Неопределенный и определенный интегралы.

Раздел 3.

ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

1. Условия возрастания и убывания функций.

2. Точки экстремума. Необходимые условия экстремума.

3. Отыскание наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке.

4. Исследование функций на выпуклость и вогнутость. Точки перегиба.

5. Асимптоты кривых.

6. Общая схема построения графиков функций.
Литература неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru , гл. V, §2-6; §9-12, упр. 1,2,8,11,14,19, 32-34,62,63,72,75,76,83,84.

7. Функции нескольких переменных. Основные понятия (область определения, предел функции, непрерывность)

8. Частные производные, Полный дифференциал. Вычисление приближенного значения функции с помощью дифференциала. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

9. Экстремумы функции нескольких переменных.
Литература неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru , гл. VIII, §1,2,3,5,6,7,8,10,11,12,16,17,19.

10. Уравнение кривой в пространстве.

11. Уравнение касательной к кривой. Уравнение нормальной плоскости.

12. Кривизна кривой.

Литература , гл. IX, §1-4, упр. 1,2,4,5,13

Вопросы для самопроверки.

1. Дайте определение возрастающей (убывающей) функции на промежутке.

2. Что называют интервалами монотонности функции?

3. Какие углы образуют касательные к графику возрастающей (убывающей) функции с положительным направлением оси абсцисс?

4. Приведите примеры возрастающих и убывающих функций и укажите их интервалы возрастания и убывания.

5. Сформулируйте правило нахождения интервалов монотонности функции.

6. Покажите, что функции неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru и неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru возрастают в любом промежутке.

7. Дайте определение максимума (минимума) функции.

8. Какие точки называют точками экстремума функции?

9. Сформулируйте необходимое условие экстремума функции. Является ли оно достаточным условием?

10. Какие точки называются критическими точками функции?

11. Сформулируйте правило (последовательность ваших действий) нахождения экстремума функции.

12. Дайте определение наибольшего (наименьшего) значения функции на отрезке.

13. Всегда ли существуют у функции на отрезке наибольшее и наименьшее значения?

14. Сформулируйте правило нахождения наибольшего и наименьшего значения функции, дифференцируемой на отрезке.

15. Если функция непрерывна на промежутке, который не является отрезком, обязана ли она иметь на этом промежутке наибольшее и наименьшее значение?

16. Какую кривую называют выпуклой (вогнутой) на интервале?

17. Сформулируйте достаточный признак выпуклости (вогнутости) кривой на интервале.

18. Какую точку называют точкой перегиба? Что происходит со второй производной в точке перегиба?

19. Сформулируйте достаточный признак точки перегиба.

20. Сформулируйте определение асимптоты кривой.

21. В точках разрыва какого рода ищут вертикальные асимптоты?

22. Как находятся наклонные и горизонтальные асимптоты?

23. Изложите схему общего исследования функции и построения ее графика.

24. Когда функция неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru называется дифференцируемой в данной точке неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru . Что называется полным дифференциалом этой функции в данной точке? В чем состоит правило применения полного дифференциала для вычисления приближенного значения функции, близкого к известному?

25. Выведите уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке М. Выясните геометрический смысл полного дифференциала функции двух переменных.

26. Дайте определение частных производных высших порядков. Сформулируйте теорему о равенстве смешанных частных производных функции двух переменных.

27. Что называется производной функции неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru в данной точке Мо по направлению вектора неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru ? Выведите формулу ее вычисления.

28. Что называется градиентом скалярного поля неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru в данной точке? Как выражается производная по направлению через градиент и единичный вектор?

29. Дайте определение локального максимума (минимума) функции двух переменных. Выведите необходимое условие и сформулируйте достаточное условие экстремума функции двух переменных.

30. Сформулируйте правило нахождения экстремумов функции двух переменных.

31. Выведите правило нахождения наибольшего и наименьшего значения функции двух переменных в замкнутой области.

32. Что называется условным экстремумом функции неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru ? Как найти условный экстремум функции двух переменных, если эти переменные связаны одним условием?

33. Напишите уравнения касательной и нормальной плоскости к кривой.

34. Как вычислить кривизну кривой в данной точке?

Пример 1. Провести полное исследование и построить график функции

неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru

1) Найдем область определения. Функция f(x) является частным случаем «склеенной» функции, т.е. функции вида

неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru .

Иногда множества D1 и D2 полностью не указываются. Надо учитывать естественные области определения функций f1(x) и f2(x). В нашем примере f1(x)=1, D1= неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru , f2(x)= неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru и D2 : неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru .

неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru

Итак, область определения функции f(x): неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru . Причем значение х=0 - точка «склеивания».

В дальнейшем каждую из функций f1(x) и f2(x) исследуем соответственно в областях D1 и D2, и поведение каждой из функций в окрестности точки «склеивания».

Так как f1(x)=1 - const, график функции на области D1 можно построить без дополнительных исследований.

Исследование функции f2(x).

а) Корни f2(x)=0 неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru

х =1, х = -1; неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru

б) Промежутки знакопостоянства f2(x):

неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru

неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru

в) Поведение f2(x) в граничных точках области определения:

неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru

неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru

неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru

неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru

Прямая неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru является вертикальной асимптотой.

Наклонная асимптота:

неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru

неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru

неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru

Прямая неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru является наклонной асимптотой на неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru .

г) Для отыскания интервалов возрастания и убывания функции найдем первую производную

неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru

Критических точек нет, так как неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru . Интервалы знакопостоянства неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru :

 
  неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru

неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru + +

неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru

0 неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru

неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru возрастает на промежутках неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru и неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru .

д) Для отыскания областей выпуклости и вогнутости найдем вторую производную

неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru

Критических точек нет. Интервалы знакопостоянства неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru :

 
  неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru

неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru + -

неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru

0 неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru

График функции неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru вогнут на промежутке неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru .

График является выпуклым на промежутке неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru .

е) Исследуем теперь функцию f(x) в окрестности точки «склеивания» х = 0

неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru

неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru

неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru

Функция f(x) непрерывна в точке х = 0.

Построим график функции:

 
  неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru

Пример 2. Найти наибольшее и наименьшее значение функции

неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru

в замкнутой области, заданной системой неравенств

неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru

При отыскании наибольшего и наименьшего значения функции нескольких переменных в замкнутой области следует помнить, что точки, в которых достигается наибольшее и наименьшее значение, могут находиться: 1) внутри области; 2) на границах области; 3) в точках пересечения границ области.

1. Найдем точки, подозреваемые на экстремум.
неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru

Решив систему, получим две точки неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru . Точка неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru принадлежит области. Точка неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru - лежит на границе (точка А). Обе точки принадлежат области. Значение функции в этих точках.
неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru

2. Исследуем границы области.

а) (АВ) имеет уравнение х = 0. На этой границе функция примет вид неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru (зависит от одной переменной). Найдем точки, подозреваемые на экстремум, это точки, в которых неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru или неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru не существует неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru при неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru . Получили точку неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru . Значение неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru - уже вычислили.
б) Участок (ВС) имеет уравнение у = 0.

неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru
z зависит от одной переменной х, ее наибольшее и наименьшее значения находятся среди значений в критических точках.

неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru при неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru

неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru не принадлежит участку (ВС). Найдем значение функции только в тех точках границы, которые принадлежат участку (ВС)

неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru
в) Участок границы (АС) имеет уравнение неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru . На этом участке
неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru
неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru .
Решая уравнение неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru , т.е. неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru , находим критические точки неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru . Точки неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru принадлежат участку границы (АС).
неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru .

3. Находим значение функции в точках пересечения границ:
неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru

4. Наибольшее и наименьшее значение достигается в одной из найденных в процессе решения точек: неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru . Сравнивая значения во всех этих точках, замечаем, что самое большое из них рано 12, а самое малое -1.
Ответ: неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru .

Контрольные задания

Задание №1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции f(x) на отрезке [a; b].

1.1. f(x)=x4-x2+5; [-2; 2] 1.2. f(x)=x+2 неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru ; [0; 4]
1.3. f(x)=x5-5x4+5x3; [-1; 2] 1.4. f(x)=x3-3x2+6x; [-1; 1]
1.5. f(x)=x4-8x2+3; [-2; 2] 1.6. f(x)=(x3/3)-2x2+2; [-1; 2]
1.7. f(x)=x3-1,5x2-6x+1; [-2; 0] 1.8. f(x)=x4-8x2-8; [-1; 3]
1.9. f(x)=x3-6x2+9x; [-1; 4] 1.10. f(x)=3x-x3; [-2; 3]
1.11. f(x)=x3-12x+7; [0; 3] 1.12. f(x)=x5-(5/3)x3+2; [0; 2]
1.13. f(x)= неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru x+cosx; [0; p/2] 1.14. f(x)=3x4-16x3+2; [-3; 1]
1.15. f(x)=x3-3x+1; [1/2; 2] 1.16. f(x)=x4+4x; [-2; 2]
1.17. f(x)= неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru x-sinx; [0; p/2] 1.18. f(x)=81x-x4; [-1; 4]
1.19. f(x)=3-2x2; [-1; 3] 1.20. f(x)=x-sinx; [-p; p]
1.21. f(x)=x-4 неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru ; [0; 9] 1.22. f(x)=x5+x4-3x3; [-1; 2]
1.23. f(x)=x-2sinx; [0; p/2]   1.24. f(x)=(x3/3)-4x-1; [-3; 1]  
     

Задание №2. Провести полное исследование и построить график функции.

