Метод скінченних елементів

Розв’язування одновимірних крайових задач методом скінченних елементів

Методичні матеріали

до лабораторної роботи № 5 з курсу:

“Математичне моделювання в САПР”

для студентів базового напрямку

6.0804 “Комп’ютерні науки”

Затверджено

на засіданні кафедри

“Системи автоматизованого проектування”

Протокол №

від

Львів 2008

Розв’язування одновимірних крайових задач методом скінченних елементів.Мето­дич­ні матеріали до лабораторної роботи № 5 з курсу: “Математичне моде­­лю­вання в САПР” для студентів базового напрямку 6.0804 “Комп’ю­тер­ні науки”.

Укладачі:

Макар В.М., доцент, к.т.н.

Юрчак І.Ю., доцент, к.т.н.

Відповідальний за випуск:

Лобур М.В., проф., д.т.н., завідувач кафедри САП

Рецензенти:

1. МЕТА РОБОТИ

Ознайомитися з методом скінченних елементів у формі Гальор­кіна, способом побудови слабкої варіаційної форми та отримати прак­тич­ні на­вики зас­то­сування методу до розв’язання одновимірних кра­йо­вих задач на прикладі задачі Штурма-Ліувілля для звичайного ди­ферен­ціа­ль­ного рівняння другого порядку.

ОСНОВНІ ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ

З математичної точки зору метод скінченних елементів (МСЕ) можна розглядати як процес Гальоркіна з спеціальним вибором ба­зис­них функцій, кожна з яких має так званий скінченний носій, тобто від­мін­на від нуля тільки в деякій невеликій підобласті всієї області виз­на­чен­ня метод скінченних елементів - student2.ru вихідної задачі. В свою чергу, метод Гальоркіна можна трак­ту­ва­ти як частковий випадок методу зважених нев’язок, в якому базисні та ва­гові функції співпадають. Тому для глибшого розуміння суті МСЕ коротко розглянемо спочатку основні ідеї цих методів

МЕТОД ЗВАЖЕНИХ НЕВ’ЯЗОК

Розглянемо деяку крайову задачу в обмеженій області метод скінченних елементів - student2.ru з гра­ни­цею метод скінченних елементів - student2.ru , тобто за­дачу знаходження функції метод скінченних елементів - student2.ru , яка задовільняє ди­фе­рен­ціаль­не рівнян­ня

метод скінченних елементів - student2.ru в метод скінченних елементів - student2.ru , (1)

та граничні умови

метод скінченних елементів - student2.ru на метод скінченних елементів - student2.ru . (2)

Тут метод скінченних елементів - student2.ru – заданий диференціальний оператор, метод скінченних елементів - student2.ru - заданий лінійний опе­ратор, метод скінченних елементів - student2.ru – задана функція. Апроксимацію метод скінченних елементів - student2.ru розв’язку метод скінченних елементів - student2.ru крайової задачі (1)-(2) будемо шукати у вигляді розкладу за базисними функціями

метод скінченних елементів - student2.ru , (3)

де метод скінченних елементів - student2.ru - деякі коефіцієнти, які обчислюються таким чином, щоб отримати якомога краще наближення, а функція метод скінченних елементів - student2.ru і базисні функції метод скінченних елементів - student2.ru вибрані таким чином, що

метод скінченних елементів - student2.ru на метод скінченних елементів - student2.ru . (4)

Умови (4) означають, що функція метод скінченних елементів - student2.ru задовільняє граничну умову (2), і, отже метод скінченних елементів - student2.ru , а базисні функції метод скінченних елементів - student2.ru на границі метод скінченних елементів - student2.ru рівні нулю. Ба­зис­ні функції такого типу часто називаються функціями форми або проб­ними функціями. Такий спосіб вибору функції метод скінченних елементів - student2.ru та базисних функцій метод скінченних елементів - student2.ru автоматично забезпечує рівність метод скінченних елементів - student2.ru на метод скінченних елементів - student2.ru для метод скінченних елементів - student2.ru . Це оз­начає, що для отримання наближеного розв’язку крайової задачі (1)-(2) за­ли­шається забезпечити, щоб метод скінченних елементів - student2.ru задовільняла диференціальне рівняння (1).

