Следующие интегралы ( L – пробегаемый
в положительном направлении контур ) :
4.1 ; L : треугольник ABC , где
A(1;3) , B(2;4) , C(2;3)
4.2 L : треугольник ABC , где
A(0;0) , B(1;1) , C(1;0)
4.3 ; L : треугольник OAB , где
O(0;0) , A(0;1), B(1;1)
4.4 ; L : x + y = R
4.5 ; L : + = 1
4.6 ; L : треугольник с
вершинами A(1;1), B(2;2), C(1; 3)
4.7 ; L : треугольник ABC ,
где A(1;2), B(-1;3), C(0;4)
4.8 ; L : (x –1) + (y - 1) = 1
4.9 ; L : x + y =25
4.10 ; L : x + y = R
Комплект 2
Задание 1. Вычислить криволинейный интеграл
Первого рода от функции f(x,y) по
Длине дуги L , заданной уравнениями
y = (x) , a x b
1.1 ; L : контур параллелограмма с
вершинами A(0,1) , B(3,0) ,
C(3,2) , D(0,2)
1.2 ; L : окружность x + y + z = a
x + y + z = 0
1.3 ; L : контур треугольника с
вершинами A(0,0) , B(1,0) , C(0,1)
1.4 ; L : x + y = a , x 0, y 0
1.5 ; L : дуга x + y = x - y ; x 0 , y 0
1.6 ; L : часть винтовой линии
x = a cos t , y = a sin t , z = bt , 0 t 2
1.7 ; L : (x + y ) = xy
1.8 ; L : контур треугольника с
вершинами A(0,1) , B(2,0) , C(0,2)
1.9 ; L : x + y = a , x 0, y 0
1.10 ; L : дуга кривой x + y = z , y = ax
Задание 2 . Вычислить криволинейный интеграл
Первого рода от функции f (x ,y ) по длине
Дуги L , заданной параметрическими
уравнениями :
2.1 f (x ,y) = y ; L : x = a cos t , y = a sin t , 0 t
2.2 f (x ,y ) = xy ; L : x = a cos t , y = b sin t , 0 t
2.3 f (x , y) = y ; L : x = a(t–sin t) , y = a(1-cos t) ,
0 t
2.4 f(x , y) = ; L : x = a(cos t + t sin t),
y = a(sin t – t cost) , 0 t 2
2.5 f(x ,y) = 3x -y ; L : x = a(cos t + t sin t),
y = a(sin t – t cost) , 0 t 2
2.6 f(x, y ) = x ; L : x = a(t – t sin t) ,
y = a(1 – cos t) , 0 t 2
2.7 f( x,y ) = xy L : x = ch t , y = ash t , 0 t t
2.8 f( x,y ) = ; L : x = a(t - t sin t) ,
y = a(1-cos t), 0 t
2.9 f( x,y ) = x + y ; L : x = a cos t , y = a sin t ,
0 t 2
2.10 f( x,y ) = + ; L : x = a cos t, y = a sin t,
0 t 2
Задание 3. Вычислить криволинейные интегралы
Второго рода от
Заданных функций по данным линиям в
Указанных направлениях .
3.1 P = x , Q = -yz , R = z ; L : отрезок прямой от
точки А( 1;2;-1) до точки B( 3;3;2 )
3.2 P = yz , Q = xz , R = xy ; L : дуга кривой x = t ,
y = t ; z = t ; 0 t 1
3.3 P = z , Q = x + y + z ,R = x +y ; L : отрезок прямой
от точки A(2;1;0 ) до точки B(4;3;1)
3.4 P = x , Q = y , R = z ; L : дуга кривой x = t ,
y = t , z = t , 0 z 1
3.5 P = z , Q = yz , R = x – y; L : отрезок прямой от
точки A( 1;0;2 ), до точки B( 2;-1;0 )
3.6 P = x + z , Q = y + z , R = x + y ; L : дуга кривой x = t ,
y = t , z = t , 0 t 1
3.7 P = x , Q = y , R = x + y ; L : отрезок прямой от
точки A( 0;1;1 ), до точки B( 2;4;6 )
3.8 P = x + z , Q = x , R = xy ; L : дуга кривой x = sin t
y = sin t , z = sin t , 0 z
3.9 P = z , Q = xy , R = x + y ; L : дуга кривой
x = a cos t , y = a sin t , z = bt , 0 t
3.10 P = 2yz , Q = y - z , R = -x ; L : кривая x = t ,
y = t , z = t , 0 t 1
Задание 4. Проверить , является ли заданное
Выражение полным дифференциалом
Некоторой функци U( x,y ) и в случае
Положительного ответа найти U с
Помощью криволинейного интеграла .