2.1. неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru 2.2. неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru
2.3. неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru 2.4. неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru
2.5. неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru 2.6. неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru
2.7. неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru 2.8. неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru
2.9. неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru 2.10. неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru
2.11. неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru 2.12. неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru
2.13. неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru 2.14. неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru
2.15. неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru 2.16. неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru
2.17. неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru 2.18. неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru
2.19. неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru 2.20. неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru
2.21. неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru 2.22. неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru
2.23. неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru   2.24. неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru

Задание №3. Провести полное исследование и построить график функции.

3.1. y=ln(x)/x 3.2. y=(2x+1)e-x
3.3. y=xex 3.4. (1/2)ln((x+1)/(x-1))
3.5. (1/2)ln((1+x)/(1-x)) 3.6. y=xe-x
3.7. y=x/lnx 3.8. y= неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru
3.9. y=x3e-x 3.10. y=x-ln(x+1)
3.11. y=(x2-1)/(x2+1) 3.12. y=x2/(x-1)
3.13. y=(4x3+5)/x 3.14. y=x4/(x3-1)
3.15. y=(2-4x2)/(1-4x2) 3.16. y= неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru
3.17. y=x2-2lnx 3.18. y=e1/(2-x)
3.19. y=(2+x2) неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru 3.20. y=(x-1)e3x+1
3.21. у=х2е 3.22. у= неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru
3.23. у=(3х-2)е1-х 3.24. y=(x+2)2/(x+1)  

Задание №4. 1) Вычислить приближенно значение функции z=f(x, y) в точке В, исходя из значения функции в точке А и заменив приращение функции дифференциалом.

2) Составить уравнение касательной плоскости к поверхности z=f(x, y) в точке А.

4.1. z=x2+xy+y2; A(1; 2); В(1,02; 1,96). 4.2. z=3x2-xy+x+y; A(1; 2); В(1,02; 1,96).
4.3. z=x2+3xy-6y; A(4; 1); В(3,96; 1,03). 4.4. z=x2-y2+6x+3y; A(2; 3); В(2,02; 2,97).
4.5. z=x2+2xy+3y2; A(2; 1); В(1,96; 1,04). 4.6. z=x2+y2+2x+y-1; A(2; 4); В(1,98; 3,91).
4.7. z=3x2+2y2-xy; A(-1; 3); В(-0,98; 2,97). 4.8. z=x2-y2+5x+4y; A(3; 3); В(3,02; 2,98).
4.9. z=2xy+3y2-5x; A(3; 4); В(3,04; 3,95). 4.10. z=xy+2y2-2x; A(1; 2); В(0,97; 2,03).
4.11. z=x2+xy+y2; A(2; 1); В(2,02; ,97). 4.12. z=2x2+3xy+y2; A(2; 2); В(2,03; 1,96).
4.13. z=5x2+6xy+x; A(1; 2); В(0,98; 2,02). 4.14. z=3x2+2xy+y2; A(-1; 2); В(-1,01; 2,03).
4.15. z=x2+3y2+x-2y; A(1; 2); В(1,03; 1,97). 4.16. z=x2+ y2+xy; A(1; 3); В(1,07; 2,93).
4.17. z=x2+2y2+x-y; A(3; 1); В(2,96; 1,04).   4.18. z=x2+3xy+y2-x; A(2; 3); В(2,03; 2,98).  
4.19. z=x2+2xy-2y2+4x; A(2; 1); В(1,96; 1,03). 4.20. z=x2+xy+y2-x+2y; A(1; 3); В(1,04; 3,05).
4.21. неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru ; A(3; 4); В(2,9; 4,2). 4.22. z=x2-6xy-y2; A(0; -2); В(-0,1; -1,9).
4.23. z=5x2-2xy-3y3; A(-2; 1); В(-1,9; 0,9). 4.24. неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru ; A(4; 1); В(3,9; 1,05).  