Найбільш загальний спосіб визначення коефіцієнтів метод скінченних елементів - student2.ru у розкладі (3) полягає у використанні поняття нев’язки (відхилення) і називається методом зважених нев’язок. У загальному випадку нев’язка виникає тоді, коли ми намагаємося апроксимувати (наблизити) деяку функцію метод скінченних елементів - student2.ru в області метод скінченних елементів - student2.ru іншою функцією метод скінченних елементів - student2.ru , і визна­чає­ть­ся вона наступним чином:

метод скінченних елементів - student2.ru . (5)

У нашому випадку нев’язка виникає при підстановці розкладу (3) в диференціальне рівняння (1), оскільки метод скінченних елементів - student2.ru - апроксимація точного розв’язку метод скінченних елементів - student2.ru крайової задачі (1)-(2). В силу лінійності оператора метод скінченних елементів - student2.ru цю нев’язку можна записати у вигляді

метод скінченних елементів - student2.ru . (6)

Очевидно, що нам потрібно зменшити певним чином цю нев’язку, тобто забезпечити, щоб метод скінченних елементів - student2.ru всюди в метод скінченних елементів - student2.ru . Для цього будемо вимагати рівності нулю відповідної кількості інтегралів по метод скінченних елементів - student2.ru від нев’язки метод скінченних елементів - student2.ru , взятих з різними вагами, тобто

метод скінченних елементів - student2.ru , метод скінченних елементів - student2.ru , (7)

де метод скінченних елементів - student2.ru - система лінійно незалежних вагових функцій. У си­лу довільності вибору вагових функцій метод скінченних елементів - student2.ru рівності (7) будуть вико­ну­ва­ти­ся тоді і лише тоді, коли метод скінченних елементів - student2.ru при метод скінченних елементів - student2.ru , а це і означатиме, що ап­рок­симація метод скінченних елементів - student2.ru буде задовільняти диференціальне рівняння (1) як зав­год­­но точно. У цьому і полягає основна ідея методу зважених нев’язок. Рівності (7) утворюють систему рівнянь методу зважених нев’язок.

Отже, для того, щоб апроксимація метод скінченних елементів - student2.ru була розв’язком рівняння (1) потрібно, щоб коефіцієнти метод скінченних елементів - student2.ru визначалися з системи рівнянь методу зважених нев’язок (7).

МЕТОД ГАЛЬОРКІНА

На практиці можуть використовуватися різні системи вагових функцій метод скінченних елементів - student2.ru , що породжує різні методи на основі зважених нев’язок. У методі Гальоркіна, який є найбільш популярним варіантом методу зважених нев’язок, за вагові функції метод скінченних елементів - student2.ru вибираються самі базисні функції метод скінченних елементів - student2.ru , тобто

метод скінченних елементів - student2.ru . (8)

Підстановка (6) і (8) в систему рівнянь методу зважених нев’язок (7) приводить до системи рівнянь Гальоркіна

метод скінченних елементів - student2.ru , метод скінченних елементів - student2.ru , (9)

розв’язавши яку відносно невідомих коефіцієнтів метод скінченних елементів - student2.ru , отримаємо сис­те­му лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР)

метод скінченних елементів - student2.ru (10)

з коефіцієнтами метод скінченних елементів - student2.ru , метод скінченних елементів - student2.ru . Легко бачити, що матриця метод скінченних елементів - student2.ru СЛАР (10) є симетричною, що забезпечує методу Гальоркіна суттєві обчислювальні переваги.

Визначивши коефіцієнти метод скінченних елементів - student2.ru розкладу (3) з СЛАР (10), ми тим самим завершимо процес побудови апроксимації Гальоркіна метод скінченних елементів - student2.ru розв’язку метод скінченних елементів - student2.ru крайової задачі (1)-(2). Причому, нагадаємо, спосіб побудови метод скінченних елементів - student2.ru забезпечує апріорі виконання граничних умов (2). Спробуємо тепер послабити цю вимогу, оскільки вона суттєво обмежує вибір можливих типів базисних функцій.

Отже, будемо тепер вважати, що розклад

метод скінченних елементів - student2.ru , (11)

не задовільняє апріорі граничним умовам (2). Тоді до нев’язки в диференціальному рівнянні

метод скінченних елементів - student2.ru в метод скінченних елементів - student2.ru (12)

додається нев’язка в граничних умовах

метод скінченних елементів - student2.ru на метод скінченних елементів - student2.ru , (13)

а система рівнянь Гальоркіна набуде вигляду

метод скінченних елементів - student2.ru , метод скінченних елементів - student2.ru . (14)

Підставивши (12)-(13) в (14) і розв’язавши відносно невідомих коефіцієнтів метод скінченних елементів - student2.ru , знову отримаємо СЛАР

метод скінченних елементів - student2.ru (15)

з коефіцієнтами

метод скінченних елементів - student2.ru , метод скінченних елементів - student2.ru .

Розв’язок СЛАР (15) дає нам коефіцієнти метод скінченних елементів - student2.ru розкладу (11), тобто апроксимацію Гальоркіна метод скінченних елементів - student2.ru розв’язку метод скінченних елементів - student2.ru крайової задачі (1)-(2), яка вже апріорі не задовільняє точно граничні умови (2).

