Модели, заданные в виде уравнений в частных производных

Ряд задач, связанных с использованием физических полей, приводит к моделям в виде дифференциальных уравнений в частных производных.

Особенностью таких задач является то, что изучаемые параметры изменяются не только во времени, но и зависят от координат x, y, z рассматриваемого пространства. Такие модели называются нестационарными. Модели, в которых параметры не зависят от времени, называются стационарными.

К таким моделям сводятся описания полей температур в элементах конструкции двигателя и полей скоростей при течении жидкости (газа). Уравнениями в частных производных описываются колебания элементов конструкции и поля напряжений, возникающих при работе этих элементов.

Линейное дифференциальное уравнение в частных производных имеет вид

.

Математическая модель, описанная дифференциальными уравнениями в частных производных, должна включать в себя необходимые для решения задачи краевые условия:

1. Должна быть задана область D, ограниченная поверхностью (на плоскости – кривой) G , в которой определяется решение.

2. Должны быть заданы условия на границе G этой области.

В случае нестационарного поля эти граничные условия, так же как и сама область могут меняться во времени.

Граничные условия могут быть 1-го, 2-го и 3-го рода:

а) Граничные условия 1-го рода предусматривают задание на границе величины искомой функции:

– для стационарного поля;

– для нестационарного поля.

б) Граничные условия 2-го рода – предусматривают задание производной искомой функции:

– для стационарного поля;

– для нестационарного поля.

в) Граничные условия 3-го рода – предусматривают комбинации функции и ее производной:

– для стационарного поля;

– для нестационарного поля.

3. Для нестационарных полей должны быть заданы одно или два начальных условия, характеризующих состояние поля в начальный момент времени:

(i = 1, 2, 3).

Здесь x_i – координаты пространства.

Совокупность уравнений и краевых (и начальных) условий полностью определяет модель и позволяет провести ее исследование.

Решение часто задается в виде семейств изолиний F = const (Рис. 2.11).

В качестве примера рассмотрим хорошо изолированный металлический пруток, нагреваемый с одной стороны. С другой стороны помещен измеритель температуры (Рис. 2.12). Величина подогрева x(t) в момент времени t является входным сигналом, а измеряемая на другом конце температура y(t) – выходным сигналом.

Обозначим через x расстояние от измерителя до точки прутка. Температура в этой точке z будет описываться функцией вида

z = z(t, x).

Уравнение теплопроводности для одномерного случая для определения функции z будет иметь вид:

,

где K – коэффициент теплопроводности.

Начальным условием в данном случае является начальное распределение температуры (при t = 0) по прутку: z(0, x) = j(x).

Граничные условия определяются тремя условиями:

а) Нагрев прутка на правом конце

.

б) На левом конце подвод тепла отсутствует

.

в) Показания на измерителе температур (x = 0) в момент времени t определяется следующим выражением

.

Таким образом, для вычисления температуры на расстоянии L от измерителя по формуле для y(t) необходимо проинтегрировать дифференциальное уравнение с учетом начальных и граничных условий, т.е. получить функцию z(t,x). Затем следует проградуировать измеритель температуры, т.е. определить соответствие между x(t) и y(t), задавая различные значения x(t) и вычисляя .

Контрольные вопросы к лекции 5

1. Где используются математические модели в виде обыкновенных дифференциальных уравнений?

2. Что должна включать в себя математическая модель в виде обыкновенных дифференциальных уравнений?

3. Какими методами осуществляется исследование моделей, заданных в виде обыкновенных дифференциальных уравнений?

4. Запишите математическую модель движения груза массой m, закрепленного на вертикальной стенке с помощью пружины жесткостью С и совершающего колебательное движение вдоль оси х в среде с вязкостью n.

5. Какой принцип используется при построении этой модели?

6. К какому типу относится эта модель?

7. Где используются математические модели в виде дифференциальных уравнений в частных производных?

8. Что является особенностью математических моделей в виде дифференциальных уравнений в частных производных?

9. Что должна включать в себя математическая модель в виде дифференциальных уравнений в частных производных?

10. Какого типа бывают граничные условия?

11. Приведите математическую модель распределения температурного поля в металлическом прутке, нагреваемом с одной стороны.

Стохастические модели

Лекция 6

Точные величины и зависимости, используемые в детерминированных моделях, представляют собой лишь некоторые средние значения (математические ожидания) реальных случайных величин (зависимостей). Так, физические константы, характеризующие материалы и рабочие тела (предел прочности материала s, теплопроводность l, плотность r и т.д.) меняются в зависимости от партии материала и условий окружающей среды. Всегда имеется определенный разброс размеров деталей l, расходов топлива в системах подачи. Все это приводит к тому, что и результирующие функции, характеризующие процесс, также носят случайный характер. Результаты, полученные с помощью детерминированной модели, представляют собой математические ожидания этих характеристик. При этом конкретные данные для конкретной системы могут существенно отличаться от этих математических ожиданий. Например, ресурс конкретного двигателя может существенно отличаться от среднего ресурса двигателей данного типа. Для учета таких отличий вводятся всевозможные «запасы прочности», призванные гарантировать работоспособность реальных объектов при неблагоприятном стечении обстоятельств.

