Метод множественной корреляции

Цель работы

Применение метода множественной корреляции.

Теоретические сведения

Если необходимо исследовать корреляционную связь между многими величинами, то пользуются уравнениями множественной регрессии:

Метод множественной корреляции - student2.ru . (1.28)

Здесь мы имеем дело уже не с линией регрессии, а с поверхностью регрессии при k=2и с гиперповерхностью при k>2. В общем случае, как указывалось выше, эту поверхность называют поверхностью отклика.

Исходный статистический материал представляют в виде табл. 1.2.

Таблица 1.2

№ опыта X1 X2 X3 ……… X Y
. . . N X11 X12 X13 . . . X1N X21 X22 X23 . . . X2N X31 X32 X33 . . . X3N   Xk1 Xk2 Xk3 . . . XkN Y1 Y2 Y3 . . . YN

Перейдем от натурального масштаба к новому, проведя нормировку всех значений случайных величин по формулам:

Метод множественной корреляции - student2.ru ; Метод множественной корреляции - student2.ru ; Метод множественной корреляции - student2.ru , (1.29)

где yi0, x1i0, x2i0 – нормированные значения соответствующих факторов,

Метод множественной корреляции - student2.ru - средние значения факторов,

sy, sx1, sx2 – среднеквадратичные отклонения.

Метод множественной корреляции - student2.ru ; Метод множественной корреляции - student2.ru ; Метод множественной корреляции - student2.ru .

В таблице 1.3 приведен исходный статистический материал в новом масштабе.

Таблица 1.3

№ опыта Метод множественной корреляции - student2.ru Метод множественной корреляции - student2.ru Метод множественной корреляции - student2.ru ………….. Метод множественной корреляции - student2.ru
. . . N X011 X012 X013 . . . X01N X021 X022 X023 . . . X02N X031 X032 X033 . . . X03N Y01 Y02 Y03 . . . Y0N

В новом масштабе имеем:

Метод множественной корреляции - student2.ru ; Метод множественной корреляции - student2.ru . (1.30)

Выборочный коэффициент корреляции при этом равен

Метод множественной корреляции - student2.ru Метод множественной корреляции - student2.ru Метод множественной корреляции - student2.ru

(1.31)

Уравнение регрессии между нормированными переменными не имеет свободного члена и принимает вид:

Метод множественной корреляции - student2.ru . (1.32)

Коэффициенты уравнения (1.32) находятся из условия:

Метод множественной корреляции - student2.ru .

Условия минимума функции S определяются так же, как в случае зависимости от одной переменной:

Метод множественной корреляции - student2.ru ; Метод множественной корреляции - student2.ruМетод множественной корреляции - student2.ru (1.33)

и система нормальных уравнений имеет вид:

Метод множественной корреляции - student2.ru . (1.34)

Умножим левую и правую части уравнений на Метод множественной корреляции - student2.ru . В результате при каждом коэффициенте Метод множественной корреляции - student2.ru получается, согласно (1.34), выборочный коэффициент корреляции r*. Принимая во внимание, Метод множественной корреляции - student2.ru получаем систему нормальных уравнений:

Метод множественной корреляции - student2.ru (1.35)

Следует иметь в виду, что Метод множественной корреляции - student2.ru . Коэффициенты корреляции легко вычисляются простым перемножением соответствующих столбцов таблицы 1.3.

Решив систему (1.35), рассчитывают коэффициент множественной корреляции R:

Метод множественной корреляции - student2.ru . (1.36)

Коэффициент множественной корреляции служит показателем силы связи в случае множественной регрессии: Метод множественной корреляции - student2.ru

В случае выборок небольшого объема в величину R необходимо внести коррекцию на систематическую ошибку. Чем меньше число степеней свободы выборки Метод множественной корреляции - student2.ru , тем сильнее преувеличивается сила связи, оцениваемая коэффициентом корреляции. Формула для коррекции:

Метод множественной корреляции - student2.ru , (1.37)

где R’ – скорректированное значение коэффициента множественной корреляции; l – число коэффициентов уравнения регрессии.

Для практического использования уравнения (1.32) необходимо перейти к натуральному масштабу по формулам:

Метод множественной корреляции - student2.ru Метод множественной корреляции - student2.ru . (1.38)

Задание

По итогам пассивного эксперимента получен следующий статистический материал (табл. 1.4).

