Необходимый признак сходимости ряда

При исследовании рядов одним из основных вопросов является вопрос о том, сходится или расходится ряд. Установим условие, при невыполнении которого ряд расходится. Такое условие называется необходимым условием сходимости ряда.

Теорема. Если ряд (1) сходится, то его п-ый член стремится к нулю при неограниченном возрастании п.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Если ряд сходится, то Необходимый признак сходимости ряда - student2.ru также справедливо и равенство Необходимый признак сходимости ряда - student2.ru но un = Sn – Sn-1, или, поскольку Необходимый признак сходимости ряда - student2.ru

Необходимый признак сходимости ряда - student2.ru (4)

Теорема доказана.

Следствие. Если п-ый член ряда не стремится к нулю при п ® ¥, то ряд расходится.

Замечание. Подчеркнём, что из условия, что п-ый член стремится к нулю, ещё не следует, что ряд сходится.

Элементарные свойства рядов

Свойство 1.Сходимость ряда не нарушится, если все его члены умножить на одно и то же число.

Необходимый признак сходимости ряда - student2.ru

Свойство 2.Сумма (разность) двух сходящихся рядов - ряд сходящийся.

Необходимый признак сходимости ряда - student2.ru

Свойство 3. Ряд Необходимый признак сходимости ряда - student2.ru сходится, если соответствующий ряд, составленный из модулей Необходимый признак сходимости ряда - student2.ru - сходящийся. Такой ряд называется абсолютно сходящимся.

Если ряд (1) сходится, а ряд Необходимый признак сходимости ряда - student2.ru расходится, то ряд называется условно сходящимся.

Свойство 3 является следствием свойства 2.

Свойство 4. Если в ряде (1) отбросить конечное число начальных членов, например, р членов, то получим ряд:

up+1+ up+2+ up+3+…+ un+…,

который сходится или расходится одновременно с данным. Это означает, что при исследовании ряда на сходимость можно игнорировать конечное число его членов.

Свойство 5. Если члены ряда (1) неотрицательны, а его частичные суммы ограничены, то такой ряд сходится.

Признак сравнения рядов

Если члены ряда (1) неотрицательны и не превосходят соответствующих членов сходящегося ряда

v1+ v2+ v3+…+ vn+…,

то ряд (1) также сходится.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Запишем частичные суммы рядов

Необходимый признак сходимости ряда - student2.ru = u1+ u2+ u3+…+ un,

Необходимый признак сходимости ряда - student2.ru = v1+ v2+ v3+…+ vn,

где u1 £ v1, u2 £ v2, ¼ По условию Необходимый признак сходимости ряда - student2.ru тогда Sn £ S* и по свойству 5 ряд (1) сходится.

Замечание. Согласно свойству 4, признак сравнения рядов остается в силе, если соответствующие неравенства между их членами выполнены, начиная с некоторого номера n ³ N.

Пример 5. Установить сходимость ряда

Необходимый признак сходимости ряда - student2.ru

Отбросим первый член этого ряда и сравним его со сходящимся рядом (см. пример 4)

Необходимый признак сходимости ряда - student2.ru

Так как

Необходимый признак сходимости ряда - student2.ru

то на основании признака сравнения рядов исходный ряд сходится.

Достаточные признаки сходимости

Представленные далее достаточные признаки сходимости являются одними из многих признаков.

Признак Даламбера

Пусть все члены ряда (1) положительны и пусть при n®¥

Необходимый признак сходимости ряда - student2.ru (5)

тогда, а) если l < 1, то ряд сходится; б) если l > 1, то ряд расходится; в) если l = 1, признак ответа не дает.

Д о к а з а т е л ь с т в о. а) l < 1. Выберем число q, такое, что l < < q < 1. Из определения предела Необходимый признак сходимости ряда - student2.ru начиная с n ³ N,тогда Необходимый признак сходимости ряда - student2.ru при n ³ N. Откуда для n=N, N+1, N+2, N+3, ¼ будем иметь: uN+1 < q uN,

uN+2 < q uN+1 < q2 uN ,

uN+3 < q uN+2 < q3 uN ,

……………………...,

т.е., если в ряде (1) отбросить первые N-1 членов, то получится ряд

uN+ uN+1+ uN+2+¼,

члены которого меньше соответствующих членов сходящегося геометрического ряда со знаменателем q < 1:

uN + q uN + q2 uN +…

На основании признака сравнения и свойства 4, ряд (1) также сходится. Случай б) доказывается аналогично. В случае в) ряд может быть как сходящимся, так и расходящимся.

Признак Коши

Наши рекомендации