Интервалы выпуклости, точки перегиба

Определение 22. График дифференцируемой функции называется выпуклым вниз (вогнутым) на интервале если он расположен выше любой ее касательной на этом интервале.

Определение 23. График дифференцируемой функции называется выпуклым вверх (выпуклым) на интервале если он расположен ниже любой ее касательной на этом интервале.

Определение 24. Точка графика непрерывной функции отделяющая его части разной выпуклости, называется точкой перегиба.

Теорема 9 (достаточный признак выпуклости). Если функция во всех точках интервала имеет отрицательную вторую производную, т. е. то график функции в этом интервале выпуклый вверх. Если же для всех график функции выпуклый вниз.

Таким образом, чтобы найти интервалы выпуклости (вогнутости) графика функции необходимо найти интервалы, в которых вторая производная функции имеет постоянный знак.

Теорема 10 (необходимое условие существования точки перегиба). Если −точка перегиба функции то в этой точке вторая производная функция либо равна нулю ( ), либоне существует.

Определение 25. Критическими точками второго рода функции называются точки, в которых вторая производная функции равна нулю либо равна бесконечности, либо не существует. Критические точки должны входить в область определения функции.

Теорема 11 (достаточное условие существования точек перегиба). Если вторая производная при переходе через точку меняет знак, то точка графика с абсциссой есть точка перегиба.

Точки перегиба графика функции находятся среди критических точек второго рода, но критическая точка вовсе не обязательно является точкой перегиба.

2.11.1.Алгоритм исследования функции

на выпуклость (вогнутость) и точки перегиба

1) Найти область определения функции

2) Найти вторую производную функции

3) Найти критические точки второго рода, решив уравнение

4) На координатную ось нанести область определения функции и критические точки второго рода. В полученных интервалах определить знак второй производной и поведение функции.

5) Определить, какие из критических точек являются точками перегиба, вычислить значения функции в этих точках.

6) Указать интервалы выпуклости (вогнутости) графика функции.

Пример 2.9. Найти интервалы выпуклости (вогнутости) графика функции:

а)

Решение.

1. Найдем область определения функции

2. Найдем вторую производную функции:

3. Решим уравнение

− критические точки второго рода.

4. На числовую ось нанесем область определения функции и найденные критические точки. Строим диаграмму исследования функции на перегиб и интервалы выпуклости (вогнутости) (рис. 14).

+

Точка перегиба

_

х

Поведение функции

-2

Знак второй производной

+

Точка перегиба

Рис. 14. Интервалы выпуклости, точки перегиба

5. Точки перегиба: . Значение функции в точках перегиба: . Координаты точек перегиба графика функции:

6. Интервал выпуклости: интервалы вогнутости:

б)

1.

2. Найдем вторую производную функции:

(см. пример 2.8 б);

3. Решим уравнение

не определена в точке (так как ).Точки − критические точки второго рода.

+

_

х

Поведение функции

Знак второй производной

2,4

Точка перегиба

_

4. Строим диаграмму (рис. 15).

Рис. 15. Интервал выпуклости, точки перегиба

5. следовательно, точка перегиба графика функции имеет координаты:

6. − интервалы выпуклости графика функции;

− интервал вогнутости графика функции.

в)

1.

2.

3. − действительных корней нет;

не определена в точках, когда т. е. Так как критических точек второго рода нет. Следовательно, функция не имеет точек перегиба.

_

х

Поведение функции

-3

Знак второй производной

Функция не определена

_

4. Найдем интервалы выпуклости (вогнутости) графика функции. На ось наносим область определения функции, исследуем функцию по знаку (рис. 16).

Рис. 16. Интервал выпуклости, точки перегиба

Действительно, на области определения следовательно, − интервалы выпуклости графика функции.