4.1 ( 10xy +12x + 6)dx + ( 15x y- 5)ydy
4.2 ( cos x cos y + 6x +3 )dx + (18y - sin x sin y)dy
1. ( 2cos 2x cos 3y - )dx + ( - 2sin 2x sin 3y)dy
2. ( e - )dx + (sin 3y - )dy
3. ( xye + cos 2x + x )dx + ( + y)dy
4. ( - 1)dx + ( - 10)dy
5. ( arcsin x – x ln y)dx – (arcsin y + )dy
6. ( 2x – 3xy +2y)dx + (2x – 3x y + 2y )dy
7. ( x - 2xy + 3)dx + (y - 2x y + 3)dy
4.10 ( y + ln(x + 1))dx + ( x + 1 - e )dy
Комплект 3.
Задание 1. Вычислить криволинейный интеграл
Первого рода от функции f( x,y,z ) по длине
дуги пространственной кривой L :
4.7 f( x,y,z) = x + y + z ; L : x = cos t , y = sin t , z = t ,
0 t
4.8 f( x,y,z) = x + y ; L : x = t , y = t , z = ,
0 t
4.9 f( x,y,z) = z ; L : x = t cos t , y = t sin t , z = t ,
0 t t
4.10 f( x,y,z) = z ; L : x = t , y = , z = ,
от точки 0 ( 0,0,0) до точки B( , , )
4.11 f( x,y,z) = x + z ; L : x = t , y = , z = t ,
0 t 1
4.12 f( x,y,z) = ; L : x = a cos t , y = a sin t ,
z = bt , 0 t 2
4.13 f( x,y,z) = z - ; L : x = a cos t , y = a sin t ,
z = bt , 0 t 2
4.14 f( x,y,z) = ; L : x = t , y = , z = ,
0 t 1
4.15 f( x,y,x) = ax ; L : x = a cos t , y = a sin t ,
z = , 0 t 2
4.16 f( x,y,z) = x + y + z ; L : x = cos t , y = sin t , z = t
0 t 2
Задание 2. Используя формулу Грина вычислить
Следующие интегралы ( L – пробегаемый в
Положительном направлении контур ) .
2.1 L : x + y = ax
1.6 ;
L : x + y = R
2.3 ; L : ( x – 1 ) + ( y - 1 ) = 1
2.4 ; L : + = 1
2.5 L : замкнутый
контур , составленный из линии y = sin x , y = 0 ,
0 x
2.6 ;
L : x + y = ax
2.7 ; L:x + y = R
2.8 ; L : x + y = R
y = 0 , y 0
a. ;
L : + = 1
b. ;
L : x = a cos t , y = b sin t
Задание 3 . Найти работу , производимую силой
= P( x,y ) + Q( x,y) вдоль указанного
пути L :
3.1 = { x , xy } ; L : отрезок прямой от точки
A( 0;1) до точки B( 1;2)
3.2 = { x + y , x + y } ; L : ломанная ABC , где
A( 1;1) , B( 3;1) , C( 3;5)
3.3 = { x , } ; L : дуга xy = 1 , от точки
A( 1;1) до точки B(4; )
3.4 = { y, x } ; L : дуга астроиды x = a cos t ,
y = asin t от точки M ( t ) до
точки M ( t ) , где t = 0 , t =
3.5 = { x –y , 2x + y } ; L : треугольник с вершинами
A( 1;1) , B(3;3), C( 3;-1)
3.6 = { x , x } ; L : дуга y = x от точки
A ( 1;1) до точки B( 3;9)
3.7 = { cos x , y} ; L : дуга y = sin x , 0 x
3.8 = { cos x , } ; L : дуга y = tg x , x
3.9 = { x + y , y – x }; L : эллипс 5x - 6xy + 5y = 6
3.10 = { - x, -y } ; L : эллипс x = a cos t , y = b sin t
0 t 2
Задание 4 . Вычислить криволинейные интегралы от
Полных дифференциалов .