Задание №5. Найти наименьшее и наибольшее значения функции z=f(x, y) в замкнутой области D, заданной системой неравенств. Сделать чертеж области.

5.1. z=x2+y2-9xy+2; неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru 5.2. z=x2+2y2; неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru
5.3. z=-x2-y2-xy+3; неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru 5.4. z=x2+3y2+x-y; неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru
5.5. z=x2+2y2+2xy; неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru 5.6. z=-x2-y2-xy+3; неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru
5.7. z=-x2+2xy+10; неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru 5.8. z=x2-y2+2xy+4x; неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru
5.9. z=x2+xy-2; неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru 5.10. z=x2+xy; неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru
5.11. z=x2-2y2+4xy-6x-1; неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru 5.12. z=x2+y3-3xy; неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru
5.13. z=x2+y2-xy-4x; неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru 5.14. z=x+y+xy; неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru
5.15. z=2x3+y2+4x2-2xy; неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru 5.16. z=x2+y2-xy-4x; неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru
5.17. z=y2-2x+xy; неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru 5.18. z=2xy+y2-4x; неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru
5.19. z=x2+y2+2x+4y+1; неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru 5.20. z=2x2+2y2+2xy; неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru
5.21. z=x2-y2+2xy-8x; неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru 5.22. z=x2+y2-4x; неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru
5.23. z=2xy-y2-x; неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru 5.24. z=x2+2y2+2xy+2x; неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru  

Задание №6. Найти уравнение касательной, нормальной плоскости и кривизну линии r=r(t) в точке t0.

6.1. неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru
6.2. неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru
6.3. неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru
6.4. неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru
6.5. неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru
6.6. неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru
6.7. неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru
6.8. неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru
6.9. неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru
6.10. неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru
6.11. неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru
6.12. неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru
6.13. неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru
6.14. неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru
6.15. неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru
6.16. неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru
6.17. неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru
6.18. неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru
6.19. неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru
6.20. неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru
6.21. неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru
6.22. неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru
6.23. неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru
6.24. неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru

Раздел 4.

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ И ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛЫ.

1. Определение и свойства неопределенного интеграла.
Литература неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru , гл. Х, §1-3, упр. 2, 5, 7, 9, 11, 14, 16, 17, 25, 41, 46, 49, 58. 60, 66.

2. Основные методы интегрирования.

Литература неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru , гл. Х, §4, упр.27, 28, 33, 37, 47, 51, 65, 72, 83, 89, 91, 94, 100, 101; §6, упр. 127-131, 134, 135, 138, 140, 143, 145.

3. Стандартные методы интегрирования некоторых классов функций.
Литература неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru , гл. Х, §5, упр. 102, 105, 107, 110, 112, 113, 115, 116, 123, 125; §7-9, упр. 156, 163, 164, 167, 169; §10, упр. 170, 176, 177; §12, упр. 196, 198, 203, 204, 209, 212, 214, 216; §13, упр. 178, 180; §14.

4. Определение, свойства и вычисления определенного интеграла.
Литература неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru , гл. ХI, §1-5, §6 упр. 8, 10, 11, 13, 16-21, 23, 24.

5. Несобственные интегралы.

Литература неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru , гл. Х, §7, упр. 29-31, 34, 35, 37-40.

6. Геометрические приложения определенного интеграла.
Литература неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru , гл. ХII, §1, упр. 1, 3, 5-11; §2, упр. 13, 14, 17, 18; §3, упр. 38-41, 43, 47; §4, 5, упр. 20-23, 25, 32; §6, упр. 49, 51, 53, 56.

Вопросы для самопроверки.

1. Дайте определения:

- первообразной функции;

- неопределенного интеграла.

2. Напишите таблицу основных интегралов.

3. Докажите свойства неопределенного интеграла.

4. Выведите формулу замены переменной в неопределенном интеграле.

5. Выведите формулу интегрирования по частям в неопределенном интеграле. Какие типы интегралов целесообразно брать этим методом?

6. Интегрирование простейших дробей I, II, III, IV типов.

7. Изложите правило разложения правильной рациональной дроби на простейшие. Продемонстрируйте его на примерах.

8. Как интегрируются рациональные дроби?

9. Изложите методы нахождения интегралов вида:
а) неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru ;

в) неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru ,

где p, q,…, r – рациональные числа, R – рациональная функция.
Приведите примеры.

