Оцінка випадкових похибок опосередкованих вимірювань

Оцінку випадкових похибок опосередкованих вимірювань необхідно здійснювати за такою методикою:

1. Визначити для результатів прямих вимірювань і ;

2. Визначити значення невідомої величини ;

3. Обчислити частинні випадкові похибки опосередкованих вимірювань

4. Знайти оцінку СКВ результату опосередкованих вимірювань

5. Знайти (табл.1) коефіцієнт k_t Стьюдента за заданою довірчою ймовірністю Р і кількістю вимірювань n.

6. Знайти граничні значення випадкової складової похибки, яку приймають за похибку опосередкованого вимірювання

7. Записати результат опосередкованого вимірювання:

Таблиця 1 – значення коефіцієнта Стьюдента

n-1	P=0,95	Р=0,99	n-1	P=0,95	P=0,99
	3,182	5,841		2,120	2,921
	2,776	4,604		2,101	2,878
	2,571	4,032		2,086	2,845
	2,447	3,707		2,074	2,819
	2,367	3,500		2,064	2,797
	2,306	3,335		2,056	2,779
	2,262	3,250		2,048	2,763
	2,228	3,169		2,043	2,750
	2,179	3,055
	2,145	2,977	∞	1,960	2,576

Для визначення похибки результату опосередкованого вимірювання необхідно застосувати такі правила:

1. Якщо результат вимірювання представляється сумою або різницею двох і більше виміряних величин:

q = x +…+ z – (u +…+ w),

і похибки Δх, …, Δw незалежні і випадкові, то абсолютна похибка результату може бути визначена за формулою

Коли похибки аргументів корельовані, значення Δq може перевищувати отримане за попередньою формулою, але завжди буде задовільняти умову

.

2. Якщо кінцевий результат вимірювання представляється добутком або часткою двох і більше виміряних значень:

і похибки δх,…,δw незалежні і випадкові, то відносна похибка результату опосередкованого вимірювання визначається

3. Якщо результат опосередкованого вимірювання є функцією однієї величини, q = f(x), то похибка результату визначається

4. В загальному випадку похибка функції декількох величин q = f(x, y, …, w), похибки яких незалежні і випадкові, знаходяться

але сумарна похибка ніколи не перевищить значення

Приклади

Приклад №1

Обчислити щвидкість осідання частинок кремнезему у воді, коли: радіус частинки рівний 2мкм, густина частинки - 3120 кг/м³, густина води - 1000 кг/м³, динамічна в¢язкість води - 1005мкПа×с.

Дано:

r = 2мкм=2·10^-6м

ρ = 3120 кг/м³

ρ₀ = 1000 кг/м³

η = 1005мкПа×с = 10,05·10^-4 Па×с

υ - ?

Розв’язок

Швидкість седиментації частинок описується формулою:.

Оскільки в наших умовах прискорення, яке надається частинкам рівне прискоренню вільного падіння то:

1,84 м/с.

Відповідь: v = 1,84 м/с.

Приклад №2

При розділенні двохкомпонентної суміші на хроматографічній колонці довжиною 50 см було встановлено, що швидкості руху компонентів А і В вздовж колонки відповідно рівні: 2×10^-5 м/с і 6×10^-6 м/с. Визначити константу розділення для цих компонент.

Дано:

=2×10^-5 м/с

=6×10^-6 м/с

L=50 см =0,5м

________________

К_розд. - ?

Розв’язок

Константа розділення рівна відношенню часу затримки компонентів суміші, тобто:

Час затимки компоненту визначається: Тоді:

Отже: ;

Відповідь: К_розд. = 3,33.

Приклад №3

При проходжені світла через шар 10% -ного розчину цукру товщиною 10 см площина поляризації світла повернулась на кут 16,5⁰, а при поляриметрії розчину невідомої концентрації, з товщиною шару 25 см, площина поляризації повернулась на кут 33,0⁰. Визначити концентрацію досліджуваного розчину.

Дано:

с = 10%

l = 10 см

l₁ = 25 см

β = 16,5⁰

β₁ = 33,0⁰

____________

с₁ - ?

Розв’язок

При поляриметричних дослідженнях концентрація розчину визначається за формулою:

, де: α – питоме обертання площини поляризації, β –кут обертання площини поляризації розчином, l – товщина кювети. Тоді: , а . Розділимо с на с_1:

. Отже: % = 8%.

Відповідь: с₁ = 8%.

