Неполные дифференциальные уравнения (первого порядка).Уравнения Лагранжа и Клеро

Дифференциальное уравнение первого порядка называются неполными, если в нем не содержится (явно) или сама функция у, или независимая переменная х.

В том случае, когда правая часть дифференциального уравнения не содержит самой функции у, оно принимает вид:

или , или .

Отсюда .

Таким образом, получено общее решение неполного дифференциального уравнения. Фактически это задача об отыскании первообразной функции (т.е. это непосредственно задача неопределенного интеграла).

Во втором случае, т.е. когда дифференциальное уравнение имеет вид , т.е. в уравнение явно не входит независимая переменная х.

Дифференциальное уравнение принимает вид , т.е. получаем у – как независимую переменную, а х – как функцию от у (фактически это обратная функция по отношению к функции у от х).

Уравнения Лагранжа и Клеро

Уравнение Лагранжа Дифференциальное уравнение вида где φ(y') и ψ(y') − известные функции, дифференцируемые на некотором интервале, называется уравнением Лагранжа. Полагая y' = p и дифференцируя по переменной x, получаем общее решение уравнения в параметрической форме: при условии, что где p − параметр. Уравнение Лагранжа может также иметь особое решение, если нарушается условие φ(p) − p ≠ 0. Особое решение определяется функцией где c − корень уравнения φ(p) − p = 0. Уравнение Клеро Уравнение Клеро имеет вид: где ψ(y') − некоторая нелинейная дифференцируемая функция. Уравнение Клеро является частным случаем уравнения Лагранжа, когда φ(y') = y'. Оно решается аналогичным образом с помощью введения параметра. Общее решение определяется выражением в котором C − произвольная постоянная. Также как и уравнение Лагранжа, уравнение Клеро может иметь особое решение, которое выражает в параметрической форме: где p − параметр.

Пример 1

Найти все решения дифференциального уравнения y = 2xy' − 3(y')2. Решение. Здесь мы имеем дело с уравнением Лагранжа. Буде м решать его методом введения параметра. Обозначим y' = p, так что уравнение можно записа ть в форме: Дифференцируя обе части, получаем: Дифференциал dy можно заменить на pdx: Разделив на p, можно записать следующее уравнение (позже мы проверим, не является ли p = 0 решением исходного уравнения): Как видно, мы получили линейное уравнение для функции x(p). Интегрирующий множитель будет равен: Тогда общее решение линейного дифференциальног о уравнения имеет вид:   Подставляя это выражение для x в уравнение Лагранжа, находим: Таким образом, общее решение в параметрической форме определяется системой уравнений:   Кроме общего решения, уравнение Лагранжа може т иметь еще особое решение. Решая алгебраическо уравнение φ(p) − p = 0, находим корень: Следовательно, особое решение представляется в в иде следующей линейной функции: Найти общее и особое решения дифференциального уравнения y = xy' + (y')2. Решение. Здесь мы имеем дело с уравнением Клеро. Полагая y' = p, его можно записать в виде Продифференцировав по переменной x, находим: Заменим dy на pdx: Приравнивая первый множитель к нулю, получаем: Теперь подставим это во второе уравнение: В результате получаем общее решение заданного уравнения Клеро. Графически, это решение представляется в виде однопараметрического семейства прямых. Приравнивая нулю второй сомножитель, находим еще одно решение: Это уравнение соответствует особому решению дифференциального уравнения и в параметрической форме записывается как Исключая p из системы, получаем следующее уравнение интегральной кривой: