Дифференциальные уравнения конвективного теплообмена

Из уравненияследует, что плотность теплового потока в любой точке жидкости, для каждого момента времени однозначно определяется, если известны поля температур, удельной энтальпии и скорости.

Для многих задач можно предположить, что жидкость несжимаема, то есть справедливо соотношение для термодинамически идеального газа:

di = c_pdT и i = c_pdT -

^Т

уравнение, которое позволяет установить связь между полем температур и полем энтальпии. Чтобы аналитически найти поля температур (энтальпии) и скоростей и определить q, необходимо располагать соответствующими уравнениями.

Уравнение энергии

Это уравнение описывает температурное поле в движущейся жидкости. При его выводе предполагали, что жидкости однородна и изотропна, её физические параметры постоянны, энергия деформации мала по сравнению с изменением внутренней энергии. В итоге получили:

¶Т/¶t + w_х¶Т/¶х + w_у¶Т/¶у + w_z¶Т/¶z = а (¶²Т/¶х² + ¶²Т/¶у² + ¶²Т/¶z²) + q_v/rс_р -

- уравнение энергии dT/dt - полная производная от температуры по времени

dT/dt - характеризует изменение температуры во времени в какой-либо точке жидкости, то есть является локальным изменением температуры Т; второй член – характеризует изменение температуры при переходе от точки к точке, то есть является конвективным изменением температуры Т.

Уравнение энергии можно переписать в форме

dT/dt = а Ñ²Т + q_v/rс_р (2)

Если w_х = w_у = w_z = 0, то уравнение энергии переходит в уравнение теплопроводности.

Уравнения движения

Как следует из уравнения (2), температурное поле в движущейся жидкости зависит от составляющих скорости w_х, w_у, w_z. Чтобы сделать систему уравнений замкнутой, необходимо добавить уравнения, которые бы описывали изменения скорости во времени и пространстве. Такими уравнениями является уравнения движения. Вывод уравнения движения основана на 2-м законе Ньютона: сила равна массе, умноженной на ускорение.

На элемент жидкости действуют 3 силы: 1) сила тяжести, 2) равнодействующая сил давления и 3) равнодействующая сил трения. В общем случае трехмерного движения несжимаемой жидкости с постоянными физическими параметрами скоростное поле описывается тремя уравнениями движения, которые называется уравнениями Навье – Стокса. В векторной форме записи они имеют

набла

rdv/dt = rg - Ñp + mѲv,

масса и сила давление сила

ускорение тяжести трения

где m - динамический коэффициент вязкости (Н с/ м²) – численно равен касательной силе, которая действует в любой точке потока в плоскости, ориентированной по течению, если изменение скорости в направлении нормали к этой плоскости dv/dn = 1.

Это уравнение не учитывает зависимость плотности от температуры. В то же время свободное движения жидкости определяется разностью плотностей холодных и нагретых частиц жидкости

С учетом зависимости плотности жидкости от температуры уравнения движущейся жидкости примет вид

dv/dt = - gbV - 1/rÑр + uѲv,

подъемная сила

где b = r₀ - r/r₀V – коэффициент объемного расширения (r = r₀(1 - bV))

V = T – T₀

u = m/r - кинематический коэффициент вязкости, м²/с.

Так как в уравнении движения помимо w_х, w_у, w_z,V входит ещё неизвестная величина р (давление), то система уравнений не является замкнутой.

Необходимо добавить ещё одно уравнение – дифференциальное уравнение сплошности (неразрывности).

Уравнение сплошности

Величина rw_х представляет собой кол-во массы, протекающей в единицу времени через единицу поперечного сечения. Избыток массы, вытекающей из рассматриваемого объема, может быть обусловлен изменением плотности в объеме dV и равен изменению массы данного объема во времени ¶r/¶t dudt.

В итоге получено уравнение сплошности для сжимаемых жидкостей:

¶r/¶t + ¶(rw_х)/¶х + ¶(rw_у)/¶у + ¶(rw_z)/¶z = 0

Для несжимаемых жидкостей r = const Þ

¶w_x/¶x+¶w_y/¶y+¶w_z/¶z = 0илиdiv v = 0.

Это уравнение является уравнением сохранения массы. Таким образом, процесс конвективного теплообмена описывается 4-мя уравнениями: 1) уравнением энергии; 2) уравнением движения; 3) уравнением сплошности и уравнением q = q_тпр + q_конв.

Для решения этих уравнений необходимо задать условие однозначности.

Особенность состоит в следующем. Задание температуры поверхности стенки затруднительно, так как она зависит от процессов теплообмена в стенке и по другую её сторону. Поэтому необходимо к системе дифференциальное уравнений рассматриваемого конвективного теплообмена присоединить дифференциальное уравнения теплопроводности, описывающие передачу тепла в стенке. Затем задать условия сопряжения.

Математическая формулировка задачи может быть упрощена при использовании понятия пограничного слоя. Сложность процессов конвективного теплообмена заставляет при его изучении особенно широко использовать методы экспериментальных исследований. В этом помогает теория подобия. Широко применяются также численные методы расчета.

Лекция 7