Необходимо установить зависимости выходной величины от входных, используя метод множественной корреляции (данные – из таблицы 1.4 и приложения 2).

Таблица 1.4а

Состав питания, кг/ч Расход флегмы, кг/ч
Этан Пропан Изобутан Бутан Изопентан Пентан Гексан
163.5 3620.8 9654.5 14344.8 5660.7 6261.3 1950.6 18306.0
90.0 3361.4 6942.0 14195.4 4780.0 4790.6 3758.6 19451.0
117.0 7593.0 6557.0 12891.5 4455.5 3687.5 3955.5 22301.0
97.4 5883.5 4235.0 12328.5 5425.5 4202.0 6239.5 17876.0
59.0 2295.0 4142.5 8360.0 4217.5 4802.5 2637.5 11000.0
228.5 6592.5 8132.5 16640.0 4010.0 3392.5 3185.0 22400.0
75.5 3475.5 7815.0 15770.0 4395.0 5100.0 8695.0 17970.0

Таблица 1.4б

  Температура верха колонны, [oC] Температура сырья, [oC] Температура низа колонны, [oC] Расход сырья, [м3/час] Дистиллят, [м3/час]  
 
  Метод множественной корреляции - student2.ru Метод множественной корреляции - student2.ru Метод множественной корреляции - student2.ru Метод множественной корреляции - student2.ru Y  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  Метод множественной корреляции - student2.ru Метод множественной корреляции - student2.ru Метод множественной корреляции - student2.ru Метод множественной корреляции - student2.ru Y  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Таблица 1.4в

Температура нагреваемой нефти t вх пара, (0С) Температура пара t вх, (0С) Давление на входе в ТО рвх, (кгс/см2) Температура нефти на выходе tг, ( 0С)
  Метод множественной корреляции - student2.ru Метод множественной корреляции - student2.ru Метод множественной корреляции - student2.ru Метод множественной корреляции - student2.ru
7.9
7.9
7.7
8.5
8.5
8.0
  Метод множественной корреляции - student2.ru Метод множественной корреляции - student2.ru Метод множественной корреляции - student2.ru Метод множественной корреляции - student2.ru
8.0
8.0
8.0
5.6
5.6
8.0
8.0
8.0
5.1
Таблица 1.4г
  Метод множественной корреляции - student2.ru Метод множественной корреляции - student2.ru Метод множественной корреляции - student2.ru Расход флегмы Метод множественной корреляции - student2.ru Метод множественной корреляции - student2.ru Метод множественной корреляции - student2.ru
Метод множественной корреляции - student2.ru Метод множественной корреляции - student2.ru Метод множественной корреляции - student2.ru Метод множественной корреляции - student2.ru Метод множественной корреляции - student2.ru Метод множественной корреляции - student2.ru Метод множественной корреляции - student2.ru
7,8 0,5 9,5
7,7 9,4
7,8 0,3 9,8
7,8 9,4
7,8 0,2 9,6
7,8 0,2 9,5
7,8 0,2 9,5
7,8 0,2 9,7
0,2 10,1
0,1
  Метод множественной корреляции - student2.ru Метод множественной корреляции - student2.ru Метод множественной корреляции - student2.ru Метод множественной корреляции - student2.ru Метод множественной корреляции - student2.ru Метод множественной корреляции - student2.ru
8,1 0,1 9,9
7,8 0,1 9,6
7,9 0,4 9,4
7,6 0,5 9,3
7,3 0,5 9,2
7,6 0,2 9,2
7,6 0,8 9,7
7,9 0,6 9,8
0,5 9,5
0,4

Порядок выполнения работы

1. Ввод исходных данных.

2. Переход к новому масштабу.

3. Получение параметров уравнения регрессии по МНК.

4. Переход к натуральному масштабу.

5. Нахождение коэффициента множественной корреляции.

6. Оценка адекватности полученной зависимости.

7. Вывод результатов.