4.1
4.2
2.7
4.4
4.5
4.6 dx + 2x yz dy + 3x y z dz
4.7
4.8
4.9
4.10 вдоль путей не проходящих через начало координат .
Расчетное задание 3
ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Комплект 1.
Задание 1. Вычислить поверхностные интегралы
Первого рода по
указанным поверхностям :
1.1 П : плоскость x + 2y +3z = 6 , лежащая в октанте f(x ,y ,z) = 6x + 4y + 3z
1.2 П : y = , отсеченная плоскостями x = 0 ,
x = a ; f(x ,y, z) = x + 3y + z + 5
1.3 П : часть плоскости x + y + z =a , лежащая в октанте f(x,y,z) = 1
1.4 П : z = ,отсеченная плоскостями y = 0 , y = 5 f(x,y,z) =
1.5 П : часть плоскости 6x + 4y + 3z = 12 , лежащая в
октанте , f(x,y,z) = z + 2x +
1.6 П : z = , отсеченная плоскостью z =3 ;
f(x,y,z) = xyz
1.7 П : часть плоскости x + y + z =1 , лежащая в
октанте , f(x,y,z) = 2x + y -
1.8 П: граница тела z 1; f(x,y,z) =x + y
1.9 П : часть плоскости + + = 1 , лежащая в октанте f(x,y,z) = x + y + z
1.10П : часть плоскости 6x + 4y + 3z = 12 , лежащая в
октанте f(x,y,z) = z + 2x +
Задание 2. Вычислить поверхностные интегралы
Второго рода
2.1 по верхней стороне
части плоскости 2x + 3y + z = 6 лежащей в октанте
2.2 по положительной
стороне куба , составленного плоскостями x = 0 ,
y = 0 , z = 0 , x =1, y =1 , z =1
1.7 по внешней стороне
поверхности , составленной плоскостями x = 0 , y =0
z = 0 , x + y + z = 1
1.8 по внешней
поверхности , расположенной в октанте и
составленной из плоскостей x = 0 , y =0 , z =0 , z = h
и цилиндра x + y =R
1.9 по верхней стороне части
поверхности z = , отсеченной плоскостями
y = 0 , y =2
1.10 по положительной
стороне куба , составленного плоскостями x = 0 ,
y = 0 , z = 0 , x =1, y =1 , z =1
1.11 по внутренней стороне
части поверхности x = 4y , отсеченной
плоскостями y = 4 , z = 0 , z = 3
1.12 по положительной
стороне куба , образованного плоскостями x =0 ,
y = 0 , z = 0 , x =3 , y = 3 , z = 3
1.13 по верхней стороне части плоскости
x + y + z = a , лежащей в октанте
4.7 по верхней стороне
треугольника , образованного пересечением
плоскости x + y + z =1 c координатными
плоскостями
Задание 3 . Найти площадь поверхности
3.1 Конусa z = 2xy , расположенного в октанте между
плоскостями x = 2 , y =4
3.2 Конической поверхности z = ,
расположенной в октанте и ограниченной
плоскостями x = 0 , y =0 , x + y =2
3.3 Сферы x + y + z = R , расположенной внутри
цилиндра x + y = Rx
3.4 Цилиндра x + y = Rx , расположенного внутри
сферы x + y + z = R
2.7 2x + 2y + z = 8a , заключенной между плоскостями
y + z =0 , z = 0
2.8 Цилиндра x + y = R между плоскостями z = 0 ,
y + z = 0
2.9 Цилиндра z + y = R , заключенного внутри цилиндра x + y = R
2.10 Параболоида x + y = 6z , заключенного внутри цилиндра x + y = 27
3.9 Сферы x + y + z = 3a , заключенной внутри
параболоида x + y = 2az
3.10 Части поверхности z = 2 – ,
расположенной над плоскостью XOY
Комплект 2.
