Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Для решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами составляется соответствующее характеристическое уравнение: .

- Если корни и характеристического уравнения действительны и различны, то общее решение однородного уравнения будет иметь вид:

.

- Если и действительны и равны между собой, т.е. , то общее решение запишется в виде .

- Если корни являются комплексными числами , , то общее решение представляется в виде

.

Задача 8. Найти общие решения уравнений:

a)
b)
c)

Решение.

а) Составим соответствующее характеристическое уравнение и решим его: , Согласно сказанному выше, общее решение можно записать в виде .

b) Составляем характеристическое уравнение , .Отсюда .

c) Характеристическое уравнение имеет решение .

Следовательно,

Задание для самостоятельной работы

Найти общее решение дифференциальных уравнений:

a)

b)

c)

Ответы к заданию:

a)

b)

c)

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными

Коэффициентами

Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения можно записать в виде где - общее решение соответствующего однородного дифференциального уравнения, а Y - частное решение данного неоднородного уравнения.

Функция Yможет быть найдена методом неопределенных коэффициентовв следующих простейших случаях:

1) , где многочлен степени .

Если не является корнем характеристического уравнения, то частное решение ищут в виде , где многочлен степени с неизвестными коэффициентами.

Если - корень характеристического уравнения кратности

, то .

2)

Если не является корнем характеристического уравнения, то полагают ,

где многочлены степени .

Если корни характеристического уравнения кратности (для уравнений второго порядка ), то полагают .

Функцию, находящуюся в правой части линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами, имеющую вид

принято называть специальной правой частью.

Задача 9. Найти общее решение уравнения

.

Решение. Найдем общее решение однородного дифференциального уравнения . Характеристическое уравнение имеет корни . Следовательно, .

Правая часть уравнения равна . Следовательно, , и поскольку не является корнем характеристического уравнения, то . Поэтому частное решение ищем в виде .

Дифференцируя Yдва раза и подставляя производные в данное уравнение, получим

Сокращая на и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях левой и правой частей последнего равенства, находим:

Отсюда . Значит, общее решение данного уравнения имеет вид

.

Задача 10. Найти общее решение уравнения .

Решениe. Найдем общее решение однородного дифференциального уравнения .

Характеристическое уравнение имеет корни (кратность корня ). Следовательно, .

Правая часть уравнения имеет вид . Тогда . Так как совпадает с корнем кратности , то частное решение ищем в виде .

Дифференцируя Y два раза, подставляя в уравнение и приравнивая коэффициенты, получим: .

Общее решение данного уравнения имеет вид

Задача 11.Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальным условиям .

Решение. Найдем общее решение однородного дифференциального уравнения: .

Составим характеристическое уравнение , его корни Тогда общее решение однородного уравнения будет иметь вид

Правая часть неоднородного дифференциального уравнения в общем виде имеет вид: .

Правая часть данного уравнения, т.е. получается приа=0, b=1, что соответствует числу которое является корнем характеристического уравнения кратности один ( ), поэтому частное решение уравнения нужно искать в виде .

Дифференцируя это выражение два раза и подставляя в данное уравнение найденные значения приравниваем коэффициенты в обеих частях равенства при

В результате получаем систему уравнений:

Решив эту систему уравнений, получим . Следовательно, .

Итак, общее решение неоднородного уравнения будет иметь вид .

Чтобы учесть начальные условия, найдем :

Учитывая, что при выполняются равенства и , находим .

Таким образом, искомое частное решение исходного уравнения, удовлетворяющее начальным условиям, имеет вид: .

Для решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений можно использовать также метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа).

Если и линейно независимые частные решения уравнения , то решение неоднородного уравнения находится в виде: где и функции от , удовлетворяющие системе уравнений:

Задача 12. Найти решение дифференциального уравнения: .

Решение. Решим сначала однородное уравнение , для чего составим характеристическое уравнение . Ясно, что . Итак, получим общее решение однородного уравнения . Отсюда,

Будем теперь искать общее решение нашего неоднородного уравнения в виде , где , и - функции, удовлетворяющие указанной выше системе линейных уравнений.

Составим и решим эту систему с учетом наших данных:

где А – произвольная константа.

Подставляя значение в первое уравнение последней системы, получим

.

Итак, общее решение нашего уравнения

Задание для самостоятельной работы

Найти общее решение дифференциальных уравнений методом вариации произвольных постоянных:

a)

b)

Ответы к заданию:

a)

Указания.Общее решение однородного уравнения Поэтому

Решение неоднородного уравнения следует искать в виде

где , и - функции, удовлетворяющие системе уравнений

Решать эту систему лучше, пользуясь правилом Крамера.

b)

Задача 13. Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее указанным начальным условиям: .

Решение. Прежде чем решать эту задачу, необходимо очень тщательно изучить решение задачи 12.

Найдем сначала общее решение нашего уравнения.

Соответствующее однородное уравнение , а его характеристическое уравнение . Имеем

, . Общее решение однородного уравнения

. Поэтому общее решение неоднородного уравнения будем искать в виде , где и удовлетворяют следующей системе уравнений:

Подставляя значение в первое уравнение системы, получим .

Следовательно, ,

Итак, общее решение неоднородного уравнения имеет вид

.

Найдем теперь частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям, подобрав соответствующие константы А и В:

;

.

По условию

Отсюда следует, что искомое частное решение имеет вид

.