Пример

Исходные данные запишем в следующем виде:

Метод множественной корреляции - student2.ru

Найдем средние значения факторов:

Метод множественной корреляции - student2.ru Метод множественной корреляции - student2.ru

Метод множественной корреляции - student2.ru Метод множественной корреляции - student2.ru Метод множественной корреляции - student2.ru

Найдем среднеквадратичные отклонения:

Метод множественной корреляции - student2.ru Метод множественной корреляции - student2.ru

Метод множественной корреляции - student2.ru Метод множественной корреляции - student2.ru Метод множественной корреляции - student2.ru

Перейдем от натурального масштаба к новому, проведя нормировку всех случайных величин по формулам:

Метод множественной корреляции - student2.ru , Метод множественной корреляции - student2.ru , Метод множественной корреляции - student2.ru , Метод множественной корреляции - student2.ru , Метод множественной корреляции - student2.ru

В новом масштабе имеем:

Метод множественной корреляции - student2.ru

Выборочный коэффициент корреляции при этом равен:

Метод множественной корреляции - student2.ru

Метод множественной корреляции - student2.ru

Метод множественной корреляции - student2.ru

Метод множественной корреляции - student2.ru Влияние на выход оказывают Х2 и Х3, т.к. их выборочный коэффициент корреляции по абсолютному значению превышает 0,7.

Метод множественной корреляции - student2.ru

Найдем коэффициенты для нормированного уравнения регрессии:

Метод множественной корреляции - student2.ru

Метод множественной корреляции - student2.ru

Найдем коэффициент множественной корреляции R:

Метод множественной корреляции - student2.ru

Перейдем к натуральному масштабу по формулам:

Метод множественной корреляции - student2.ru

Уравнение множественной регрессии имеет вид:

Метод множественной корреляции - student2.ru

Лабораторная работа № 4

Методы планирования экспериментов

Цель работы

Изучение полного факторного эксперимента 2k.

Теоретические сведения

Оптимальный двухуровневый план (план 2k). В этом случае при планировании экспериментов условия опытов представляют собой фиксированное число значений уровней — для каждого фактора. Уровни факторов представляют собой в этом случае границы исследуемой области по данному технологическому параметру.

Пусть, например изучается влияние на выход продукта у трех факторов: температуры Т в диапазоне 100-200° С, давления Р=20-60 атм. и времени пребывания t=10-30 мин. Верхний уровень по температуре Метод множественной корреляции - student2.ru , нижний Метод множественной корреляции - student2.ru , Метод множественной корреляции - student2.ru , Метод множественной корреляции - student2.ru :

Метод множественной корреляции - student2.ru ;

Метод множественной корреляции - student2.ru .

Для любого фактора Метод множественной корреляции - student2.ru имеем:

Метод множественной корреляции - student2.ru ; Метод множественной корреляции - student2.ru (1.39)

Метод множественной корреляции - student2.ru . (1.40)

Точка с координатами ( Метод множественной корреляции - student2.ru ) носит название центра плана, иногда ее называют основным уровнем; Метод множественной корреляции - student2.ru — единица варьирования, или интервал варьирования по оси Метод множественной корреляции - student2.ru . От системы координат Метод множественной корреляции - student2.ru перейдем к новой безразмерной системе координат Метод множественной корреляции - student2.ru . Формула перехода (кодирования):

Метод множественной корреляции - student2.ru ; Метод множественной корреляции - student2.ru . (1.41)

В безразмерной системе координат верхний уровень равен +1, нижний равен -1, координаты центра плана равны нулю и совпадают с началом координат. В нашей задаче k = 3. Число возможных комбинаций N из трех факторов на двух уровнях равно N = 2k = 23 = 8. Запишем план проведения экспериментов (матрицу планирования) в виде следующей таблицы 1.5.

Значения выхода у, полученные в результате реализации плана экспериментов, приведены в последнем столбце таблицы.

Запишем кодированную матрицу планирования 23 и результаты эксперимента, введя столбец так называемой фиктивной переменной Метод множественной корреляции - student2.ru .

Приведенная в таблице 1.6 матрица планирования обладает следующими свойствами:

Метод множественной корреляции - student2.ru Метод множественной корреляции - student2.ru Метод множественной корреляции - student2.ru ; (1.42)

Метод множественной корреляции - student2.ru Метод множественной корреляции - student2.ru Метод множественной корреляции - student2.ru ;

Метод множественной корреляции - student2.ru Метод множественной корреляции - student2.ru , (1.43)

где k — число независимых факторов; N — число опытов в матрице планирования.

