Составляющие деформации и дифференциальные уравнения равновесия в триортогональной системе криволинейных координат

ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ АНИЗОТРОПНОГО ТЕЛА В КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТАХ

Некоторые сведения о криволинейных координатах в пространстве

Как известно, положение какой-либо точки в пространстве однозначно может быть определено ее радиусом-вектором относительно некоторой неподвижной точки . В прямоугольных – декартовых координатах для имеем

(1.1)

где – единичные векторы.

В общем случае, в задачах теории оболочек выгодно положение какой-либо точки , имеющей радиус-вектор , определить не тремя декартовыми координатами , а тремя какими-либо другими величинами , которые однозначно определяют положение точки в пространстве и называются криволинейными координатами и как функции в декартовых координатах имеют вид

(1.2)

Обратно, так как радиус-вектор любой точки пространства является вполне определенным, когда заданы , то он является функцией от этих независимых переменных, следовательно, и компоненты этого радиуса-вектора будут функциями криволинейных координат

, , . (1.3)

Согласно (1.2), предполагая , , , получим три семейства поверхностей. Через каждую точку пространства проходит по одной поверхности из каждого такого семейства: эти поверхности называются координатными поверхностями. Линии пересечения координатных поверхностей называются координатными линиями (рис.1.1).

В указанной триортогональной системе криволинейных координат для квадрата линейного элемента пространства имеем

, (1.4)

где , ,

в общем случае ортогональных криволинейных коорди-нат являются функциями переменных и называются коэффициентами Ляме.

При заданных соотношениях (1.3) для данной системы координат ко-эффициенты Ляме определяются посредством следующих формул:

, ,

. (1.5)

Например, в цилиндрических координатах при , когда соотношения (1.3) имеют вид (рис.1.2)

,

из (1.5) для коэффициентов Ляме получим

.

В сферических координатах (рис.3) при , когда соотношения (1.3) имеют вид

,

из (1.5) имеем

.

В декартовых прямоугольных координатах формула для квадрата линейного элемента имеет вид

,

в силу чего для коэффициентов Ляме имеем

.

Составляющие деформации и дифференциальные уравнения равновесия в триортогональной системе криволинейных координат

Пусть сплошное тело, отнесенное к триортогональной системе координат , под действием каких-либо сил критериевой деформации. Тогда какая-либо точка , принадлежащая телу и имеющая координаты , получит перемещение, которое может быть представлено следующими тремя проекциями вектора полного перемещения на направления касательных к координатным линиям

. (1.6)

Все эти величины называются перемещения точки . За положительные примем перемещения , , , направленные в сторону положительных изменений соответствующих переменных .

Деформационное состояние сплошного трехмерного тела в окрестности точки характеризуется шестью составляющими деформации.

Из этих составляющих три, которые обозначаются через , , , представляют соответственно относительные деформации удлинения по трем взаимно перпендикулярным направлениям , а остальные три, которые обозначаются через , , , представляют соответственно деформации сдвига, происходящие в трех взаимно перпендикулярных плоскостях, являющихся касательными плоскостями в точке к трем взаимно перпендикулярным координатным поверхностям

, , .

Составляющие деформации , , … связаны с перемещениями , , из точки посредством следующих формул:

;

; (1.7)

;

;

; (1.8)

;

Напряженное состояние в какой-либо точке сплошного трехмерного тела, как известно, характеризуется тензором напряжений, который определяется девятью компонентами. Из этих компонентов три являются нормальными напряжениями, которые действуют по трем взаимно перпен-дикулярным направлениям координатных линий , и шесть – касательными напряжениями, действующими в трех взаимно перпендикулярных плоскостях, являющихся касательными плоскостями в точке к трем взаимно перпендикулярным координатным поверхностям (рис. 1.4) , , . В силу парности касательных напряжений число независимых напряжений равно не девяти, а шести.

, , – нормальные напряжения, подстрочные индексы которых показывают направления внешней нормали к той площадке, к которой данные напряжения относятся.

– касательные напряжения, первые подстрочные индексы которых показывают направление, в котором действует данное касательное напряжение, а вторые индексы – направления внешней нормали к площад-ке, к которой приложено данное напряжение.

Все напряжения счита-ются положительными, если они, будучи приложенными к площадкам с положитель-ными внешними нормалями, действуют по направлению соответствующих положи-тельных внешних нормалей (рис.1.4).

Если рассмотренное сплошное трехмерное тело находится в равновесии, то условия равновесия дифференциального элемента тела в продольно выбранной триортогональной системе криволинейных координат представляются следующими тремя дифференциальными уравнениями:

(1.9)

(1.10)

(1.11)

где , , представляют соответствующие проекции объемной силы на направления касательных к координатным линиям .