Оцінка випадкових похибок при непрямих вимірюваннях

Результат непрямих вимірювань визначається шляхом розрахунку за якою небудь формулою. Величини, що підставляються у формулу, виходять із прямих вимірювань. Ці величини містять відомі похибки. Отже, і отриманий результат буде містити помилку. Це положення справедливе й для випадкових, і для систематичних похибок.

Варто врахувати, що при непрямих вимірюваннях у кінцеву формулу можуть входити:

а) наближені величини, що є ірраціональними числами. Наприклад, тощо. Ці величини можуть бути взяті з будь-яким ступенем точності, і тому їх можна вважати постійними;

б) наближені значення різних фізичних сталих. Наприклад, - швидкість світла; - постійна Больцмана; - заряд і маса електрона тощо. Ці величини отримані в результаті численних і складних вимірювань і мають більш високий ступінь точності в порівнянні з точністю звичайних вимірювань. Тому ці фізичні величини можна вважати практично точними;

в) наближені значення фізичних величин, отримані в результаті прямих вимірювань. Ці значення й містять як систематичні, так і випадкові похибки.

Розгляньмо методику визначення випадкових похибок при непрямих вимірюваннях. Будемо вважати, що систематичні похибки величин, отримані в результаті прямих вимірювань, виключені.

Нехай шукана величина залежить від двох вхідних у її розрахункову формулу величин і , тобто .Величини й отримані в результаті багаторазових вимірювань, і їх середні арифметичні значення і , а також їхні похибки відомі.

Якщо і одержали приріст і , то величина одержить приріст :

.

Розкладімо праву частину цієї рівності в ряд Тейлора

Виконуючи лінійну інтерполяцію (зневажаючи похідними вище першої), одержимо

. (2.1)

Слід зазначити, що в деяких випадках функціональна залежність між і може бути така, що частинна похідна при визначених значеннях аргументу дорівнює нескінченності. Наприклад:

Отже в околі цих крапок користуватися формулою (2.1) не можна. У цьому випадку необхідно робити параболічну апроксимацію, тобто враховувати і другі похідні.

Визначімо похибку результату непрямого вимірювання для випадку лінійної апроксимації. Для цього зробімо вимірювань величин і .

Похибка для -го вимірювання буде дорівнювати

Піднесімо цей вираз у квадрат:

Просумуймо цю рівність по усім :

Розділивши праву і ліву частини на , одержуємо:

З огляду на що:

тоді

(2.2)

Розгляньмо співмножник останнього доданка, виразивши збільшення через залишкові похибки,

(2.3)

З теорії ймовірності відомо, що коефіцієнт кореляції

При великих математичне сподівання буде:

З урахуванням цих виразів коефіцієнт кореляції можна записати у вигляді:

при ,

а з урахуванням (2.3)

(2.4)

З (2.4) випливає, що

Тоді (2.2) запишімо як

(2.5)

У загальному випадку

(2.6)

Тут

- коефіцієнт кореляції величин і ;

Знак у формулі (2.6) визначає, що підсумовування поширюється на всі різні парні комбінації величин . За цією формулою розраховують середньоквадратичну похибку результату непрямого вимірювання згідно з відомою функціональною залежністю й відомими середньоквадратичними похибками прямих вимірювань.

Варто розрізняти два випадки. Перший випадок, коли і незалежні, другий випадок, коли і залежні.