Первое свойство (уравнение 1.42) — равенство нулю скалярных произведений всех вектор-столбцов — называется свойством ортогональности матрицы планирования. Благодаря этому свойству резко уменьшаются трудности, связанные с расчетом коэффициентов уравнения регрессии, так как матрица коэффициентов нормальных уравнений (Х*Х) становятся диагональной и ее диагональные элементы равны числу опытов в матрице планирования N. Диагональные элементы обратной матрицы (Х*Х)-1.

Метод множественной корреляции - student2.ru .

Таблица 1.5

Матрица планирования 23

Значения факторов в натуральном масштабе Значения факторов в безразмерной системе координат Выход
№ опыта Z1 Z2 Z3 X1 X2 Х3 Y
-1 +1 -1 +1 -1 +1 +1 +1 -1 -1 +1 +1 -1 -1 +1 +1 -1 -1 -1 -1 +1 +1 +1 +1

Таблица 1.6

Матрица планирования с фиктивной переменной

N X0 X1 X2 X3 Y
+1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 -1 +1 +1 -1 -1 +1 +1 -1 -1 -1 -1 +1 +1 +1 +1 Y1 Y2 Y3 Y4 Y5 Y6 Y7 Y8

Таким образом,

Метод множественной корреляции - student2.ru . (1.44)

Следовательно, любой коэффициент уравнения регрессии bj определяется скалярным произведением столбца y на соответствующий столбец xj, деленным на число опытов в матрице планирования N:

Метод множественной корреляции - student2.ru . (1.45)

Пользуясь планом, представленным в таблице 1.5, сначала вычислим коэффициенты регрессии линейного уравнения:

Метод множественной корреляции - student2.ru . (1.46)

Например, для определения коэффициента b1 при х1 необходимо получить сумму произведений:

Метод множественной корреляции - student2.ru Метод множественной корреляции - student2.ru

Метод множественной корреляции - student2.ru

Метод множественной корреляции - student2.ru

Метод множественной корреляции - student2.ru

Аналогично получим:

b0 = 18,5 b2 = -0,5 b3 = +3,5

Если в рассмотрение ввести более полное уравнение регрессии с коэффициентами взаимодействия:

Метод множественной корреляции - student2.ru . (1.47)

то для определения коэффициентов b12, b13, b23 (эффектов двойного взаимодействия) и b123 (эффекта тройного взаимодействия) необходимо расширить матрицу (таблица 1.7) следующим образом:

Таблица 1.7

X0 X1 X2 X3 X12 X13 X23 X123 Y
+1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 -1 +1 +1 -1 -1 +1 +1 -1 -1 -1 -1 +1 +1 +1 +1 +1 -1 -1 +1 +1 -1 -1 +1 +1 -1 +1 -1 -1 +1 -1 +1 +1 +1 -1 -1 -1 -1 +1 +1 -1 +1 +2 -1 +1 -1 -1 +1

Эффекты взаимодействия определяются аналогично линейным эффектам.

Задание

Необходимо установить зависимости выходной величины от входных. Проверить адекватность и достоверность полученных результатов.

Для получения уравнения регрессии проведен полный факторный эксперимент (табл. 1.8).

Таблица 1.8

№ опы-та Количество изопентана, кг/ч Количество пентана, кг/ч Количество гексана, кг/ч Флегмовое число Тепловая нагрузка на кипятильник, кДж/ч
6477,0 6936,0 26,40 18,0 38476547,9
6477,0 6936,0 10185,0 21,0 44546006,0
6477,0 10151,0 2640,0 25,0 52670991,5
6477,0 10151,0 10185,0 27,0 56719158,0
9183,5 6936,0 2640,0 11,0 24296811,9
9183,5 6936,0 10185,0 13,0 26300916,3
9183,5 10151,0 2640,0 14,5 31399481,9
9183,5 10151,0 10185,0 15,5 33423869,8

Порядок выполнения работы

Данные табл. 1.8 представляют собой матрицу планирования 2k, необходимую для проведения ПФЭ.

