Общий метод вычисление коэффициентов

Рассмотренный выше метод вычисления коэффициентов и свободных членов канонических уравнений МП, основанный на рассмотрении равновесия узлов рамы, приводит к затруднениям для рам с наклонными элементами. В этом случае, а также при реализации МП в компьютерной программе целесообразно воспользоваться общим методом вычисления коэффициентов.

Пусть рама загружена произвольной нагрузкой (рис. 6.6, а), а соответствующая ей основная система МП образована введением двух связей: моментной – i и линейной – j (рис. 6.6, б).

Рассмотрим два состояния этой системы, соответствующие единичным смещениям введенных связей, и обозначим через`M<sub>i</sub><sup>0</sup> и`M_j⁰ соответствующие им эпюры изгибающих моментов (рис. 6.6, в, г).

Вычислим работу внешних сил первого состояния системы на перемещениях второго состояния:

A₁₂ = r_ii· θ_ij + r_ji·δ_jj = r_ii· 0 + r_ji·1 = r_ji .

Учитывая, что в силу (3.15)

A₁₂ = – W₁₂ = – Sò(`M<sub>i</sub><sup>0</sup> ·`M_j⁰/EJ ) ds,

получим отсюда искомое выражение для определения удельных реакций:

r_ij = r_ji = Sò(`M<sub>i</sub><sup>0</sup> ·`M_j⁰/EJ )ds . (6.4)

Последнее выражение напоминает формулу (4.4) для вычисления коэффициентов канонических уравнений в методе сил:

d_ij = (`M<sub>i</sub><sup>0</sup> ´`M_j⁰) = Sò (`M<sub>i</sub><sup>0</sup> ×`M_j⁰ /EJ)ds,

и может показаться, что свободные члены системы канонических уравнений в методе перемещений также вычисляются по формуле, аналогичной (4.5):

D_ip⁰= (`M<sub>i</sub><sup>0</sup> ´`M_p⁰) = Sò (`M<sub>i</sub><sup>0</sup>×`M_p⁰ /EJ)ds.

В действительности это не так: R_ip⁰ ≠ (`M<sub>i</sub><sup>0</sup> ´`M_p⁰), а (`M<sub>i</sub><sup>0</sup> ´`M_p⁰) = 0.

Рассмотрим снова два состояния основной системы МП, и пусть первое по-прежнему соответствует единичному смещению i-й связи (рис. 6.6, в), а второе – единичной силе, приложенной в k-й точке этой системы (рис. 6.6, д).

zi =1

zj =1

Pk =1

Pk =1

zj=1

св j

св i

Рис. 6.6

Работа внешних сил первого состояния системы на перемещениях второго состояния равна нулю:

A₁₂ = r_ii · θ_ip+ r_ji · δ_jp = r_ii · 0 + r_ji · 0 = 0,

а поскольку A₁₂ = A₂₁ , то

A₂₁ = P · d_pi + r_ip· θ_ii = 0,

откуда

r_ip = – d _pi .

То есть реакция в i-й связи основной системы от единичной силы, приложенной в точке k , равна взятому со знаком минус перемещению точки приложения силы от единичного смещения этой связи.

Это утверждение носит название второй теоремы Релея.

Возвращаясь к традиционным обозначениям МП и обобщая последнее соотношение на случай нескольких сил произвольной величины, получим:

R_ip⁰ = – S P_k · d_ki . (6.5)

Таким образом, реакция в i-ой связи ОС МП от заданной нагрузки равна взятой со знаком минус работе всех сил, приложенных к системе, на перемещениях, вызванных единичным смещением этой связи.

Примечание

Поскольку A₁₂ = 0, а A₁₂ = – W₁₂ , то действительно: (`M<sub>i</sub><sup>0</sup> ´`M_p⁰) = – W₁₂ = 0. При этом нетрудно доказать, что искомую реакцию можно вычислить по формуле:

R_ip⁰ = (`M<sub>i</sub><sup>0</sup> ´ M<sub>p</sub><sup>0</sup>) = – Σ(`M_i⁰ ´ M_p⁰/ EJ)ds,

где `M_i⁰ – это по-прежнему эпюра моментов в ОС МП от единичного смещения i-й связи, а M_p⁰ – эпюра моментов в любой ОС МС от заданной нагрузки. Такой, например, является эпюра, приведенная на рис. 6.6, е.

Легко убедиться, что в этом случае значение R_ip⁰ = – 3Pl/16 совпадает с табличным значением, указанным на рис. 6.4.

ГЛАВА 7. ПОНЯТИЕ О РАСЧЕТЕ СНС МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