Преобразование графика функции.

Если известен график функции у = f(x), то с его помощью легко получить

график функции вида у = kf(ax + b) + l. Опишем это построение по

этапам. Из графика функции /(ж):

1) график функции f(ax), а > 0, получается сжатием графика f(x) вдоль оси х в а раз ("сжатие" с коэффициентом а, 0 < а < 1, является растяжением в 1/а раз);

2) график функции f(—x) — преобразованием симметрии относительно оси у;

3) график функции f(x + b) — переносом параллельно оси х на отрезок длины |b| влево, если b > 0, и вправо, если b < 0;

4) график функции kf(x), k > 0, — растяжением вдоль оси у в к раз ("растяжение" с коэффициентом k, 0 < k < 1, является сжатием в 1/к раз);

5) график функции —f(x) — преобразованием симметрии относительно оси х;

6) график функции f(x) + l — переносом параллельно оси у на

отрезок длины |l| вверх, если l > 0, и вниз, если l < 0.

7) график y = f(|x|), исходя из определения модуля, будет графиком функции y=f(x), x≥0 и f(-x), x<0. То есть, при неотрицательном х график будет совпадать с графиком функции y=f(x), а при отрицательных – соответствовать y=f(-x) (то есть будет отражением графика y=f(x) , соответствующего неотрицательным х, относительно оси oy)

8) график y = |f(x)|, исходя из определения модуля, при котором при f(x)≥0 модуль будет равен просто f(x), а при f(x)<0 равен –f(x). То есть, в той части, где график функции лежит над осью х он остается без изменений, а часть, находящаяся ниже оси ох отражается относительно нее в верхнюю полуплоскость.

Применив эти операции, из графика функции f(x) можно получить график функции

Для этого, согласно указанному выше, нужно последовательно построить графики функций

(см. для случая a,b,k,l>0 рис. 11.7)

Рис. 11.7

Пример 11.7

Построить график функции y= - 2sin(3x). Этапы построения графика приведены на рис. 11.7(1-3)

Рис. 11.7(1)

Рис.11.7(2)

Рис.11.7(3)

Полярные координаты

Помимо традиционных прямоугольных координат для определения положения точки на плоскости можно использовать так называемые полярные координаты (рис. 11.8(1). Положение точки M(x,y) здесь рассматривается относительно «нулевого» луча с началом в точке О и определяется двумя числами – полярным радиусом ρ (расстояние от О до М) и полярным углом φ , откладываемым против часовой стрелки (рис. 11.1)

Рис. 11.(1)

Нетрудно видеть, используя определение синуса и косинуса, что переход от полярных координат к прямоугольным можно осуществить с помощью формул:

Обратно:

или

Пример 11.8

Рассмотрим кривую , где а – некоторое положительное число (кривая Архимеда). Таблица значений функции имеет вид:

И, соответственно, график:

Рис.11.8 (2)Кривая Архимеда