Образовательные технологии. Сочетание традиционных образовательных технологий в форме лекций и практических занятий с активными и интерактивными формами проведения занятий в виде

Сочетание традиционных образовательных технологий в форме лекций и практических занятий с активными и интерактивными формами проведения занятий в виде проблемных лекций с использованием мультимедийной техники, компьютерных тренингов, деловых игр, опережающих и индивидуальных домашних заданий.

В течение семестра студенты к каждому практическому занятию решают задачи, указанные преподавателем. В каждом семестре предусматривается проведение двух контрольных работ. Кроме того, в течение семестра студенты выполняют ряд индивидуальных домашних заданий по предложенной тематике. Теоретические знания проверяются в течение семестра на коллоквиумах, которые проводятся как в форме собеседования по вопросам (индивидуального или группового), так и компьютерного тестирования.

Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоении дисциплины.

Тесты, коллоквиумы, контрольные работы оцениваются по пятибальной системе. На практических занятиях контроль осуществляется при ответе у доски и при проверке выполнения домашних заданий.

Содержание и объем материала, подлежащего проверке на экзамене, определяется программой дисциплины. При проверке усвоения этого материала производится выявление полноты, прочности усвоения студентами теории и умения применять ее на практике в знакомых и незнакомых ситуациях.

Экзаменационный билет состоит из теоретических вопросов и задачи.

Оценка «отлично» выставляется, когда студент показывает глубокое и всестороннее знание предмета, обязательной и дополнительной литературы; аргументировано и логически стройно излагает материал, пользуясь математической символикой; может применять знания для анализа конкретных ситуаций, свободно ориентируется в межпредметных связях.

Оценка «хорошо» ставится при твердых знаниях предмета, обязательной литературы, знакомстве с дополнительной литературой, аргументированном изложении материала, умении применять знания для анализа конкретных ситуаций, профессиональных проблем. Студент незначительно нарушает последовательность изложения материала, дает недостаточно полное, хотя и верное определение понятий.

Оценка «удовлетворительно» ставится, когда студент в основном знает предмет, обязательную литературу, может практически применять свои знания, но программный материал излагает фрагментно и непоследовательно, допускает отдельные ошибки и погрешности при доказательстве теорем и решении задач, применении математической символики и понятий, слабо ориентируется в межпредметных связях.

Оценка «неудовлетворительно» ставится, когда студент не усвоил основного содержания предмета и слабо знает рекомендованную литературу, обнаруживает незнание в большей части учебного материала, допускает грубые ошибки при формулировании и доказательстве теорем, в определении понятий, неправильно использует математическую символику.

Вопросы к экзамену (1 семестр)

1. Под­мно­же­ст­ва ко­неч­но­го мно­же­ст­ва. Раз­ме­ще­ния и фор­му­ла их чис­ла. Пе­ре­ста­нов­ки эле­мен­тов мно­же­ст­ва, их чис­ло.

2. Со­че­та­ния и фор­му­ла их чис­ла. Фор­му­ла раз­ло­же­ния би­но­ма. Чис­ло под­мно­жеств ко­неч­но­го мно­же­ст­ва.

3. Чет­ные и не­чет­ные пе­ре­ста­нов­ки мно­же­ст­ва чи­сел. Из­ме­не­ние чет­но­сти пе­ре­ста­но­вок при транс­по­зи­ции. Чис­ло чет­ных и не­чет­ных пе­ре­ста­но­вок. Функ­ция чет­но­сти.

4. Внут­рен­ние би­нар­ные опе­ра­ции на мно­же­ст­ве и их свой­ст­ва

5. Оп­ре­де­ле­ние и про­стей­шие свой­ст­ва по­лу­групп и групп

6. Оп­ре­де­ле­ние и про­стей­шие свой­ст­ва коль­ца. При­ме­ры.

7. Оп­ре­де­ле­ние по­ля. По­ле ра­цио­наль­ных чи­сел, по­ле дей­ст­ви­тель­ных чи­сел, по­ле из двух эле­мен­тов.

8. Мат­ри­цы над коль­цом, раз­лич­ные фор­мы за­пи­си. Сло­же­ние мат­риц, ум­но­же­ние на эле­мент коль­ца. Ум­но­же­ние мат­риц.

9. Коль­цо квад­рат­ных мат­риц.

10. Оп­ре­де­ли­тель мат­ри­цы над ком­му­та­тив­ным коль­цом.

11. Свойства оп­ре­де­ли­теля.

12. Ми­но­ры мат­ри­цы. Тео­ре­ма Ла­п­ла­са, след­ст­вия.

