Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных

Определение:Если в уравнении с частными производными первого порядка

Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru (1)

где Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru – искомая функция от независимых переменных Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru ; Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru (∙) – известная функция своих аргументов, частные производные от искомой функции входят линейно, то такое уравнение называется линейным.

Следовательно, линейное уравнение можно записать так:

Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru (2)

В случае, когда первая часть Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru и коэффициенты Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru не зависят от переменной u (т.е. от искомой функции), линейное уравнение (2) принимает вид

Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru (3)

Определение:Линейное уравнение вида

Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru ,

где Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru – заданные в области D непрерывно дифференцируемые функции независимых переменных Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru , не обращаются одновременно в нуль, т.е. при любом Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru , называется линейным однородным уравнениемв частных производных первого порядка.

Так, уравнение Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru , линейное однородное дифференциальное уравнение в частных производных, где z – неизвестная функция от x и y, а уравнения Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru – линейное неоднородное ДУ в частных производных и Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru квазилинейное ДУ в ч.п. – линейные неоднородные.

Определение: Решение в области Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru ДУ в частных производных (3) называется любая функция Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru , непрерывная вместе со своими частными производными первого порядкаи образующая его в тождество по независимым переменным Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru .

Геометрически решение Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru ДУ в частных производных можно интегрировать как поверхность в пространстве Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru переменных Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru . Эту поверхность называют интегральной поверхностью.

Рассмотрим вопрос о нахождении решений уравнений (3), определенных в некоторой окрестности точки Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru которые обращают уравнение (3) в тождество.

Заметим, прежде всего, что однородное уравнение (3) всегда имеет решение вида Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru , где С=const. Такие решения будем называть тривиальными.

Покажем, что при сделанных предположениях относительно коэффициентов уравнения (3) оно имеет бесконечное множество нетривиальныхрешений.

Наряду с ДУ в частных производных (3) рассмотрим систему обыкновенных ДУ соответствующих этому уравнению

Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru

или в симметрической форме

Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru (5)

Система обыкновенных ДУ (4) называются системой уравнений характеристик для ДУ в частных производных (3), а ее интегральные кривые – характеристиками уравнения (3).

Теорема.

1. Если функция Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru есть непрерывно дифференцируемый интеграл системы (5), то Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru является решением уравнения (3);

2. Если Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru – решение уравнения (3), то Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru интеграл системы (5).

Доказательство: см. Н.М. Матвеев «Дифференциальные уравнения».

Из сформулированной теоремы вытекает, что задача интегрирования уравнения (3) и системы (5) равносильны.

При сделанных предположениях имеет ровно n-1 независимых интегралов

Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru , Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru , …, Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru (6)

определенных и непрерывно дифференцируемых в некоторой окрестности начальной точки Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru , т.к. при этих предположениях система (5) равносильна нормальной системе Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru уравнений

Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru …, Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru , (7)

правые части которых определены и непрерывно дифференцируемы в некоторой окрестности точки Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru , а тогда система (7) имеет ровно Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru независимых интегралов, непрерывно дифференцируемые в некоторой окрестности этой точки.

Любая непрерывно дифференцируемая функция от интегралов (6).

Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru (8)

также будет интегралом системы (5) и, следовательно, решением уравнения (3)

Решение (8), где F – производная непрерывно дифференцируемая функция от своих аргументов, будем называть общим решением уравнения (3).

Рассмотрим случай двух независимых переменных в виде:

Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru (9)

где Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru - неизвестная функция от x и Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru , а Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru и Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru - заданные функции от x и Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru .

Каждому решению уравнения (9) соответствует в пространстве Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru некоторая поверхность – интегральная поверхность уравнения (3).

В рассматриваемом случае система (5) вырождается в одно уравнение

Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru (10).

Пусть Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru - интеграл этого уравнения. Тогда общим решением уравнения (9) будет

Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru , (11)

где F - произвольная непрерывно дифференцирующая функция.

