Системы векторов. Разложение вектора по базису

ПЗ №3.Элементы векторной алгебры и матричного анализа. Элементы аналитической геометрии.

1. Разбор домашнего задания №2

2. 1) Даны векторы и . Найти косинус угла между векторами и .

2) При каком значении векторы и ортогональны (угол между ними равен )? Векторы и .

3) Вычислить угол между векторами и , если , .

3.1. Векторы на плоскости и в пространстве

1. Вектором называется направленный отрезок АВ с начальной точкой А и конечной точкой В (который можно перемещать парал­лельно самому себе).

Длиной (или модулем) |АВ|‌‌‌‌ вектора АВ называется число, равное

длине отрезка АВ, изображающего вектор.

Векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или параллельных прямых.

Векторы называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.

2. Произведением вектора а на число λна­зывается вектор в= λа, имеющий длину |b| = |λ| |а|, направление которого совпадает с направлением вектора а , если λ> 0, и проти­воположно ему, если λ< 0.

Суммой двух векторов а и b называется вектор с =а + b , определяемый по правилу треугольника или параллелограмма.

Разностью двух векторов а и b называется вектор с = а + (-в).

3.Координатами (х, у) или (х, у, z) вектора а называются коорди­наты его конечной точки, если начальная точка вектора совпадает с началом координат.

Вектор а = (х, у, z) может быть представлен в виде

а =xi + yj + zk

где i, j, k — единичные векторы (орты), совпадающие с направле­нием осей соответственно Ox, Oy, Oz; |i | = |j| =|k| = 1.

4.Длина |а| вектора а определяется по формуле:

|а| = х²+у²

или |а|= х²+у²+z²

5. Направляющими косинусами вектора а называются числа cos α, cos β, cos γ, где α, β, γ — углы наклона вектора а к осям Ох, Oy, Oz соответственно:

cos α=x/ x²+y²+z², cos β=y/ x²+y²+z², cos γ=z/ x²+y²+z²

при этом cos² α + cos² β + cos² γ= 1.

6. Координаты суммы двух векторов а = (х₁, у₁, _z1) и

b = (х₂, у₂,z₂) и произведение вектора а на число λ определяются по формулам:

a + b =( х₁, у₁, _z1)+( х₂, у₂,z₂)= (x_l+x₂, y₁+ y₂, z_l+z₂), λа = λ(х₁, у₁, _z1) = (λх₁, λу₁, λ_z1).

7. Проекцией пр а вектора а на ось I называется число

пр/ а = |a| cosφ, где φ — угол наклона вектора а к оси /.

8. Скалярным произведением (а, в) двух векторов а и в называ­ется число

(а, b)=ab=|а| ‌‌|b| cosφ

Скалярное произведение двух векторов а = (х₁, у₁, _z1) и b= (х₂, у₂,z₂) выражается формулой:

(а,b)=ab=x_lx₂+y₁y₂+z₁z₂.

Скалярный квадрат вектора а = (х,у,z) равен квадрату его длины:

(а,а)=а² =|а|² =x²+y²+z².

9. Угол φ между векторами а = (х₁, у₁, _z1) и b(х₂, у₂,z₂) = нахо­дится по формуле:

cos φ=(а, b)/ |а| ‌‌|b|= x_lx₂+y₁y₂+z₁z₂/ x₁²+y₁²+z₁²* x₂²+y₂²+z₂².

10. Два вектора а, b называются ортогональными, если их ска­лярное произведение равно нулю, т. е. аb = 0.

11. Для двух векторов а = (х₁, у₁, _z1) и b= (х₂, у₂,z₂): условие коллинеарности (параллельности)

b=ka,или x₂/x₁=y₂/y₁=z₂/z₁=k

условие ортогональности (перпендикулярности)

аb = 0 или x_lx₂+y₁y₂+z₁z₂=0