Глава 12. Применение производной для исследования функции
Пример 1. Исследовать на монотонность функцию у=2х3+3х2-1
Решение:
1. Найдем производную
y’=6x2+6x
2. y’=0
6x2+6x=0 решаем уравнение:
6x(x+1)=0
6х=0 или х+1 =0
х=0 и х=-1
3. Строим числовую прямую
4. «+» функция возрастает (- ;-1] [0;+ )
«-»функция убывает [-1;0]
Пример 2.Исследовать функцию на экстремумы функции y=2
Решение:
1. Найдем производную функции y’=4x-7
2. Производную приравняем к нулю и найдем корни
y’=0
4x-7=0
x=
3. Строим числовую прямую
4. Слева y’<0, справа y’>0 – min, тогда точка x= является точкой минимума
Пример 3. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции на заданном промежутке y=x3-3x2-45x-1 на [-4;6]
Решение:
1. y’=3x2-6x-45
2. y’=0
3x2-6x-45=0
х1=-3, х2=5
х1,2 [-4;6]
3. Стоим таблицу [-4;6]. Значение х подставляем в уравнение и находим у
| x | -4 | -3 | ||
| y | -174 | -161 |
4. Yнаим = -174 (достигается в точке х=5)
Yнаиб = 82 (достигается в точке х=-3)
Исследование функции на монотонность
Задание. Определите промежутки возрастания и убывания функции.
12.1.1.y=cosx+2x
12.1.2.
12.1.3.
12.1.4.
12.1.5.
12.1.6.
12.1.7.
12.1.8.
12.1.9.
12.1.10.
12.1.11.
12.1.12.
12.1.13.
12.1.14.
12.1.15.
12.1.16.
12.1.17.
12.1.18.
Исследование функции на экстремумы
12.2.1. Найти точки экстремума функции на промежутке .
Найдите точки экстремума функции
12.2.2.
12.2.3.
12.2.4.
12.2.5.
12.2.6.y=cos2x
12.2.7.
12.2.8.
12.2.9. Найдите точки минимума функции
12.2.10. Найдите точки максимума функции
Найдите точки экстремума функции
12.2.11.
12.2.12.
12.2.13.
12.2.14.
12.2.15.
12.2.16.
12.2.17.y=x-2cosx на
12.2.18.
Исследование на наибольшее и наименьшее значение функции
Задание. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции на заданном промежутке.
12.3.1.y=3x -6 на
12.3.2. на
12.3.3. на
12.3.4. на
12.3.5. на
12.3.6. на
12.3.7. на
12.3.8. на
12.3.9. на
12.3.10. на
12.3.11. на
12.3.12. на
12.3.13. на
12.3.14. на
12.3.15. на
12.3.16. на
12.3.17. на
12.3.18. на
Глава 13. Первообразная и интеграл
Пример 1.
Пример 2.Вычислить первообразную:
Пример 3.
Пример 4.
Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: ,
1. Найдем точки пересечения с осью :
,
,
,
Получили точки (3;0) и (1;0).
2. Найдем точки пересечения с осью :
,
Получили точку (0;3)
3. Найдем вершину параболы:
,
4. Строим график
5.
Первообразная
Задание. Найдите все первообразные функции.
13.1.1.
13.1.2.
13.1.3.
13.1.4.
13.1.5.
13.1.6.
13.1.7.
13.1.8.
13.1.9.
13.1.10.
13.1.11.
13.1.12.
13.1.13.
13.1.14.
13.1.15.
13.1.16.
13.1.17.
13.1.18.
Неопределенный интеграл
Задание. Вычислить.
13.2.1.
13.2.2.
13.2.3.
13.2.4.
13.2.5.
13.2.6.
13.2.7.
13.2.8.
13.2.9.
13.2.10.
13.2.11.
13.2.12.
13.2.13.
13.2.14.
13.2.15.
13.2.16.
13.2.17.
13.2.18.
Определенный интеграл
Задание. Вычислить.
13.3.1.
13.3.2.
13.3.3.
13.3.4.
13.3.5.
13.3.6.
13.3.7.
13.3.8.
13.3.9.
13.3.10.
13.3.11.
13.3.12.
13.3.13.
13.3.14.
13.3.15.
13.3.16.
13.3.17.
13.3.18.
Вычисление площади фигуры с помощью интеграла
Задание. Вычислить площадь фигуры ограниченной графиком функции, прямыми.
13.4.1.
13.4.2.
13.4.3.
13.4.4.
13.4.5.
13.4.6.
13.4.7.
13.4.8.
13.4.9.
13.4.10.
13.4.11.
13.4.12.
13.4.13.
13.4.14.
13.4.15.
13.4.16.
13.4.17.
13.4.18.
Литература
1.Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / А. Г. Мордкович, Л. О. Денищева, Т.А. Корешкова, Т. Н. Мишустина, Е. Е. Тульчинская; под ред. А. Г. Мордковича. – 7 – е изд.
2.Афанасьева О.Н., Бродский Я. С., Гуткин И. И., Павлов А. Л. Сборник задач по математике для техникумов на базе средней школы. Учебное пособие для техникумов. – М.: Наука. Гл. ред. физ. – мат. лит., 1987. – 208 с.
3.ЕГЭ 2010. Математика. Сдаем без проблем! / О. А. Креславская, В.В. Крылов, В. И. Снегурова, В. Я. Ярмолюк. – М. : Эксмо, 2009. – 192 с. – (ЕГЭ. Сдаем без проблем).
4.Казак В.В., Козак А. В. Тесты по математике. Серия «Тестирование и единый экзамен» - Ростов – на – Дону: издательский центр «МарТ», 2002. – 184 с.
5.Математика. Подготовка к ЕГЭ – 2011: учебно – методическое пособие/ Под редакцией Ф.Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова. – Ростов – на – Дону: Легион, 2010. – 416 с. – («Готовимся к ЕГЭ»).
6.Мордкович А. Г., Суходский А. М. Справочник школьника по математике. 5-11 классы. Арифметика, алгебра, тригонометрия, начала анализа. – М.: Издательский Дом ОНИКС: Альянс – В, 1999. – 288 с., ил. – (Готовимся к экзаменам).
7.Сборник заданий для подготовки и проведения письменного экзамена по математике (курс А) и алгебре и началам анализа (курс В) за курс средней школы. 11 класс / Г. В. Дорофеев, Г. К. Муравин, Е. А. Седова. – 11 – е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2008. – 160 с. : ил.