Геометрически общему решению (11) соответствует семейство интегральных поверхностей, зависящее от произвольной функции F.

Примеры:

1) Решить уравнение Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru

Решение:

Составим соответствующую ему систему дифференциальных уравнений в симметрической форме Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru .

Решая ее, получим два независимых интеграла

Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru , Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru .

Поэтому общим решением исходного уравнения будет

Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru .

2) Решить уравнение: Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru

Решение:

Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru

Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru

Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru

Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru

Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru

Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru

Задача Коши для уравнения с частными производными первого порядка (1) состоит в нахождении решения

Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru (12)

которое при фиксированном значении одной из независимых переменных, например Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru , обращается в заданную непрерывно дифференцируемую функцию от остальных переменных, т.е.

Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru , при Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru (13)

Условие (13) называется начальным условием решения (12).

В случае двух независимых переменных, т.е. для уравнения

Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru (14)

Задача Коши состоит в нахождении решения Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru , удовлетворяющего начальному условию Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru , при Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru , т.е. ищется интегральная поверхность, которая проходит через заданную кривую Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru , Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru , лежащую в плоскости Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru .

При постановке задачи Коши для однородного линейного уравнения (3), чтобы было обеспечено существование решения фиксируют значение той независимой переменной, для которой коэффициент при соответствующей частной производной от искомой функции отличен от нуля в начальной точке (х10, х20, …, хn0). В нашем случае нужно фиксировать хn.

Итак, будем искать решение уравнения (3), удовлетворяющее начальному условию (13). Для этого воспользуемся независимыми интегральными (6) системами (5). Положим в них xn=xn0 и обозначим полученные функции через Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru :

Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru (15)

система (15) разрешима относительно Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru в некоторой окрестности начальной точки Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru .

Найдем

Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru (16)

Построим функцию

Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru (17).

Эта функция и является искомым решением поставленной задачи Коши.

В случае двух независимых переменных получаем

Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru

Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru , при Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru

Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru , Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru

Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru , Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru

Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru

Примеры:

1. Решить уравнение: Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru с условием Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru , при Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru .

Решение: Здесь Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru . Имеем Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru (какие бы значения Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru не взять), так что существование задачи Коши обеспечено.

Находим первые интегралы

Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru

Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru общее решение.

Полагая в первых интегралах Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru , получаем Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru , Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru .

Откуда Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru , Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru . Искомое решение будет

Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru .

2. Найти интегральную поверхность уравнения Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru , проходящую через кривую Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru , при Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru .

Решение: В начальном условии фиксировано значение Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru . Коэффициент отличен от нуля при Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru , т.к. Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru в любой точке, где Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru .

Такую точку и возьмем за начальную. В окрестности такой точки решение задачи Коши обеспечено. Напишем уравнение в симметрической форме

Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru

Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru – общее решение.

Полагаем в нем Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru , находим Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru

Искомым решением будет Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru или Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru

3. Проинтегрировать уравнение Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru , Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru .

Найти интегральную поверхность, проходящую через кривую Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru , Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru .

4. Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru , Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru , при Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru

5. Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru , Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru , при Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru .

Лекция 3.

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения в частных производных

Определение: Линейным неоднородным ДУ в частных производных первого порядка называют уравнение вида(1):

Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru

где Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru ( Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru ) и Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru - заданные функции n независимых переменных х12, …,хn , непрерывно дифференцируемых в некоторой области Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru . Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru - искомая функция.

Определение: Решением ДУ в частных производных первого порядка (1) в области Д называют непрерывно дифференцируемую в области Д функцию Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru , которая обращает эти уравнения в тождество в любой точке Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru .

Предположим, что коэффициенты X1,X2, …,Xn и R определены и непрерывны вместе с частными производными в некоторой окрестности начальной точки Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru , причем Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru , то есть не все коэффициенты

Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru (2)

Будем искать решение уравнения (1) в неявном виде

Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru (3)

где V – некоторая непрерывно дифференцируемая функция своих аргументов, причем

Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru (4)

Продифференцируем соотношением (3) по хк , считая u функцией от х12, …,хn, определяемой (согласно теореме о неявной функции) уравнением (4).