10. В чем состоит общая идея метода рационализации при интегрировании иррациональных и трансцендентных функций?

11. Дайте определение определенного интеграла и укажите его геометрический смысл.

12. Докажите основные свойства определенного интеграла:
а) неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru ;

б) неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru ;

в) неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru .

13. Сформулируйте свойства определенного интеграла, выражающиеся с помощью неравенств.

14. Докажите теорему о среднем значении для определенного интеграла. В чем ее геометрический смысл?

15. Докажите, что неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru является первообразной для f(x) (теорема Барроу).

16. Выведите формулу Ньютона-Лейбница.

17. Выведите формулу замены переменной в определенном интеграле. Приведите пример.

18. Докажите формулу интегрирования по частям для определенного интеграла.

19. Дайте определения:

- несобственного интеграла первого рода;

- несобственного интеграла второго рода.

20. Когда говорят, что несобственный интеграл первого (второго) рода сходится или расходится? Приведите примеры сходящихся и расходящихся интегралов первого (второго) родов.

21. Сформулируйте необходимый и достаточный признак сходимости несобственных интегралов первого (второго) рода.

22. Сформулируйте общий и частный признаки сравнения несобственных интегралов первого (второго) рода. Как используются они для установления сходимости или расходимости несобственных интегралов?

23. Напишите формулу для вычисления площади криволинейной трапеции, ограниченной кривой, заданной в декартовой системе координат.

24. Выведите формулу для вычисления площади криволинейного сектора, ограниченного кривой, заданной в полярной системе координат.

25. Напишите формулу для вычисления площади фигуры, когда линии, ее ограничивающие, представлены параметрическими уравнениями.

26. Выведите формулу для вычисления длины дуги кривой, заданной:
- параметрическими уравнениями;

- уравнениями в декартовой системе координат;

- уравнениями в полярной системе координат.

27. выведите формулу для вычисления объема тела по известным площадям поперечных сечений.

28. Как вычисляются с помощью определенного интеграла объем тела вращения:

- ось вращения – ось ОХ;

- ось вращения – ось ОУ.

Во многих случаях задачу интегрирования можно свести, используя специальные методы, к нахождению интегралов, составляющих таблицу интегралов:

неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru (I)

неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru (II)

неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru (III)

неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru (IV)

неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru (V)

неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru (VI)

неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru (VII)

неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru (VIII)

неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru (IX)

неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru (X)

неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru (XI)

неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru (XII)

неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru (XIII)

Пример. Вычислить неопределенные интегралы:

а) неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru ; б) неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru ; в) неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru .

Решение.

а) Так как

неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru ,

то интеграл преобразуется к виду

неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru .

Применим к нему формулу (II)

неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru .

б) Применим формулу интегрирования по частям:

неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru .

Так как неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru , то обозначив u=x, неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru , найдем неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru . Следовательно,

неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru .

Второе слагаемое найдем по таблице (формула (XII)). Получим

неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru .

в) Подынтегральная функция является рациональной алгебраической дробью. Так как дробь неправильная (степень числителя больше степени знаменателя), то ее можно записать в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби. Найдя их, применив алгоритм деления «столбиком»:

_ неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru
неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru х
неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru  

Значит,

неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru .

Разложение дробной части на простейшие дроби имеет вид:

неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru .

Следовательно,

неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru .

Решив систему уравнений:

неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru ,

получим А=2, В=3, С=2. Осталось найти:

неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru

неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru

неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru .

По формуле III и VI находим

неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru .

Окончательно получим:

неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru

Контрольные задания

1. Вычислить неопределенные интегралы. В пункте а) результаты проверить дифференцированием.

1.1. а) неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru ; б) неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru ; в) неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru ;

1.2. а) неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru ; б) неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru ; в) неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru ;

1.3. а) неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru ; б) неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru ; в) неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru ;

1.4. а) неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru ; б) неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru ; в) неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru ;

1.5. а) неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru ; б) неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru ;в) неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru ;

1.6. а) неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru ; б) неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru ; в) неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru ;

1.7. а) неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru ; б) неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru ; в) неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru ;

1.8. а) неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru ; б) неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru ; в) неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru ;

1.9. а) неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru ; б) неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru ; в) неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru ;

1.10. а) неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru ; б) неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru ; в) неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru ;

1.11. а) неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru ; б) неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru ; в) неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru ;

1.12. а) неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru ; б) неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru ; в) неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru ;