13. Оп­ре­де­ле­ние об­рат­ной мат­ри­цы для мат­ри­цы над коль­цом с еди­ни­цей. Кри­те­рий об­ра­ти­мо­сти мат­ри­цы над ком­му­та­тив­ным коль­цом с еди­ни­цей.

14. Эле­мен­тар­ные пре­об­ра­зо­ва­ния мат­риц над коль­цом с еди­ни­цей. Эле­мен­тар­ные мат­ри­цы. Эк­ви­ва­лент­ные мат­ри­цы.

15. Ранг мат­ри­цы. Строч­ная эк­ви­ва­лент­ность мат­ри­цы над по­лем сту­пен­ча­той мат­ри­це. Эк­ви­ва­лент­ность мат­ри­цы ка­но­ни­че­ской мат­ри­це. Един­ст­вен­ность ка­но­ни­че­ской мат­ри­цы.

16. Свой­ст­ва ран­га мат­ри­цы: ранг об­ра­ти­мой мат­ри­цы, ранг транс­по­ни­ро­ван­ной мат­ри­цы, ранг про­из­ве­де­ния мат­риц.

17. Ли­ней­ная за­ви­си­мость и не­за­ви­си­мость сис­тем век­то­ров над по­лем. Кри­те­рии ли­ней­ной не­за­ви­си­мо­сти и ли­ней­ной за­ви­си­мо­сти.

18. Ба­зис и ранг сис­те­мы век­то­ров. Сов­па­де­ние ран­га сис­те­мы век­то­ров с ран­гом со­став­лен­ной из них мат­ри­цы.

Вопросы к экзамену (2 семестр)

1. Сис­те­мы линейных урав­не­ний (ос­нов­ные по­ня­тия).

2. Кри­те­рии со­вме­ст­но­сти сис­те­мы линейных урав­не­ний, кри­те­рии един­ст­вен­но­сти ре­ше­ния со­вме­ст­ной сис­те­мы урав­не­ний.

3. Элементарные преобразования сис­те­мы линейных урав­не­ний. Равносильность сис­те­м линейных урав­не­ний.

4. Метод последовательного исключения неизвестных.

5. Пра­ви­ло Кра­ме­ра.

6. Од­но­род­ные сис­те­мы ли­ней­ных урав­не­ний и свойства их решений.

7. Фун­да­мен­таль­ная сис­те­ма ре­ше­ний и ее свой­ст­ва.

8. Связь ме­ж­ду ре­ше­ния­ми ас­со­ции­ро­ван­ных сис­тем урав­не­ний.

9. Кри­те­рий то­го, что­бы со­вме­ст­ная сис­те­ма ли­ней­ных урав­не­ний над по­лем дей­ст­ви­тель­ных чи­сел име­ла не­от­ри­ца­тель­ное ре­ше­ние.

10. Све­де­ние сис­те­мы ли­ней­ных не­ра­венств к сис­те­ме ли­ней­ных урав­не­ний. След­ст­вие из сис­те­мы ли­ней­ных не­ра­венств.

11. Тео­ре­ма Мин­ков­ско­го. Кри­те­рий со­вме­ст­но­сти сис­те­мы ли­ней­ных не­ра­венств.

12. Отношение делимости в кольце целых чисел, его свойства.

13. Деление с остатком.

14. НОД чисел. НОК чисел. Их вычисление.

15. Простые числа и их свойства. Основная теорема арифметики.

16. Построение поля комплексных чисел.

17. Алгебраическая форма комплексного числа. Действия над комплексными числами в алгебраической форме.

18. Геометрическое представление комплексных чисел и действий над ними.

19. Тригонометрическая форма записи комплексных чисел.

20. Действия над комплексными числами в тригонометрической форме

21. Формула Муавра.

22. Извлечение корня n степени из комплексного числа. Корни n- степени из единицы

23. Мультипликативная группа корней n- степени из единицы.

24. Отношение сравнимости целых чисел по модулю данного натурального числа и его свойства.

25. Классы вычетов и операции над ними. Кольцо классов вычетов, его свойства.

26. Функция Эйлера. Теоремы Эйлера и Ферма.

27. Обратимые элементы кольца классов вычетов. Критерий того, что кольцо классов вычетов является полем.

28. Сравнения первой степени с одним неизвестным.

29. Кольцо многочленов от одной переменной над кольцом с единицей.

30. Кольцо многочленов над полем. Отношение делимости многочленов и его свойства. Деление многочленов с остатком.

31. Значение и корень многочлена. Теорема Безу и следствия из нее. Схема Горнера.

32. НОД многочленов и алгоритм Евклида для его вычисления. Свойства НОД. Взаимно простые многочлены и их свойства.