Находим

Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru (5)

откуда

Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru (6)

Подставляя (6) в (1), умножая на Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru , перенося все члены в левую часть, получим

Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru (7)

Уравнение (7) есть однородное линейное уравнение с искомой функцией V. Ему соответствуеющая характеристическая система в симметричной форме

Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru (8)

имеет n независимых интегралов

Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru (9)

Поэтому линейные неоднородные ДУ в частных производных имеет общее решение вида

Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru (10)

Подставляя (10) в (3), получим искомое решение уравнения (1) в виде

Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru (11)

Это соотношение, где F – произвольная, непрерывно дифференцируемая функция, будем называть общим решением уравнения (1).

Если удается фактически разрешить (в элементарнах функциях) уравнение (11) относительно u, то получим общее решение в явном виде

u=f(x1, x2,..., xn) (12)

где f – произвольная непрерывно дифференцируемая функция.

В случае двух переменных имеем уравнение

Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru (13)

где z=z(x,y).

В симметрической форме примет вид:

Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru (14)

Если Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru - независимые интегралы этой системы, то общее решение уравнения (13) имеет вид Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru .

Примеры: Найти решение ДУ в частных производных.

1) Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru

2) Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru

Решение:

1) Составим систему характеристических уравнений исходного ДУ в частных производных

Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru

Отсюда найдем два независимых интегралов

Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru и Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru .

Тогда все решения ДУ в частных производных задаются формулой Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru , где F – произвольная функция. Разрешая последнее равенство относительно 2-го аргумента, получим Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru , где φ – непрерывно дифференцируемая функция.

Задача Коши для неоднородного линейного уравнения (1) состоит в нахождении решения

Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru , (16)

удовлетворяющего начальному условию

Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru при Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru , (17)

где φ – заданная непрерывно дифференцируемая функция.

Для решения задачи Коши воспользуемся независимыми интегралами (9) системы (8). Полагая в них Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru , получаем

Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru (18)

Разрешая эту систему относительно X1,X2, …,Xn-1, найдем

Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru (19)

Подставляя эти значения X1,X2,…,Xn-1, в равенство Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru и заменяя Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru , получаем

Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru (20)

Это уравнение и определяет искомое решение (в неявном виде).

В случае двух независимых переменных имеем

Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru

Примеры:

1) Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru

2) Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru

3) Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru

4) Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru

5) Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru

Найти решения линейного однородного ДУ в частных производных.

1) Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru

2) Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru

3) Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru

4) Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru

5) Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru

6) Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru

7) Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru

8) Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru

9) Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru

Лекция 4

Квазилинейные дифференциальные уравнения в частных производных первого порядка

Определение: Квазилинейным ДУ в частных производных первого порядка называют ДУ в частных производных вида:

Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru

Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru (1)

где Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru ( Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru ) и Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru - заданные функции, непрерывно дифференцируемых в некоторой области Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru изменения n переменных Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru ( Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru ) и искомой функции u.

Процесс нахождения общего решения квазилинейного ДУ в частных производных аналогичен нахождению общего решения линейного неоднородного ДУ в частных производных.

Основные этапы решения.

Система уравнений характеристик для квазилинейного ДУ в частных производных полностью совпадает с системой линейно- неоднородных ДУ в частных производных, то есть

Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru (2)

Пусть функции Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru , являются в области Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru независимыми первыми интегралами системы (2)

Интегральные кривые этой системы называют характеристиками квазилинейного ДУ в частных производных и общее решение можно получить из равенства

Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru (3)

где F – произвольная непрерывно дифференцируемая функция.

Примеры:Найти общее решение уравнения

Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru

Решение: Составим систему характеристических уравнений исходного уравнения.

Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru

Отсюда найдем два независимых интегралов

Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru и Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru .

Тогда общее решение: Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru . Общий интеграл Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru - общее решение.