Задание 1. Вычислить поверхностные интегралы
Первого рода по
Указанным поверхностям
1.1 П : полусфера z = ; f(x,y,z) = x
1.2 П : поверхность параболоида вращения
z = (x + y ) , ограниченная плоскостями z =0 ,
z = 2 ; f(x,y,z) = x + y
1.3 П : коническая поверхность z = x + y ,
ограниченная плоскостями z = 0 , z = 1 ,
f(x,y,z) = x + y
1.6 П : поверхность параболоида вращения
z = 1- x - y , ограниченная плоскостями z =0 ,
z =1 ; f(x,y,z) =
1.7 П : часть поверхности конуса x + y = z ,
0 z 1 ; f(x,y,z)=
1.8 П : часть поверхности z = , отсеченная плоскостями z = 0 , z =1 ; f(x,y,z) = 3x + 3y + 5z
1.9 П : часть плоскости x + y + z = 4 , вырезанная
цилиндром x + z = 4 ; f(x,y,z) = x + y + 2x z + z
1.10 П : полусфера z = ;
f(x,y,z) = x + y + z
1.11 П : часть поверхности y = , отсеченная плоскостями x = 0 , x = a ; f(x,y,z) = y(x + z)
1.12 П : полусфера z = ; f(x,y,z) = x
Задание 2 . Вычислить поверхностные
Интегралы второго рода .
1.6 по нижней стороне круга
x + y R
1.7 по нижней стороне части конуса x + y = z , 0 z 1
1.8 по нижней стороне круга
x + y = R
1.9 по верхней стороне цилиндрической поверхности z = 1 - x , 0 y 1
1.10 по внешней стороне части поверхности y = отсеченной плоскостями y =0 , y =1
1.11 по верхней стороне
z = 1 - - , отсеченной плоскостью z = 0
1.12 по внешней стороне
x = , отсеченной плоскостями z = 0 , z = 2
1.13 по внешней части параболоида
x = a - y - z , отсеченной плоскостью YOZ
2.9 по внутренней стороне
части поверхности x = , отсеченной
плоскостями x = 0 , x = a
2.10 по внешней стороне части
нижней половины эллипсоида
Задание 3 . Найти массу поверхности по указанной
плотности
1. z = , отсеченной плоскостями z = 0 , z =1
2. z = , отсеченной плоскостями y = 0 , y = 2 ;
3. 2z = 2 - x - y , отсеченной плоскостью XOY ;
4. y = , вырезанный цилиндром
x + y = 2x ;
5. x = , отсеченной плоскостями x = 0 ,
x = 2 ;
6. x + y + z = a ( a > 0 ) , вырезанный цилиндром
x + y = R ,
3.7 y = ,
3.8 x = ,
3.9 2az = x - y , вырезанную цилиндром x + y = a ;
, k > 0
3.10 0 x 1 ; 0 y 1 ; 0 z 1 ;
Комплект 3.
Задание 1 . Вычислить поверхностные интегралы
Первого рода по
Указанным поверхностям
1.1 П : часть поверхности 2z = , отсеченная
плоскостью z = 0 ; f(x,y,z) = x + y + z – 2
1.2 П : часть поверхности x + z = 2az , вырезанная
z = ; f(x,y,z) = z
1.3 П : поверхность сферы x + y = 9 - z ,
f(x,y,z) = x + y + z
1.4 П : часть конической поверхности z = ,
вырезанная x + y = 2ax ; f(x,y,z) = xy + yz + zx
1.5 П : сфера x + y + z = 1 ; f(x,y,z) = x + y + z
1.6 П : часть конической поверхности z = ,
вырезанная цилиндром x + y = 8x ;
f(x,y,z) = xy + yz + zx
1.7 П : часть сферы x + y + z = a , лежащая в
октанте ; f(x,y,z) = x + y + z
1.8 П : поверхность , отсекаемая от верхней части конуса
z = цилиндром x + y = 4x ;
f(x,y,z) = zy + xy + xz
1.9 П : полусфера z = ;
f(x,y,z) =
1.10 П : поверхность , отсекаемая от верхней части
конуса z = k цилиндром x + y - 2ax = 0
f(x,y,z) = y z + z x + x y
Задание 2. Вычислить поверхностные интегралы
второго рода :
2.1 , по внешней стороне полусферы
x + y + z = R , z = 0
2.2 , по внешней стороне сферы
x + y + z = a
2.3 , по внешней стороне части поверхности
параболоида z = , x 0 , y 0 , z H
2.4 dydz , по внутренней стороне