33. Производная многочлена. Кратность корня многочлена. Ее связь со значениями производных.

34. Неприводимые многочлены над полем и их свойства. Каноническое разложение многочлена. Кратные неприводимые множители многочлена.

35. Многочлены над полем комплексных чисел.

36. Многочлены над полем действительных чисел.

37. Многочлены над полем рациональных чисел. Отыскание рациональных корней многочлена с целыми коэффициентами.

Вопросы к экзамену (3 семестр)

1. Оп­ре­де­ле­ние груп­пои­да, при­ме­ры. Го­мо­мор­физм и изо­мор­физм груп­пои­дов. Кон­гру­эн­ция. Фак­тор­груп­по­ид. Тео­ре­ма об эпи­мор­физ­ме.

2. Оп­ре­де­ле­ние и при­ме­ры групп: це­лые чис­ла, ад­ди­тив­ная груп­па коль­ца, муль­ти­п­ли­ка­тив­ная груп­па коль­ца с еди­ни­цей, груп­па кор­ней из еди­ни­цы, груп­па об­ра­ти­мых мат­риц. Груп­па би­ек­ций. Эк­ви­ва­лент­ные оп­ре­де­ле­ния груп­пы.

3. Груп­па под­ста­но­вок. Тео­ре­ма Кэ­ли, след­ст­вия. Раз­ло­же­ние под­ста­нов­ки в про­из­ве­де­ние цик­лов и транс­по­зи­ций. Чет­ные и не­чет­ные под­ста­нов­ки.

4. По­ня­тие и при­ме­ры под­групп. Кри­те­рий то­го, что­бы под­мно­же­ст­во груп­пы бы­ло под­груп­пой, слу­чай ко­неч­ной груп­пы. Под­груп­па чет­ных под­ста­но­вок.

5. Пе­ре­се­че­ние под­групп. Про­из­ве­де­ние (сум­ма) под­групп. Пря­мая сум­ма под­групп абе­ле­вой груп­пы.

6. Под­груп­па, по­ро­ж­ден­ная под­мно­же­ст­вом. Сис­те­мы об­ра­зую­щих груп­пы под­ста­но­вок и груп­пы чет­ных под­ста­но­вок. По­ня­тие цик­ли­че­ской груп­пы

7. По­ря­док эле­мен­та груп­пы. По­ря­док под­ста­нов­ки. Экс­по­нен­та груп­пы.

8. Раз­ло­же­ние груп­пы в смеж­ные клас­сы. Тео­ре­ма Ла­гран­жа.

9. Раз­ло­же­ние груп­пы в клас­сы со­пря­жен­ных эле­мен­тов. Нор­ма­ли­за­тор под­мно­же­ст­ва и центр груп­пы. Кри­те­рий со­пря­жен­но­сти под­ста­но­вок. Урав­не­ние Ко­ши.

10. Кон­гру­эн­ции на груп­пе и нор­маль­ные де­ли­те­ли. Свой­ст­ва нор­маль­ных де­ли­те­лей.

11. Фак­тор­груп­пы. Тео­ре­ма об эпи­мор­физ­ме.

12. Ор­би­ты и ста­би­ли­за­то­ры эле­мен­та от­но­си­тель­но груп­пы под­ста­но­вок.

13. Тран­зи­тив­ные и крат­но тран­зи­тив­ные груп­пы. Лем­ма Берн­сай­да. Ли­ней­ные и аф­фин­ные груп­пы над ко­неч­ны­ми по­ля­ми.

14. При­ми­тив­ные и им­при­ми­тив­ные груп­пы. Кри­те­рий при­ми­тив­но­сти. Не­ко­то­рые ус­ло­вия сов­па­де­ния груп­пы под­ста­но­вок с сим­мет­ри­че­ской груп­пой.

15. Опи­са­ние цик­ли­че­ских групп и их под­групп. Сум­ма и пе­ре­се­че­ние под­групп цик­ли­че­ской груп­пы. Раз­ло­же­ние ко­неч­ной цик­ли­че­ской груп­пы в пря­мую сум­му при­мар­ных цик­ли­че­ских под­групп. Кри­те­рий цик­лич­но­сти абе­ле­вой груп­пы.

16. Тео­ре­ма о строе­нии ко­неч­ной абе­ле­вой груп­пы. Тип ко­неч­ной абе­ле­вой груп­пы и ее под­груп­пы.

17. По­ня­тие и при­ме­ры век­тор­ных про­странств. Ос­нов­ные то­ж­де­ст­ва.

18. Ли­ней­но за­ви­си­мые и не­за­ви­си­мые сис­те­мы век­то­ров. Ли­ней­ная вы­ра­жае­мость сис­тем век­то­ров.