Постановка задачи Коши для квазилинейного ДУ в частных производных аналогична постановке этой задачи для линейного однородного ДУ в частных производных.

При практическом решение этой задачи необходимо руководствоваться следующими правилами:

Пусть решение Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru ДУ в частных производных (1) должно удовлетворять условию Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru на поверхности S, которая задана условием Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru .

После нахождения характеристик Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru из системы уравнений характеристик Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru исключив из системы

Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru

Переменные Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru получим равенство Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru в котором следует поставить Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru , Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru .

Тогда получим Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru однако из решений Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru уравнения и будет искомая.

Примеры:

1. Найти общее решение уравнения

Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru

А так же интегральную поверхность, проходящую через кривую Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru

Решение: Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru – общее решение (решение смотри выше).

Найдем частное решение: вместо x, y, z подставим через параметр и получим Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru . Исключая х получим Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru . Далее вместо с1 и с2 подставим и получим ответ:

Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru .

2. Найти общее решение уравнения Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru выделить решения, удовлетворяющее начальным условиям: z=y-x при x=2.

Решение: Составим систему характеристических уравнений исходного уравнения.

Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru

а) Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru или Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru – линейное уравнение первого порядка

Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru

Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru

Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru

Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru

Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru

Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru

Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru

Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru

б) Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru

Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru

Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru

Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru – общий интеграл

разделив относительно z, получим Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru - общее решение.

Найдем решение, удовлетворяющее начальным условиям

Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru

откуда

Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru

Подставляя эти значения y и z в формулу z=y-4 получим

Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru

Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru - частное решение.

Это решение содержит в общим решении при Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru

3. Найти общее решение уравнения Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru и выделить решения, удовлетворяющее начальным условиям: u =x-x2 при y=2.

Решение:

Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru

Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru

Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru

Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru

Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru

Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru

Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru

Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru

Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru

Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru

Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru

Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru

Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru

Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru – общий интеграл

Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru - общее решение.

Используем начальные условия, получим

Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru

Подставляя эти значение x и u в формулу u=x-x2 получим

Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru

Примеры:

1. Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru

2. Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru

3. Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru

4. Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru

5. Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru

Лекция 5

Нелинейные дифференциальные уравнения в частных производных первого порядка

Рассмотрим нелинейное уравнение с частными производными первого порядка в случае двух независимых переменных.

Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru (1)

где z – искомая функция от x и y; Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru F – заданная непрерывно дифференцируемая функция своих аргументов в некоторой окрестности начальной точки Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru , зависящая от p и g нелинейно.

Оказывается, что задача интегрирование одного уравнение вида (1) является более трудной, чем интегрирование системы двух совместных уравнений такого вида, то есть имеющих решение, общее для обоих уравнений системы.

Рассмотрим систему

Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru (2)

Предположим, что, разрешая её относительно от p и g, получим

Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru (3)

где A и B непрерывно дифференцируемы в некоторой окрестности начальной точки Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru .

Найдем необходимое условие совместимости системы (3).

Предположим, что существует функции z=z(x,y), удовлетворяющая каждому уравнению этой системы и имеющая непрерывные частные производные Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru в некоторой окрестности начальной точке Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru .

Дифференцируя уравнения (3) соответственно по у и по х, считая z=z(x,y) , получим

Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru (4)

Отсюда следует (т.к. левые части Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru равны)

Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru (5)

Условие (5) и есть необходимое условие совместимости системы (3).

Для того чтобы система (3) не только была совместна, но и существовало семейство решений, зависящее хоты бы от одной произвольной постоянной, необходимо, чтобы условие

Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru (6)

Выполнялось тождественно относительно x, y, z в рассматриваемой области.

Доказано, что тождественное выполнение условия (6) является и достаточно для существование такого семейство решений.

Если условие (6) выполняется тождественно относительно x, y, z, то оно называется условием полной интегрируемости системы (3).

Пример: Решить систему нелинейных ДУ в частных производных первого порядка

Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru

Решение: Сначала проверим необходимые и достаточные условие совместимости.

Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru

Условие выполняется, поэтому данная система вполне интегрируема (оно имеет семейство решение, зависящей от одной произвольной постоянной).

Первое уравнение Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru , если в нем фиксировать у, есть линейное уравнение относительно z.

Интегрируя его, находим

Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru

где С(у) – произвольная непрерывно дифференцируемая функция от у, так как

Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru

Выберем С(у) так, чтобы функция Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru удовлетворяло и второму уравнению системы.

Дифференцируя z по у, получим Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru поэтому С(у) нужно определить из условия Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru . Откуда Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru .

Рассмотрим решение уравнения Пфаффа.

Определение: Уравнением Пфаффаназывается уравнение вида

Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru (7)

В этом уравнение все переменные x, y, z входят симметрично; и любую из них можно принять за искомую функцию.

Предположим, что коэффициент P, Q, R определены и непрерывны вместе с частными производными в окрестности начальной точки Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru и не обращается в этой точке одновременно в нуль.

Пусть Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru , тогда уравнение (7) можно переписать в следующем виде

Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru (8)

Найдем условие, при котором уравнение Пфаффа имеет семейство решений (интегральных поверхностей), зависящее от одной произвольной постоянной.

Так как на всякой интегральной поверхности z=z(x,y) должно выполнятся основное соотношение

Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru (9)

(аналогично Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru для случая обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка), то для интегральных поверхностей имеем

Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru (10)

Отсюда,

Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru (11)

Уравнение Пфаффа (7) равносильно системе (11). Следовательно сводится к нахождению условия полной интегрируемости системы (11).

Так как Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru

Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru - условие полной интегрируемости, то записывая условие полной интегрируемости, получим

Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru

Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru

Умножая обе части на R2 и соберем члены при P, Q, R:

Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru (*)

Для удобства запоминания можно записать в виде следующего равенства

Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru (**)

Если условие (**) выполняется тождественно, то оно называется условием полной интегрируемости уравнения Пфаффа.

Примеры.

1. Решить уравнение Пфаффа

Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru

Решение: Проверяем условие полной интегрируемости

Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru

Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru

Следовательно, уравнение допускает семейство, интегральных поверхностей, зависящее от одной произвольной постоянной.

Принимая z за искомую функцию, запишем исходное уравнение системой

Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru

Эта система имеет семейство решений (смотрите выше) Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru .

Метод Лагранжа – Шарни

Нахождение полного интеграла уравнения

Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru (1)

основано (по методу Лагранжа-Шарни) на нахождения другого уравнения Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru , где а – произвольная постоянная, чтобы полученная система уравнений

Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru (2)

была разрешена относительно Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru и Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru и чтобы в результате этого разрешения система

Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru (3)

была вполне интегрируема.

Условием полной интегрируемости для системы (3) является

Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru

То есть Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru

Затем решение выполняется известными методами.

Для нахождения функции Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru , введем для краткости обозначения

Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru

и из системы (3) приходим к уравнению

Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru

Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru (4)

Это однородное ДУ в частных производных.

Составляем характеристическое уравнение в симметрической форме

Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru (5)

Отсюда находят только один первый интеграл системы виды Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru , где а – произвольная постоянная.

На практике сразу составляют систему (5), найдя её первый интеграл составляют систему (2). Затем переходят к системе (3) и проинтегрируют последнюю.

Пример.

1. Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru

Решение:

Шаг 1:

Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru


Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru

Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru

Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru

Шаг 2:

Решая, находим Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru и переходим к системе

Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru

Разрешая относительно Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru и Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru получим

Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru

Эта система вполне интегрируема.

Решая её получим результат Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru , где a и b – произвольные постоянные.

Примеры:

1. Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru

2. Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru

3. Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru

4. Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru

5. Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru

6. Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru

7. Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru

8. Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru

9. Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. Линейные однородные дифференциальные уравнения в частных производных - student2.ru

Наши рекомендации