1.13. а) неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru ; б) неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru ; в) неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru ;

1.14. а) неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru ; б) неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru ; в) неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru ;

1.15. а) неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru ; б) неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru ; в) неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru ;

1.16. а) неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru ; б) неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru ; в) неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru ;

1.17. а) неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru ; б) неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru ; в) неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru ;

1.18. а) неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru ; б) неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru ; в) неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru ;

1.19. а) неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru ; б) неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru ; в) неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru ;

1.20. а) неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru ; б) неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru ; в) неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru ;

1.21. а) неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru ; б) неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru ; в) неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru ;

1.22. а) неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru ; б) неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru ; в) неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru ;

1.23. а) неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru ; б) неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru ; в) неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru ;

1.24. а) неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru ; б) неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru ; в) неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru .

2. Вычислить определенные интегралы.

2.1. неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru ; 2.2. неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru ;

2.3. неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru ; 2.4. неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru ;

2.5. неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru ; 2.6. неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru ;

2.7. неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru ; 2.8. неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru ;

2.9. неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru ; 2.10. неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru ;

2.11. неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru ; 2.12. неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru ;

2.13. неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru ; 2.14. неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru ;

2.15. неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru ; 2.16. неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru ;

2.17. неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru ; 2.18. неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru ;

2.19. неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru ; 2.20. неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru ;

2.21. неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru ; 2.22. неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru ;

2.23. неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru ; 2.24. неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru .

3.1. неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru ; 3.2. неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru ; 3.3. неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru ;

3.4. неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru ; 3.5. неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru ; 3.6. неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru ;

3.7. неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru ; 3.8. неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru ; 3.9. неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru ;

3.10. неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru ; 3.11. неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru ; 3.12. неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru ;

3.13. неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru ; 3.14. неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru ; 3.15. неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru ;

3.16. неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru ; 3.17. неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru ; 3.18. неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru ;

3.19. неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru ; 3.20. неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru ; 3.21. неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru ;

3.22. неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru ; 3.23. неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru ; 3.24. неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru .

4. Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость.

4.1. неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru ; 4.2. неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru ; 4.3. неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru ;

4.4. неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru ; 4.5. неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru ; 4.6. неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru ;

4.7. неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru ; 4.8. неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru ; 4.9. неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru ;

4.10. неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru ; 4.11. неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru ; 4.12. неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru ;

4.13. неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru ; 4.14. неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru ; 4.15. неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru ;

4.16. неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru ; 4.17. неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru ; 4.18. неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru ;

4.19. неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru ; 4.20. неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru ; 4.21. неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru ;

4.22. неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru ; 4.23. неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru ; 4.24. неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru .

5.1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru и прямой неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru .

5.2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru , неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru

5.3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной одной аркой циклоиды неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru , неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru и осью ОХ.

5.4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными уравнениями:

неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru

5.5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными в полярных координатах неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru

5.6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной четырехлепестковой розой неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru .

5.7. Вычислить длину дуги кривой, заданной уравнениями в декартовой системе координат неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru .

5.8. Вычислить длину дуги полукубической параболы неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru от точки А(2; 0) до точки В(6; 8).

5.9. Вычислить длину дуги кривой, заданной параметрическими уравнениями:

неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru

5.10. Вычислить длину одной арки циклоиды неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru .

5.11. Вычислить длину дуги кривой, заданной уравнениями в полярных координатах

неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru .

5.12. Вычислить длину кардиоиды неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru .

5.13. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси ОУ фигуры, ограниченной кривыми неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru .

5.14. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной параболами неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru .

5.15. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru ;

неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru .

5.16. Найти площадь фигуры, ограниченной кардиоидой неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru и окружностью неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru .

5.17. Найти площадь фигуры, ограниченной полукубической параболой неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru , прямой у=8 и осью ОУ.

5.18. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru и осями координат.

5.19. Найти площадь фигуры, ограниченной окружностями неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru и неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru .

5.20. Вычислить длину дуги кривой неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru от неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru до неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru .

5.21. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru и прямой неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru .

5.22. Найти площадь фигуры, ограниченной кардиоидой неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru и окружностью неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru .

5.23. Найти длину одной арки циклоиды неопределенный и определенный интегралы. - student2.ru .

Наши рекомендации