19. Эк­ви­ва­лент­ные сис­те­мы век­то­ров. Ба­зис и ранг сис­те­мы век­то­ров.

20. Ко­неч­но­мер­ные век­тор­ные про­стран­ст­ва, ос­нов­ные свой­ст­ва, ба­зис и раз­мер­ность.

21. Ко­ор­ди­на­ты век­то­ра. Фор­му­ла пре­об­ра­зо­ва­ния ко­ор­ди­нат.

22. Изо­мор­физм про­странств оди­на­ко­вой раз­мер­но­сти над од­ним по­лем.

23. По­ня­тие и при­ме­ры под­про­странств. Кри­те­рий то­го, что­бы под­мно­же­ст­во про­стран­ст­ва бы­ло под­про­стран­ст­вом.

24. Под­про­стран­ст­во, по­ро­ж­ден­ное под­мно­же­ст­вом.

25. Раз­мер­ность и ба­зис под­про­стран­ст­ва ко­неч­но­мер­но­го про­стран­ст­ва. Со­от­но­ше­ние ме­ж­ду раз­мер­но­стя­ми сум­мы и пе­ре­се­че­ния под­про­странств. Чис­ло под­про­странств в ко­неч­ном про­стран­ст­ве.

26. Опе­ра­ции над под­про­стран­ст­ва­ми. Со­от­но­ше­ние ме­ж­ду раз­мер­но­стя­ми сум­мы и пе­ре­се­че­ния под­про­странств.

Вопросы к экзамену (4 семестр)

1. Ли­ней­ные ото­бра­же­ния и пре­об­ра­зо­ва­ния век­тор­ных про­странств.

2. Ли­ней­ные пре­об­ра­зо­ва­ния ко­неч­но­мер­ных про­странств. Мат­ри­ца ли­ней­но­го пре­об­ра­зо­ва­ния.

3. Коль­цо и век­тор­ное про­стран­ст­во ли­ней­ных пре­об­ра­зо­ва­ний. Об­ра­ти­мые пре­об­ра­зо­ва­ния. Чис­ло об­ра­ти­мых пре­об­ра­зо­ва­ний ко­неч­но­го про­стран­ст­ва.

4. Соб­ст­вен­ные век­то­ры и соб­ст­вен­ные зна­че­ния ли­ней­но­го пре­об­ра­зо­ва­ния. Ха­рак­те­ри­сти­че­ская мат­ри­ца и ха­рак­те­ри­сти­че­ский мно­го­член мат­ри­цы и пре­об­ра­зо­ва­ния. Оты­ска­ние соб­ст­вен­ных век­то­ров пре­об­ра­зо­ва­ния. Кри­те­рий по­до­бия мат­ри­цы над по­лем диа­го­наль­ной мат­ри­це.

5. Под­про­стран­ст­во, ин­ва­ри­ант­ное от­но­си­тель­но пре­об­ра­зо­ва­ния. Ог­ра­ни­че­ние пре­об­ра­зо­ва­ния на ин­ва­ри­ант­ном под­про­стран­ст­ве.

6. Мно­го­чле­ны, ан­ну­ли­рую­щие пре­об­ра­зо­ва­ние. Тео­ре­ма Га­миль­то­на-Кэ­ли. Раз­ло­же­ние про­стран­ст­ва в пря­мую сум­му ин­ва­ри­ант­ных под­про­странств с по­мо­щью ан­ну­ли­рую­ще­го мно­го­чле­на.

7. Кор­не­вые под­про­стран­ст­ва.

8. Ми­ни­маль­ный мно­го­член мат­ри­цы и пре­об­ра­зо­ва­ния. Ми­ни­маль­ный мно­го­член век­то­ра.

9. Мат­ри­цы над коль­цом мно­го­чле­нов, эле­мен­тар­ные пре­об­ра­зо­ва­ния. Ка­но­ни­че­ская фор­ма мат­ри­цы и ее един­ст­вен­ность. Ин­ва­ри­ант­ные де­ли­те­ли и мно­жи­те­ли.

10. Кри­те­рий по­до­бия мат­риц над по­лем.

11. Жор­да­но­вы мат­ри­цы, их свой­ст­ва. Кри­те­рий по­до­бия мат­ри­цы жор­да­но­вой мат­ри­це. Един­ст­вен­ность жор­да­но­вой фор­мы мат­ри­цы.

12. Ска­ляр­ное про­из­ве­де­ние и евк­ли­до­во про­стран­ст­во. Мат­ри­ца Гра­ма.

13. Про­цесс ор­то­го­на­ли­за­ции.

