Изменение порядка интегрирования в двойном интеграле 5 страница

Ответ: 1) 2) 3) 4)

41. С помощью тройного интеграла найти обьем тела, ограниченного поверхностями ,

Ответ: 1) 2) 3) 4)

42. С помощью тройного интеграла найти обьем тела, ограниченного поверхностями , , ,

Ответ: 1) 2) 4 3) 2 4) 16

43. С помощью тройного интеграла найти обьем тела, ограниченного поверхностями , , ,

Ответ: 1) 2) 3) 4)

44. С помощью тройного интеграла найти обьем тела, ограниченного поверхностями , , ,

Ответ: 1) 2) 3) 4)

45. Задание: Найти массу пластинки D c плотностью .

D: , , , , ( ).

Ответы:1) 2) 3) 4)

46. Задание: Найти массу пластинки D c плотностью .

D: , , , , ( ).

Ответы:1) 2) 3) 4)

47. Задание: Найти массу пластинки D c плотностью .

D: , , , , ( ).

Ответы:1)18,5 2) 5,5 3)9,5 4)9

48. Задание: Найти массу пластинки D c плотностью .

D: , , , , ( ).

Ответы: 1)3 2)6 3) 9 4) 0

49. Задание: Найти массу пластинки D c плотностью .

D: , , , , ( ).

Ответы:1) 16 2) 3) 32 4)

50. D: , , , , ( ).

Ответы:1)2 2) 4 3) 6 4) 8

51. Задание: Найти массу пластинки D c плотностью .

D: , , , , ( ).

Ответы: 1)8 2) 2 3)4 4)1

52. Задание: Найти массу пластинки D c плотностью .

D: , , , , ( ).

Ответы: 1)9,5 2)5,5 3) 9 4) 18,5

53. Задание: Найти моменты инерции относительно координатных плоскостей однородного тела Т с плотностью р = 1, ограниченного поверхностями: , , , ( ).

Ответы:1) 2) 3)

4)

54. Задание: Найти моменты инерции относительно координатных плоскостей однородного тела Т с плотностью р = 1, ограниченного поверхностями: , , .

Ответы: 1) 2) 3) 4)

55. Задание: Найти моменты инерции относительно координатных плоскостей однородного тела Т с плотностью р = 1, ограниченного поверхностями:

Ответы: 1) 2) 3) 4)

56. Задание: Найти моменты инерции относительно координатных плоскостей однородного тела Т с плотностью р = 1, ограниченного поверхностями: , , .

Ответы:1) 2) 3) 4)

57. Задание: Найти моменты инерции относительно координатных плоскостей однородного тела Т с плотностью р = 1, ограниченного поверхностями: , .

Ответы:1) 2) 3) 4)

58. Задание: Найти моменты инерции относительно координатных плоскостей однородного тела Т с плотностью р = 1, ограниченного поверхностями: , .

Ответы:1) 2) 3) 4)

59. Задание: Найти массу тела Т с плотностью , ограниченного указанными поверхностями , , , , ,( , ); .

Ответы:1)2 2)4 3)3 4)1

60. Задание: Найти массу тела Т с плотностью , ограниченного указанными поверхностями , , , ,( , , ); .

Ответы:1) 2) 3) 4) 0

61. Задание: Найти массу тела Т с плотностью , ограниченного указанными поверхностями , , , ,( , ); .

Ответы:1) 2) 3) 4)

62. Задание: Найти массу тела Т с плотностью , ограниченного указанными поверхностями , , , , ,( , ); .

Ответы: 1) 2) 3) 04)

63. Задание: Найти массу тела Т с плотностью , ограниченного указанными поверхностями , , , ,( , , ); .

Ответы:1) 2) 3) 4)

64. Задание: Найти массу тела Т с плотностью , ограниченного указанными поверхностями , , , , ,( , , ); .

Ответы: 1) 2) 3) 4)

Ответы к тестам:

Номер задания
Номер ответа

3. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Рассмотрим ещё одно важное обобщённое понятие определённого интеграла на функции нескольких переменных – понятие криволинейнолго интеграла .

К этому понятию приводят ряд задач из различных областей знаний .

Интегралы , рассмотриваемые нами до сих пор , имели своими областями интегрирования либо 1) отрезки на прямой , либо 2) некоторые области в плоскости , или 3) в трёхмерном пространстве .

Сейчас нам предстоит рассмотреть случай , когда областью интегрирования является линия , расположенная в плоскости .

Рассмотрение криволинейных интегралов значительно расширяет возможности приложения математического анализа к решению задач из механики , физики и техники .

