Тригонометрических функций
Основные формулы:
Производные обратных
Тригонометрических функций.
Основные формулы:
Для сложных функций:
Производные показательных и
Логарифмических функций.
Основные формулы:
Если z=z(x) – дифференцируемая
функция от x, то формулы имеют вид:
Логарифмическое дифференцирование.
Вывод производной степенной ф-ции.
y=ax - показательная ф-ция, y=xn - степенная,
y=xx - показательно-степенная.
y=[f(x)]j(x) - показательно-степенная ф-ция.
lny=xlnx - найдем производную от левой
и правой части, считая у ф-цией х.
(1/y)*y`=(lny)
(x*lnx)`=x`lnx+x*(lnx)`=lnx+1
y`=y*(lnx+1)=xx(lnx+1)
Операция, которая заключается в
последовательном применении к
ф-ции y=f(x) сначала логарифмирование,
а затем дифференцирование.
Степенная ф-ция:
1.y=xn, nlnx, y`/y=n/x=n*(x)-1
y`=y*n*(x-1)=n*xn*x-1=n*xn-1
2.y=eU, где U=sinx
U`=cosx, y`=(eU)`=eU*U`=esinx*cosx.
Производная высших порядков ф-ции
Й переменной.
y=f(x)
y``=(y`)`=lim((f`(x+Dx)-f`(x))/Dx)
x®0
y```=(y``)`= lim((f``(x+Dx)-f``(x))/Dx)
f(n)(x)=[f(n-1)(x)]`
Производные 1,2-го порядка неявных ф-ций.
Неявной называется такая ф-ция у аргумента х,
если она задана уравнением F(x,y)=0, не
разрешенным относительно независимой
переменной.
y=f(x), y=x2-1 - явные
F(x,y)=0, a2=x2+y2 - неявные ф-ции.
1)a2=x2+y2 - найдем производную,
продифференцируе,считая у - сложной ф-цией х.
y`=2x+2y=0, т.к. а- постоянная
y*y`=-x, y`=-x/y
2) x3-3xy+y3=0
3x3-3(xy)`+3y2*y`=0 //:3
x2-(x`y+y`x)+y2*y`=0
y`y2-xy`=y-x2
y`=(y-x2)/(y2-x)
Дифференциал ф-ции и его геометрический
Смысл. Св-ва дифференциала.
limy=A, y=A+a
limDy/Dx=y`, Dy/Dx=y`+a, Dy=y`Dx+aDx
Dx®0
Dy=y`Dx+e, где e-б.м.в., величина более
высокого порядка малости,, чем Dx(a), и
ее можно отбросить.
dy=y`Dx
Дифференциалом ф-ции наз. величина,
пропорциональная б.м. приращению аргумента
Dх и отличающаяся от соответствующего
приращения ф-ции на б.м.в. более высокого
порядка малости, чем Dх.
Если y=x, то dy=dx=x`Dx=Dx, dx=Dx
Если y¹x, то dy=y`dx, y`=dy,dx
Геометрический смысл: дифференциал –
изменение ординаты касательной, проведенной
к графику ф-ции в точке (x0,f(x0)) при изменении
x0 на величину Dx
Св-ва:
1. (U±V)`=U`±V`, то (U±V)`dx=U`dx±V`dx,
d(U±V)=d(U±V)
2. (UV)`=U`V+V`U, то (UV)`dx=V`dU+U`dV
3.d(c)=c`dx=0*dx=0
4. d(U/V)`=(V`dU-U`dV)/V2.
Теорема Ролля.
Если функция f(x) непрерывна на
заданном промеж/ [a,b] деффер. на
интервале (a,b) f(a)=f(b) то существует т. с
из интерв. (a,b), такая, что f’(c)=0.
Теорема Лагранжа.
Если функция f(x) непрерывна на [a,b] и
дефференцирована на (a,b), то сущест.
т. с(a,b), такая, что: f(b)-f(a)=f’(c)(b-a).
Доказательство:применим т.Коши,
взяв только g(x)=x, тогда g’(x)=1¹0.
Теорема Коши.
Если f(x), g(x) удовл. трем условиям:
1). f(x), g(x) непрерыв. на промеж [a,b]
2). f(x), g(x) деффер. на интервале (a,b)
3). g’(x)¹0 на интер. (a,b), то сущ. т. с
g(b)¹g(a) (неравны по теореме Ролля).
1). F(x) – непрерывна на [a,b]
2). F(x) – деффиренцирована на (a,b)
3). F(a)=0 ; F(b)=0
по теореме Ролля сущ. сÎ(a,b); F’(с)=0