14. Уни­тар­ное про­стран­ст­во.

15. Изо­мет­рия евк­ли­до­вых и уни­тар­ных про­странств оди­на­ко­вой раз­мер­но­сти.

16. Гео­мет­рия евк­ли­до­вых и уни­тар­ных про­странств.

17. Пре­об­ра­зо­ва­ние, со­пря­жен­ное к дан­но­му пре­об­ра­зо­ва­нию, его свой­ст­ва. Нор­маль­ные пре­об­ра­зо­ва­ния и их свой­ст­ва. Нор­маль­ная мат­ри­ца.

18. Са­мо­со­пря­жен­ные пре­об­ра­зо­ва­ния: вид мат­ри­цы, оп­ре­де­ляю­щие свой­ст­ва.

19. Ор­то­го­наль­ные (уни­тар­ные) пре­об­ра­зо­ва­ния: вид мат­ри­цы, оп­ре­де­ляю­щие свой­ст­ва. Мат­ри­ца пе­ре­хо­да от од­но­го ор­то­нор­ми­ро­ван­но­го ба­зи­са к дру­го­му.

20. Гео­мет­ри­че­ские свой­ст­ва ор­то­го­наль­ных пре­об­ра­зо­ва­ний, ор­то­го­наль­ная груп­па. Кри­те­рий су­ще­ст­во­ва­ния ор­то­го­наль­но­го пре­об­ра­зо­ва­ния, пе­ре­во­дя­ще­го од­ну сис­те­му век­то­ров в дру­гую.

21. Квад­ра­тич­ная фор­ма и ее мат­ри­ца. Эк­ви­ва­лент­ные квад­ра­тич­ные фор­мы. Ка­но­ни­че­ский вид квад­ра­тич­ной фор­мы.

22. Нор­маль­ные ви­ды квад­ра­тич­ной фор­мы над по­ля­ми ком­плекс­ных и дей­ст­ви­тель­ных чи­сел. За­кон инер­ции Силь­ве­ст­ра.

23. Кри­те­рии эк­ви­ва­лент­но­сти квад­ра­тич­ных форм над по­ля­ми ком­плекс­ных и дей­ст­ви­тель­ных чи­сел.

24. По­ло­жи­тель­но и от­ри­ца­тель­но оп­ре­де­лен­ные квад­ра­тич­ные фор­мы над по­лем дей­ст­ви­тель­ных чи­сел. Кри­те­рий Силь­ве­ст­ра.

25. Ор­то­го­наль­ная эк­ви­ва­лент­ность квад­ра­тич­ных форм.

7. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины «Алгебра»

а) основная литература:

1. Глу­хов М.М., Ели­за­ров В.П., Не­ча­ев А.А. Ал­геб­ра. т. 1, 2.- М.: Ге­ли­ос АРВ, 2007 г. (Учеб­ник с гри­фом Ми­ноб­ра­зо­ва­ния)

2. Ко­ст­ри­кин А.И. Вве­де­ние в ал­геб­ру, ч.1-3. — М.: Физ­мат­лит, 2002.

3. Фад­де­ев Д.К., Со­мин­ский И.С. За­да­чи по выс­шей ал­геб­ре. — М.: Изд. РХД, 2004

4. Сбор­ник за­дач по ал­геб­ре. Под ред. А.И. Ко­ст­ри­ки­на — М.: Физ­мат­лит, 2007.

б) дополнительная литература:

1. Бухштаб А.А. Теория чисел. СПб.: Лань, 2008.

2. Вин­берг Э.Б. Курс ал­геб­ры, изд. 3. – М.: Фак­то­ри­ал, 2002.

3. Ку­рош А.Г. Курс выс­шей ал­геб­ры. СПб.: Лань, 2008.

4. Ку­рош А.Г. Теория групп. СПб.: Лань, 2005.

5. Фад­де­ев Д.К. Лек­ции по ал­геб­ре. СПб.: Лань, 2007.

в) программное обеспечение и Интернет-ресурсы

http://mech.math.msu.su/department/algebra

8. Материально-техническое обеспечение дисциплины «Алгебра»учебные аудитории для проведения лекционных и семинарских занятий.

Программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВПО с учетом рекомендаций учебно-методического объединения вузов по образованию в области информационной безопасности по направлению подготовки (специальности) 090301 «Компьютерная безопасность»

Автор: доц. Семенова Н.Ф.

Рецензент (ы)_________________

Программа одобрена на заседании кафедры Высшей алгебры и геометрии

(протокол № 7 от «14» апреля 2011 г.)

Заведующий кафедрой

Высшей алгебры и геометрии Л.Б. Копыткова