Признак Веерштрасса равномерной сходимости функционального ряда

(Признак Вейерштрасса) Если числовой ряд с неотрицательными членами Признак Веерштрасса равномерной сходимости функционального ряда - student2.ru сходится и для членов функционального ряда Признак Веерштрасса равномерной сходимости функционального ряда - student2.ru при всех Признак Веерштрасса равномерной сходимости функционального ряда - student2.ru и всех Признак Веерштрасса равномерной сходимости функционального ряда - student2.ru справедливы оценки

Признак Веерштрасса равномерной сходимости функционального ряда - student2.ru ,

то ряд сходится абсолютно и равномерно в области Признак Веерштрасса равномерной сходимости функционального ряда - student2.ru

Говорят в этом случае, что числовой ряд Признак Веерштрасса равномерной сходимости функционального ряда - student2.ru «мажорирует» исходный функциональный ряд, а сам числовой ряд называют мажорантным.

Существует простой признак для проверки равномерной сходимости(принак Вейерштрасса)

Можно рассматривать Признак Веерштрасса равномерной сходимости функционального ряда - student2.ru и при этом сохраняется терминология числовых рядов, связанная с абсолютной и условной сходимостью.

Как и в рядах, абсолютная сходимость сильнее сходимости: из абсолютной сходимости вытекает сходимость.

Теорема (Вейерштрасс):
Признак Веерштрасса равномерной сходимости функционального ряда - student2.ru , Признак Веерштрасса равномерной сходимости функционального ряда - student2.ru , Признак Веерштрасса равномерной сходимости функционального ряда - student2.ru — сходится. Тогда Признак Веерштрасса равномерной сходимости функционального ряда - student2.ru равномерно сходится на Признак Веерштрасса равномерной сходимости функционального ряда - student2.ru .
Доказательство:
 
Применим критерий Коши: Признак Веерштрасса равномерной сходимости функционального ряда - student2.ru Признак Веерштрасса равномерной сходимости функционального ряда - student2.ru Признак Веерштрасса равномерной сходимости функционального ряда - student2.ru Признак Веерштрасса равномерной сходимости функционального ряда - student2.ru Сопоставляя с предыдущим неравенством, которое верно Признак Веерштрасса равномерной сходимости функционального ряда - student2.ru , Признак Веерштрасса равномерной сходимости функционального ряда - student2.ru . Тогда, по критерию Коши, ряд равномерно сходится.

Степенные ряды. Радиус и область сходимости степенного ряда. Теорема Абеля.

Важным случаем функциональных рядов являются степенные ряды:

Признак Веерштрасса равномерной сходимости функционального ряда - student2.ru (13)

или

Признак Веерштрасса равномерной сходимости функционального ряда - student2.ru

Для выяснения свойств степенных рядов достаточно ограничиться рассмотрением рядов вида (13), так как ряд по степеням Признак Веерштрасса равномерной сходимости функционального ряда - student2.ru легко свести к виду (13) заменой переменных Признак Веерштрасса равномерной сходимости функционального ряда - student2.ru , т.е. переносом начала координат в точку Признак Веерштрасса равномерной сходимости функционального ряда - student2.ru

Для выяснения характера области сходимости степенного ряда сформулируем следующую теорему:

Теорема 6.1.(Абеля)Пусть степенной ряд (13) сходится в точке Признак Веерштрасса равномерной сходимости функционального ряда - student2.ru Тогда он сходится абсолютно в любой точке х, для которой Признак Веерштрасса равномерной сходимости функционального ряда - student2.ru и равномерно в любой области Признак Веерштрасса равномерной сходимости функционального ряда - student2.ru .

Если степенной ряд (13) расходится в точке Признак Веерштрасса равномерной сходимости функционального ряда - student2.ru то он расходится и во всех точках Признак Веерштрасса равномерной сходимости функционального ряда - student2.ru таких, что Признак Веерштрасса равномерной сходимости функционального ряда - student2.ru .

Для определения области сходимости степенного ряда используется либо признак Даламбера, либо признак Коши.

Рассмотрим степенной ряд

Признак Веерштрасса равномерной сходимости функционального ряда - student2.ru . (14)

Вычислим предел

Признак Веерштрасса равномерной сходимости функционального ряда - student2.ru .(15)

Если существует предел (15), то ряд (14) сходится, если Признак Веерштрасса равномерной сходимости функционального ряда - student2.ru , и расходится, если Признак Веерштрасса равномерной сходимости функционального ряда - student2.ru . Следовательно, ряд (14) сходится абсолютно, если

Признак Веерштрасса равномерной сходимости функционального ряда - student2.ru ,

и расходится, если

Признак Веерштрасса равномерной сходимости функционального ряда - student2.ru .

Определение. Число Признак Веерштрасса равномерной сходимости функционального ряда - student2.ru , такое, что для всех x, удовлетворяющих условию Признак Веерштрасса равномерной сходимости функционального ряда - student2.ru ряд (13) сходится, а для всех х удовлетворяющих условию Признак Веерштрасса равномерной сходимости функционального ряда - student2.ru ряд расходится, называется радиусом сходимости ряда.

Формула для радиуса сходимости, получаемая с помощью признака Даламбера, имеет вид

Признак Веерштрасса равномерной сходимости функционального ряда - student2.ru (16)

Область сходимости ряда - так называют множество точек сходимости функционального ряда, т.е. множество значений аргумента х, для которых ряд (бесконечная сумма)
сходится

Пример 6.1. Найти область сходимости ряда Область сходимости ряда

Признак Веерштрасса равномерной сходимости функционального ряда - student2.ru при Признак Веерштрасса равномерной сходимости функционального ряда - student2.ru .

По признаку Даламбера:

Признак Веерштрасса равномерной сходимости функционального ряда - student2.ru

что означает, что ряд сходится на всей оси Х.

Признак Веерштрасса равномерной сходимости функционального ряда - student2.ru

Наши рекомендации