Однак, у цьому випадку виникає інша проблема, яка полягає у тому, що в рівняння Гальоркіна (14) можуть входити інтеграли, що містять похідні від метод скінченних елементів - student2.ru , вздовж границі метод скінченних елементів - student2.ru . Такі інтеграли, особливо для криволінійних границь, обчислити дуже складно. Позбавитись заз­на­чених труднощей можна у такий спосіб. Повертаючись до рівняння Гальоркіна (14), необхідно зауважити, що в цьому рівнянні перший доданок

метод скінченних елементів - student2.ru ,

як правило, можна перетворити за допомогою правила інтегрування за частинами до виду

метод скінченних елементів - student2.ru , (16)

де метод скінченних елементів - student2.ru - деякі лінійні диференціальні оператори нижчого порядку ніж вихідний оператор метод скінченних елементів - student2.ru . Тоді, для граничних умов певного типу, належно вибираючи базисну функцію метод скінченних елементів - student2.ru можна добитися взаємного скорочення інтегралів вздовж границі, що містять метод скінченних елементів - student2.ru та її похідні. Ці граничні умови називаються природніми, а отримане в результаті такого перетворення рівняння називається слабким формулюванням методу Гальоркіна або слабкою формою рівняння Гальоркіна. Інша перевага слабкої форми полягає в тому, що на базисні функ­ції метод скінченних елементів - student2.ru накладаються слабші умови гладкості.

Очевидно, що в методі Гальоркіна ключовою проблемою є проб­ле­ма вибору системи базисних функцій. Причому вважається, що базисні функції визначені всюди в метод скінченних елементів - student2.ru , що є найголовнішим недоліком, оскільки таким чином обмежується як геометрична форма області метод скінченних елементів - student2.ru , так і сам вигляд базисних функцій. Цей недолік усувається в методі скінченних елементів.

МЕТОД СКІНЧЕННИХ ЕЛЕМЕНТІВ

В основі МСЕ лежать дві фун­да­мен­тальні ідеї:

1) вихідна область метод скінченних елементів - student2.ru розбивається на ряд підобластей або елементів метод скінченних елементів - student2.ru , що не перетинаються;

2) базисні функції метод скінченних елементів - student2.ru , що використовуються в процесі побудови апроксимації метод скінченних елементів - student2.ru розв’язку метод скінченних елементів - student2.ru крайової задачі (1)-(2) є кусково визначеними, тобто вони відмінні від нуля тільки на деяких елементах метод скінченних елементів - student2.ru (про такі функції кажуть, що вони мають скінченний або фінітний носій, а самі функції так і називаються фінітні). Причому для різних елементів метод скінченних елементів - student2.ru можуть використовуватися різні вирази для базисних функцій.

Як наслідок, сама апроксимація метод скінченних елементів - student2.ru є також кусковою, тобто може бути визначена окремо на кожному елементі. Більше того, інтеграли в системі рівнянь Гальоркіна (14) можуть бути обчислені простим сумуванням їх вкладів за кожним скінченним елементом метод скінченних елементів - student2.ru :

метод скінченних елементів - student2.ru , метод скінченних елементів - student2.ru , (17)

при умові, що

метод скінченних елементів - student2.ru .

Тут метод скінченних елементів - student2.ru - загальна кількість скінченних елементів (СЕ), на які розби­ваєть­ся вся область метод скінченних елементів - student2.ru , метод скінченних елементів - student2.ru - та частина границі елемента метод скінченних елементів - student2.ru , що лежить на границі метод скінченних елементів - student2.ru .

Очевидно, що СЕ метод скінченних елементів - student2.ru повинні мати досить просту геометричну форму. Так, для одновимірного випадку СЕ – це відрізки, для 2D областей – трикутники або чотирикутники, а для 3D областей – тетраедри або паралепіпеди. З кожним елементом метод скінченних елементів - student2.ru пов’язується набір точок, які називаються вузлами. У найпростішому випадку ці вузли розташовані у вершинах елемента, у складніших випадках вони можуть знаходитися всередині елемента (в одновимірному випадку) або на лініях (поверхнях) спряження суміжних елементів. Вузли та елементи нумеруються, причому спосіб нумерації впливає на структруру матриці результуючої СЛАР і, відповідно, на обчислювальні характеристики.