1. Определение коэффициентов линейного уравнения регрессии. Требуется рассмотреть линейное уравнение множественной регрессии.

yˆ = b0+b1x1+b2x2+b3x3+b4x4

2. Определение коэффициентов уравнения регрессии с учетом эффектов двойного взаимодействия. Требуется рассмотреть уравнение с коэффициентами двойного взаимодействия:

yˆ = b0 + b1x1 + b2x2 + b3x3 + b4x4 + b12x1x2 + b13x1x3 + b14x1x2 +

+ b23x2x3 + +b24x2x4 + b34x3x4

3. Проверка адекватности уравнений.

4. Получение уравнения регрессии в натуральном масштабе.

5. Определение относительной погрешности уравнений регрессии.

С помощью выражений (1.41), (1.42) составляется кодированный план. Коэффициенты уравнений регрессии рассчитываются по формуле (1.45).

Т.к. отсутствуют параллельные опыты, то критерий Фишера определяется на основе выражения Метод множественной корреляции - student2.ru .

Если рассчитанное значение будет превышать табличное F (к12) [приложение 1], т. е.

Метод множественной корреляции - student2.ru , Метод множественной корреляции - student2.ru , Метод множественной корреляции - student2.ru ,

то рассматриваемое уравнение адекватно.

Пример приведен в теоретических сведениях.

Отчет

Отчет по лабораторным работам 1-4 темы 1 должен содержать:

1. Исходные данные.

2. Краткие сведения из теории.

3. Расчеты в программе Mathcad.

4. Полученные графики в программе Mathcad.

5. Выводы.

Приложение 1

Значения критерия Фишера (F-критерия) для уровня значимости p = 0.05

f2 f1
18.51 19.00 19.16 19.25 19.30 19.33 19.35 19.37 19.38 19.40 19.41 19.42 19.43 19.44
10.13 9.55 9.28 9.12 9.01 8.94 8.89 8.85 8.81 8.79 8.74 8.71 8.69 8.66
7.71 6.94 6.59 6.39 6.26 6.16 6.09 6.04 6.00 5.96 5.91 5.87 5.84 5.80
6.61 5.79 5.41 5.19 5.05 4.95 4.88 4.82 4.77 4.74 4.68 4.64 4.60 4.56
5.99 5.14 4.76 4.53 4.39 4.28 4.21 4.15 4.10 4.06 4.00 3.96 3.92 3.87
5.59 4.74 4.35 4.12 3.97 3.87 3.79 3.73 3.68 3.64 3.57 3.53 3.49 3.44
5.32 4.46 4.07 3.84 3.69 3.58 3.50 3.44 3.39 3.35 3.28 3.24 3.20 3.15
5.12 4.26 3.86 3.63 3.48 3.37 3.29 3.23 3.18 3.14 3.07 3.03 2.99 2.93
4.96 4.10 3.71 3.48 3.33 3.22 3.14 3.07 3.02 2.98 2.91 2.86 2.83 2.77
4.84 3.98 3.59 3.36 3.20 3.09 3.01 2.95 2.90 2.85 2.79 2.74 2.70 2.65
4.75 3.89 3.49 3.26 3.11 3.00 2.91 2.85 2.80 2.75 2.69 2.64 2.60 2.54
4.67 3.81 3.41 3.18 3.03 2.92 2.83 2.77 2.71 2.67 2.60 2.55 2.51 2.46
4.60 3.74 3.34 3.11 2.96 2.85 2.76 2.70 2.65 2.60 2.53 2.48 2.44 2.39
4.54 3.68 3.29 3.06 2.90 2.79 2.71 2.64 2.59 2.54 2.48 2.42 2.38 2.33
4.49 3.63 3.24 3.01 2.85 2.74 2.66 2.59 2.54 2.49 2.42 2.37 2.33 2.28
4.45 3.59 3.20 2.96 2.81 2.70 2.61 2.55 2.49 2.45 2.38 2.33 2.29 2.23
4.41 3.55 3.16 2.93 2.77 2.66 2.58 2.51 2.46 2.41 2.34 2.29 2.25 2.19
4.38 3.52 3.13 2.90 2.74 2.63 2.54 2.48 2.42 2.38 2.31 2.26 2.21 2.15
4.35 3.49 3.10 2.87 2.71 2.60 2.51 2.45 2.39 2.35 2.28 2.22 2.18 2.12
4.32 3.47 3.07 2.84 2.68 2.57 2.49 2.42 2.37 2.32 2.25 2.20 2.16 2.10
4.30 3.44 3.05 2.82 2.66 2.55 2.46 2.40 2.34 2.30 2.23 2.17 2.13 2.07
4.28 3.42 3.03 2.80 2.64 2.53 2.44 2.37 2.32 2.27 2.20 2.15 2.11 2.05
4.26 3.40 3.01 2.78 2.62 2.51 2.42 2.36 2.30 2.25 2.18 2.13 2.09 2.03
4.24 3.39 2.99 2.76 2.60 2.49 2.40 2.34 2.28 2.24 2.16 2.11 2.07 2.01