Особенно большое значение криволинейные интегралы имеют в теории поля и в теории функций комплексных переменных .

При изучении данных интегралов нужно особое внимание обратить на конструкцию тех интегральных сумм , которые лежат в основе определения криволинейных интегралов , и на свойствах последних .

Важное место занимают также теоремы , связанные с вопросом о независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования .

Различают 2 типа криволинейных интегралов . Начнём с рассмотрения криволинейного интеграла , который строится по аналогии с обыкновенным определённым интегралом .

3.1. Криволинейные интегралы первого рода (криволинейные интегралы по длине дуги)

Решение некоторых физических задач , как , например , задачи о вычислении массы материальной линии , координат её центра тяжести и другие , приводит к необходимости введения криволинейного интеграла по длине дуги .

Рассмотрим следующую механическую задачу.

Задача 3.1.1 (задача о нахождении массы материальной линии)

Найти массу материальной дуги АВ , если линейная плотность её задана как некоторая непрерывная функция d = d(х,у) от координат х и у точки дуги АВ .

(Линия АВ может быть электрическим проводом или цепью , или канатом, где обычно пренебрегают толщиной тела по сравнению с его длиной ).

Разобьём дугу АВ произвольным образом на n частей с помощью точек деления М1 , М2 , . . . , Мn-1 , которые пронумерованы в направлении от А к В.

Длину дуги Мк-1Мк ( М0 º А , Мn º B) обозначим через Dlk ( k = 1,2, . . , n) :

È

Мк-1Мк = Dlk .

На каждой частичной дуге Мк-1Мк возьмём произвольно по точке Nk (xk ; hk) и во взятых точках вычислим плотность распределения массы :

d = d(xk ; hk ).

Если предположить , что плотность во всех точках частичной дуги Мк-1Мк постоянна и равна её значению d(xk ; hk ) в точке Nk , то величина массы частичной дуги Мк-1Мк будет

Так как масса всей дуги АВ равна сумме масс её частичных дуг Мк-1Мк , то она выразится суммой

(3.1)

Поскольку в действительности плотность распределения массы на каждой частичной дуге , вообще говоря , не постоянна , то сумма (3.1) не может быть принята за массу дуги АВ .

Однако ,если частичные дуги весьма малы , то в силу непрерывности функции d(х,у) значение плотности в различных точках какой-либо из этих дуг будет весьма мало отличаться от её значения в произвольно взятой точке (xk ; hk) этой дуги и масса (3.1) будет имитировать искомую массу дуги , причём тем лучше , чем меньше длина частичных дуг .

Станем теперь неограниченно увеличивать число n делений дуги АВ и притом так , чтобы длины всех частичных дуг Мк-1Мк стремились к нулю .

Если при этом сумма (3.1) будет стремиться к определённому пределу m , не зависящему от способа разбиения дуги АВ на частичные дуги Мк-1Мк и от выбора точек Nk на соответствующих частичных дугах , то этот предел ( исходя из указанных выше интуитивных соображений ) мы и будем принимать за массу всей дуги АВ :

(3.2)


К нахождению пределов вида (3.2) приводит решение и многих других задач механики и математики .

Поэтому представляется естественным изучить эти суммы , отвлекаясь от конкретного смысла входящих в них переменных величин.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ КРИВОЛИНЕЙНОГО ИНТЕГРАЛА ПЕРВОГО РОДА

Рассмотрим произвольную функцию f(x,y), определённую вдоль плоской дуги АВ .

Разобьём дугу АВ произвольным образом на n частей точками М12, . . . , Мк-1 , Мк , . . . , Mn-1 .

На каждой частичной дуге возьмём также по произволу точку Nk (xk , hk ) и , вычислив значение функции f(x,y) в каждой из этих точек , составим сумму :

, (3.3)

где Dlk – длина частичной дуги .

Она называется интегральной суммой для функции f(x,y) , заданной на дуге АВ .

Будем неограниченно увеличивать число n точек деления дуги АВ , однако так , чтобы все Dlk стремились к нулю .

Определение .

Если при всех Dlk ®0 интегральная сумма (3.3) имеет конечный предел , не зависящий 1) ни от способа разбиения дуги АВ на частичные дуги Мк-1Мк , 2) ни от выбора точек Nk на частичных дугах , то этот предел называют криволинейным интегралом по длине дуги АВ от функции f(x,y) ( или криволинейный интеграл I рода ).

Криволинейный интеграл по длине дуги обозначается символом

Наши рекомендации