Дифференциальные уравнения.

1. Основные понятия и определения.

2. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям.

3. Дифференциальные уравнения первого порядка. Геометрическое истолкование дифференциального уравнения первого порядка. Пример.

4. Общее решение дифференциального уравнения 1-го порядка. Особые решения. Пример.

5. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными. Пример.

6. Дифференциальные уравнения первого порядка приводящиеся к дифференциальным уравнения с разделяющимися переменными с помощью линейной замены. Пример.

7. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка. Пример.

8. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Пример.

9. Уравнение Бернулли. Пример.

10. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах. Пример.

11. Интегрирующий множитель, позволяющий привести дифференциальное уравнение первого порядка к уравнению в полных дифференциалах. Пример.

12. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения дифференциального уравнения первого порядка.

13. Особые решения. Примеры.

14. Интегрирование с помощью дифференцирования. Примеры.

15. Дифференциальные уравнения высших порядков. Теорема существования и единственности решения (без доказательства).

16. Уравнения высших порядков, не содержащие неизвестной функции и допускающие понижение порядка с помощью соответствующей замены. Примеры.

17. Уравнения высших порядков, не содержащие явно независимой переменной и допускающие понижение порядка с помощью соответствующей замены. Примеры.

18. Уравнения высших порядков, однородные относительно неизвестной функции и ее производных, и допускающие понижение порядка с помощью соответствующей замены. Примеры.

19. Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка.

20. Простейшее свойство решений линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка.

21. Определитель Вронского 2-го порядка и его свойства.

22. Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка. Фундаментальная система решений. Пример.

23. Решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка, если известно его частное решение. Пример.

24. Общая структура решения линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка.

25. Метод вариации произвольных постоянных для случая n=2. Примеры.

26. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Вид частного решения.

27. Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

28. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Теорема о сумме частных решений.

29. Общее правило для нахождения частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и "специальной" правой частью.

30. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка. Общее свойство решений линейных однородных дифференциальных уравнений n-го порядка.

31. Определитель Вронского n-го порядка и его свойства.

32. Фундаментальная система решений. Теорема о структуре общего решения линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка.

33. Метод вариации произвольных постоянных для случая n>2. Примеры.

34. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами.

35. Интегрирование дифференциальных уравнений при помощи рядов. Задача интегрирования линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка. Примеры.

36. Понятие о краевых задачах. Функция Грина. Примеры.

37. Пример задачи, из которой возникает система дифференциальных уравнений.

38. Нормальные системы дифференциальных уравнений (определения).

39. Механическая иллюстрация нормальной системы дифференциальных уравнений.

40. Задача Коши для нормальной системы дифференциальных уравнений.

41. Достаточные условия существования решения нормальной системы дифференциальных уравнений. Условия единственности решения.

42. Общее и частное решения нормальной системы дифференциальных уравнений. Примеры.

43. Интегралы нормальной системы дифференциальных уравнений. Примеры.

44. Понижение порядка нормальной системы дифференциальных уравнений с помощью первых интегралов. Примеры.

45. Сведение нормальной системы дифференциальных уравнений к дифференциальному уравнению n-го порядка. Примеры.

46. Системы дифференциальных уравнений в симметрической форме. Примеры.

47. Общие методы интегрирования нормальных системы дифференциальных уравнений. Примеры.

48. Линейные системы дифференциальных уравнений. Матричная запись линейных систем дифференциальных уравнений.

49. Однородные линейные системы дифференциальных уравнений и свойства их решений.

50. Неоднородные линейные системы дифференциальных уравнений. Общее решение неоднородной линейной системы дифференциальных уравнений.

51. Метод вариации произвольных постоянных для решения неоднородной линейной системы дифференциальных уравнений.

52. Однородные линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Различные случаи корней характеристического уравнения. Примеры.