Значения критерия Фишера (F-критерия) для уровня значимости p = 0.01

f2 f1
98.50 99.00 99.17 99.25 99.30 99.33 99.36 99.37 99.39 99.40 99.42 99.43 99.44 99.45
34.12 30.82 29.46 28.71 28.24 27.91 27.67 27.49 27.34 27.23 27.05 26.92 26.83 26.69
21.20 18.00 16.69 15.98 15.52 15.21 14.98 14.80 14.66 14.55 14.37 14.25 14.15 14.02
16.26 13.27 12.06 11.39 10.97 10.67 10.46 10.29 10.16 10.05 9.89 9.77 9.68 9.55
13.74 10.92 9.78 9.15 8.75 8.47 8.26 8.10 7.98 7.87 7.72 7.60 7.52 7.39
12.25 9.55 8.45 7.85 7.46 7.19 7.00 6.84 6.72 7.62 6.47 6.36 6.27 6.16
11.26 8.65 7.59 7.01 6.63 6.37 6.18 6.03 5.91 5.81 5.67 5.56 5.48 5.36
10.56 8.02 6.99 6.42 6.06 5.80 5.61 5.47 5.35 5.26 5.11 5.00 4.92 4.81
10.04 7.56 6.55 5.99 5.64 5.39 5.20 5.06 4.94 4.85 4.71 4.60 4.52 4.41
9.65 7.21 6.22 5.67 5.32 5.07 4.89 4.74 4.68 4.54 4.40 4.29 4.21 4.10
9.33 6.93 5.95 5.41 5.06 4.82 4.64 4.50 4.39 4.30 4.22 4.05 3.97 3.86
9.07 6.70 5.74 5.21 4.86 4.62 4.44 4.30 4.19 4.10 3.96 3.86 3.78 3.66
8.86 6.51 5.56 5.04 4.70 4.46 4.28 4.14 4.03 3.94 3.80 3.70 3.62 3.51
8.68 6.36 5.42 4.89 4.56 4.32 4.14 4.00 3.89 3.80 3.67 3.56 3.49 3.37
8.53 6.23 5.29 4.77 4.44 4.20 4.03 3.89 3.78 3.69 3.55 3.45 3.37 3.26
8.40 6.11 5.18 4.67 4.34 4.10 3.93 3.79 3.68 3.59 3.46 3.35 3.27 3.16
8.29 6.01 5.09 4.58 4.05 4.01 3.84 3.71 3.60 3.51 3.37 3.27 3.19 3.08
8.18 5.93 5.01 4.50 4.17 3.94 3.77 3.63 3.52 3.43 3.30 3.19 3.12 3.00
8.10 5.85 4.94 4.43 4.10 3.87 3.70 3.56 3.46 3.37 3.23 3.13 3.05 2.94
8.02 5.78 4.87 4.37 4.04 3.81 3.64 3.51 3.40 3.31 3.17 3.07 2.99 2.88
7.95 5.72 4.82 4.81 3.99 3.76 3.59 3.45 3.35 3.26 3.12 3.02 2.94 2.83
7.88 5.66 4.76 4.26 3.94 3.71 3.54 3.41 3.30 3.21 3.07 2.97 2.89 2.78
7.82 5.61 4.72 4.22 3.90 3.67 3.50 3.36 3.26 3.17 3.03 2.93 2.85 2.74
7.77 5.57 4.68 4.18 3.86 3.63 3.46 3.32 3.22 3.13 2.99 2.89 2.81 2.70

Наши рекомендации