Приведение квадратичных форм к каноническому виду

Рассмотрим некоторое линейное преобразование А с матрицей .

Это симметрическое преобразование можно записать в виде:

y₁ = a₁₁x₁ + a₁₂x₂

y₂ = a₁₂x₁ + a₂₂x₂

где у₁ и у₂ – координаты вектора в базисе .

Очевидно, что квадратичная форма может быть записана в виде

Ф(х₁, х₂) = х₁у₁ + х₂у₂.

Как видно, геометрический смысл числового значения квадратичной формы Ф в точке с координатами х₁ и х₂ – скалярное произведение .

Если взять другой ортонормированный базис на плоскости, то в нем квадратичная форма Ф будет выглядеть иначе, хотя ее числовое значение в каждой геометрической точке и не изменится. Если найти такой базис, в котором квадратичная форма не будет содержать координат в первой степени, а только координаты в квадрате, то квадратичную форму можно будет привести к каноническому виду.

Если в качестве базиса взять совокупность собственных векторов линейного преобразования, то в этом базисе матрица линейного преобразования имеет вид:

При переходе к новому базису от переменных х₁ и х₂ мы переходим к переменным и . Тогда:

Тогда .

Выражение называется каноническим видом квадратичной формы. Аналогично можно привести к каноническому виду квадратичную форму с большим числом переменных.

Теория квадратичных форм используется для приведения к каноническому виду уравнений кривых и поверхностей второго порядка.

Пример. Привести к каноническому виду квадратичную форму

Ф(х₁, х₂) = 27.

Коэффициенты: а₁₁ = 27, а₁₂ = 5, а₂₂ = 3.

Составим характеристическое уравнение: ;

(27 - )(3 - ) – 25 = 0

² - 30 + 56 = 0

₁ = 2; ₂ = 28;

Закон инерции квадратичных форм выражает

Теорема 11.4. Число положительных и число отрицательных квадратов в нормальном виде, к которому приводится данная действительная квадратичная форма невырожденным действительным линейным преобразованием, не зависит от выбора преобразования.

Число положительных квадратов в нормальной форме, к которой приводится данная действительная квадратичная форма, называют положительным индексом инерции этой формы, число отрицательных квадратов - отрицательным индексом инерции, разность между положительным и отрицательным индексами инерции - сигнатурой формы/ Если известен ранг формы, то задание любого из трех указанных выше чисел определяет два других.

Действительная квадратичная форма является положительно-определенной тогда и только тогда, когда она принимает положительные значения при любой ненулевой системе значений переменных.

Матрицей является положительно-определенной тогда и только тогда, когда все ее главные миноры положительны.

Действительная квадратичная форма называется отрицательно-определенной, если она является невырожденной и приводится к нормальному виду, содержащему только отрицательные квадраты всех переменных; эту форму можно привести к виду

Квадратичная форма является отрицательно-определенной тогда и только тогда, когда ее главные миноры четного порядка положительны, а нечетного — отрицательны.

Положительно-определенные и отрицательно-определенные квадратичные формы называются знакоопределенными квадратичными формами.

Критерий Сильвестра определяет, является ли симметричная квадратная матрица положительно (отрицательно, неотрицательно) определённой.

Пусть квадратичная форма имеет в каком-то базисе матрицу

Тогда эта форма положительно определена, тогда и только тогда когда все её главные (угловые) миноры положительны. Форма отрицательно определена, если и только если знаки чередуются, причём . Здесь главными минорами матрицы называются определители вида

Для неотрицательно определённых матриц критерий действует только в одну сторону: если форма неотрицательно определена, то главные миноры неотрицательны. Обратное неверно. Например, матрица

не является неотрицательно определённой — так как, например, для . В то же время все её главные миноры равны 0, то есть неотрицательны.