. Если форма кривой неясна, берем промежуточные точки.

Замечание 2. Наиболее часто встречающиеся кривые и их название приведены в справочнике [3] .