Тоді апроксимація метод скінченних елементів - student2.ru розв’язку крайової задачі (1)-(2) може бути записана у стандартній формі (11), якщо кожна базисна функція метод скінченних елементів - student2.ru асо­цію­ється з одним вузлом метод скінченних елементів - student2.ru , причому сама базисна функція метод скінченних елементів - student2.ru будується таким чином, щоб її значення було рівне одиниці лише у вузлі метод скінченних елементів - student2.ru та нулю у всіх інших вузлах, тобто

метод скінченних елементів - student2.ru . (18)

У силу цієї властивості коефіцієнти метод скінченних елементів - student2.ru у розкладі (11) набувають цілком конкретного фізичного змісту: вони рівні значенню апроксимації метод скінченних елементів - student2.ru у вузлах, тобто метод скінченних елементів - student2.ru , де метод скінченних елементів - student2.ru - значення метод скінченних елементів - student2.ru у вузлі метод скінченних елементів - student2.ru . Крім того, властивість (18) означає також, що базисна функція метод скінченних елементів - student2.ru відмінна від нуля лише на тих СЕ, які містять вузол метод скінченних елементів - student2.ru . Це в свою чергу і означає, що ап­рок­симація метод скінченних елементів - student2.ru кусково визначена, тобто на кожному СЕ метод скінченних елементів - student2.ru може бути виражена за допомогою лише тих базисних функцій метод скінченних елементів - student2.ru , вузли яких нале­жать цьому елементу. Так, наприклад, в одновимірному випадку на кож­ному елементі метод скінченних елементів - student2.ru з вузлами метод скінченних елементів - student2.ru глобальна апроксимація метод скінченних елементів - student2.ru виду (11) може бути виражена за допомогою лише двох базисних функцій елемен­та метод скінченних елементів - student2.ru та вузлових значень метод скінченних елементів - student2.ru так:

метод скінченних елементів - student2.ru . (19)

Отже, кускова визначеність апроксимації метод скінченних елементів - student2.ru є наслідком кускової визначеності базисних функцій метод скінченних елементів - student2.ru . Але, з іншого боку, кускова виз­на­че­ність базисних функцій метод скінченних елементів - student2.ru означає, що похідні від них будуть мати роз­ри­ви. Тоді цілком логічно виникає питання, а наскільки допустимо вико­ристовувати такі функції в системі рівнянь Гальоркіна (14), які містять похідні від них під знаком інтегралу? З математичної точки зору, це означає, що потрібно встановити так звані умови гладкості на базисні функції, виконання яких гарантуватиме, що під інтегралами системи рів­нянь Гальоркіна (14) не будуть виникати різного роду невизначенос­ті. Ці умови гладкості визначаються порядком похідних від базисних функ­цій. Тут доречно нагадати, що цей порядок похідних можна знизити використовуючи слабку форму рівнянь Гальоркіна. Самі умови глад­кос­ті математично виражаються таким чином: якщо рівняння (14) містять похідні порядку метод скінченних елементів - student2.ru , то базисні функції повинні належати класу гладкості метод скінченних елементів - student2.ru , тобто мати кусково-неперервно диференційовані похідні до по­ряд­ку метод скінченних елементів - student2.ru включно.

Властивість (18) означає, також, що якщо базисні функції метод скінченних елементів - student2.ru будувати у вигляді поліномів певного степеня, то апроксимація метод скінченних елементів - student2.ru виг­ляду (11) являє собою інтерполяційний поліном розв’язку метод скінченних елементів - student2.ru крайової задачі (1)-(2). Однозначність визначення полінома на кожному СЕ забезпечується тим, що у заданих вузлах у ролі невідомих параметрів фіксуються значення полінома або значення полінома і деяких його похідних. Необхідна гладкість апроксимації метод скінченних елементів - student2.ru у всій області метод скінченних елементів - student2.ru забез­пе­чує­ться тим, що значення відповідних параметрів у спільних вузлах су­між­них елеметів співпадають. Поліноміальний вигляд базисних функцій забезпечує МСЕ високу ефективність та простоту обчислень, а також дозволяє отримати апріорні оцінки похибки апроксимації. Більше того, математичні дослі­джен­ня МСЕ показали, що кусково-поліноміальні базисні функції за умови достатньої гладкості шуканого розв’язку забезпечують побудову наближеного розв’язку майже довільної точності, якщо ввести достатню кількість скінченних елементів або при заданому розбитті використати поліноми вищого порядку.

Підсумовуючи, можна виділити такі етапи розв’язання крайових задач за допомогою МСЕ:

1) дискретизація області метод скінченних елементів - student2.ru визначення задачі, яка включає задання кількості, розмірів та геометричної форми СЕ;

2) побудова апроксимації невідомого розв’язку шляхом розкладу за базисними функціями та отримання слабкої форми системи рів­нянь Гальоркіна;

3) побудова фінітних базисних функцій у вигляді кусково виз­на­че­них поліномів певного порядку, який визначається потрібними умовами гладкості розв’язку;

4) підстановка базисних функцій у слабку форму і отримання результуючої СЛАР шляхом побудови локальних матриць на кожному елементі та їх асемблювання у глобальні матриці СЛАР;

5) врахування граничних умов;

6) розв’язання СЛАР та оцінка точності отриманого наближеного розв’язку.

Наши рекомендации