Значительно более полные и объективные результаты можно получить при переходе от детерминированных к стохастическим моделям, то есть при переходе от точно заданных величин к соответствующим случайным величинам.

При этом константы (s, l, r, l,…) заменяются случайными величинами x_s, x_l, x_r, x_l,… , подчиненными определенным законам распределения.

Однократное исследование стохастической модели приведет к некоторой случайной величине функции отклика x_W, представляющей собой, вообще говоря, ограниченную ценность. Для получения значимых результатов необходимо провести многократное исследование модели и получить распределение результирующей характеристики в интересующем исследователя диапазоне. Поверхность отклика в этом случае представляет собой некий размытый слой переменной плотности.

Такой метод исследования стохастической модели получил название метода статистических испытаний или метода Монте-Карло.

Трудоемкость исследования стохастических моделей существенно выше, чем моделей детерминированных:

1. Значительно возрастает объем исходной информации: замена констант случайными величинами, введение законов распределения этих величин усложняют модель.

2. Для получения распределения результирующей функции необходимо многократное исследование модели.

С другой стороны, полученное при статистическом моделировании распределение характеристик системы дает в руки исследователя чрезвычайно ценную информацию: Такое распределение позволяет оценить не только среднее значение изучаемой величины, но и разброс этих значений, вероятности появления тех или иных значений при конкретном испытании (например, вероятность выхода из строя ДЛА через тот или иной промежуток времени) и их зависимость от различных факторов.

Очень часто используют нормальный или гауссовский закон распределения, для которого плотность вероятности f(x) и функция распределения R(х) задаются следующими соотношениями:

Вероятность того, что случайная величина попадет в интервал (х, x+dx):

;

Вероятность того, что случайная величина попадет в интервал (-¥, х):

.

Для случайной величины x, распределенной по нормальному закону,
m = М(x), s = s(x) (Рис. 2.13, 2.14). Случайная величина распределена в интервале m ± 3s. По нормальному закону распределены обычно характеристики материалов, размеры деталей, ресурсы элементов ДЛА.

Наряду с нормальным используются и другие законы распределения случайных величин. Например, равномерное распределение – задает равновероятностные на отрезке [a, b] случайные величины. (Рис. 2.15, 2.16). Плотность вероятности и функция распределения при равномерном распределении определяются по формулам:

Выбор закона распределения для конкретной случайной величины, входящей в стохастическую модель, может быть обоснован экспериментально или теоретически.

Конкретные параметры распределения (m, s,…) всегда определяются на основе экспериментальных данных. Оценка параметров нормального распределения на основе выборки {x_i} из n случайных значений величины х дается соотношениями:

; .

При использовании метода статистических испытаний характеристики изучаемой системы оцениваются на основе некоторой ограниченной выборки реализаций. Поэтому важно определить достоверность этой оценки.

Вероятность р пребывания системы в некотором состоянии (например, вероятность того, что время работы элемента ДЛА до первого отказа составит не менее t часов), определяется частотой этого события при моделировании:

,

где n₊ – число реализаций, при которых наблюдалось изучаемое состояние системы (время работы ДЛА до первого отказа превысило t); n – общее число реализаций.

Эта оценка является приближенной, так как определяется на основе ограниченной выборки. Отношение называется выборочной статистикой.

Ошибка моделирования определяется отклонением выборочной статистики от вероятности

.

Можно показать, что эта ошибка удовлетворяет неравенству

, (2.20)

Здесь р – вероятность рассматриваемого состояния; a – вероятность невыполнения оценки (2.20) (уровень риска). Доверительная вероятность выполнения этой оценки равна 1– a.

Из (2.20) следует, что погрешность стохастического моделирования обратно пропорциональна . То есть увеличение точности при стохастическом моделировании требует значительного увеличения числа реализаций. Для уменьшения погрешности в 10 раз необходимо увеличить число реализаций (а значит и время счета) в 100 раз. Поэтому метод статистических испытаний не может дать решения с очень высокой степенью точности. Считается, что допустимая ошибка может составлять 1-5% максимальной величины, полученной при моделировании.

Величина ошибки зависит также от вероятности р оцениваемого состояния и допустимого уровня риска a. Обычно a задают на одном из фиксированных уровней
(a = 0,005; 0,01; 0,025; 0,05; 0,1 …).

Контрольные вопросы к лекции 6

1. Что представляют собой величины, входящие в стохастическую модель?

2. Что представляет собой поверхность отклика моделей, исследуемых методом статистических испытаний?

3. В чем заключается метод Монте-Карло?

4. Какие трудности возникают при исследовании стохастических моделей?

5. Какую информацию дает в руки исследователя полученное при статистическом исследовании распределение характеристик системы?

6. Какие законы распределения случайной величины Вы знаете?

7. Как выглядит плотность распределения для нормального закона?

8. Как выглядит плотность распределения для закона равной вероятности?

9. Как определяются оценки математического ожидания и дисперсии случайной величины?

10. Что такое выборочная статистика?

11. Почему она называется «выборочная»?

12. От чего зависит погрешность стохастического моделирования?

Рубежный контроль 1

Лекция 7

Глава 3. Эмпирические математические модели