Приклад №4

При фотометрії калібровочних розчинів іонів міді Си²⁺ в присутності диетилдитіокарбамінату свинцю з хлороформом отримали такі значення оптичної густини:

с ммоль/л	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1,0	1,1
D	0,06	0,11	0,14	0,20	0,25	0,31	0,36	0,40	0,43	0,45	0,46

За даними таблиці побудувати графік залежності оптичної густини розчину D від концентрації іонів заліза c і графічно визначити, в межах яких концентрацій залежність D = f(c) відповідає основному закону світлопоглинання.

Розв’язок

За даними таблиці будуємо графік залежності оптичної густини розчину D від концентрації іонів міді c ммоль/л:

Методом дотичних знаходимо на графіку точку А(C₁;D₁) - точку початкового нахилу кривої. До цієї точки залежність D = f(c) носить прямопропорційний характер. Проводимо перпендикуляр і графічно знаходимо значення кординати С₁ = 0,83 ммоль/л.

Відповідь: В межах концентрацій 0,10 ≤ С ≤ 0,83 ммоль/л залежність D = f(c) носить прямолінійний характер і відповідає закону Бугера – Ламберта – Бера.

Приклад №5

При поляриметрії калібровочних розчинів глюкози отримали такі значення кута обертання площини поляризації:

с г/100мл	5,0	5,5	6,0	6,5	7,0	7,5	8,0	8,5	9,0
β0	39,3	44,3	49,2	54,1	59,0	63,9	68,8	73,7	78,7

Накреслити графік залежності β = f(c) і графічно визначити концентрацію досліджуваного розчину глюкози, який обертає площину поляризації світла на кут β₁ = 63,5⁰.

Розв’язок

За даними таблиці будуємо графік залежності кута повороту площини поляризації β від концентрації глюкози в розчині c г/100мл.

За значенням величини β₁ = 63,5⁰ знаходимо на графіку β = f(c) точку А(с₁; β₁). З точки А проводимо перпендикуляр до осі абсцис і знаходимо значення с₁ = 7, 4 г/100мл.

Відповідь: с₁ = 7,4 г/100мл.

Приклад №6

При кондуктометричному титруванні 100 мл розчину НСl 0,8 нормальним розчином NaОН отримали такі дані:

VNaOH, 10-5м3	0,25	0,50	0,75	1,00	1,25	1,50
χ, Ом-1	0,030	0,025	0,018	0,016	0,017	0,019

Побудувати криву титрування, знайти точку еквівалентності і визначити концентрацію розчину соляної кислоти.

Розв’язок

За даними таблиці будуємо криву титрування зміни провідності титрованого розчину χ від об’єму добавленого титрату.

На кривій χ = f(V) методом дотичних знаходимо точку еквівалентності Е, і провівши перпендикуляр на вісь абсцис, знаходимо еквівалентне значення об’єму титрату, що пішов на титрування соляної кислоти в розчині V_e = 1,12·10^{-5 м3}, тобто 11,2 мл. Знаючи об’єм V_е і концентрацію с_е титрату знаходимо за формулою титрування концентрацію досліджуваного розчину с_х.

.

Відповідь: с_х = 0,0944моль/л.

Приклад №7

При потенціометричному окисно-відновному титруванні 50 мл розчину хлориду трьохвалентного заліза 0,1н розчином хлориду двохвалентного олова отримали такі дані:

мл
Е, мВ

Побудувати криву титрування, знайти еквівалентний об’єм і визначити концентрацію розчину хлориду заліза.

Розв’язок

За даними таблиці будуємо криву титрування зміни окисно-відновного потенціалу титрованого розчину Е від об’єму добавленого титрату.

Методом дотичних знаходимо точки А і В максимального перегину кривої титрування. Проводячи перпендикуляри на вісь абсцис знаходимо значення V₁ =8,3мл і V₂ =9,1мл. За формулою знаходимо еквівалентний об’єм титрату:

, .

Знаючи об’єм Ve і концентрацію титрату с_е знаходимо концентрацію досліджуваного розчину с_х за формулою титрування . .

Відповідь: с_х = 0,0174моль/л.

Приклад №8

Обчислити концентрацію іонів міді с_х в досліджуваному розчині методом стандартних розчинів, якщо оптична густина досліджуваного розчину D_x = 0,42, а оптична густина та концентрація стандартного розчину відповідно рівні: D_ст. = 0,20 ; с_ст.=0,3 ммоль/л.

Дано:

С_ст. = 0,3 ммоль/л

D_ст. = 0,20

D_x = 0,42

____________

с_х - ?

Розв’язок

Знаючи оптичну густину і концетрацію стандартного розчину, концентрацію досліджуваного розчину визначаємо за формулою:

.

Відповідь: с_х = 0,63 ммоль/л.

Приклад №9

При полярографічному дослідженні 40 мл розчину солі срібла висота полярографічної хвилі рівна Н_х = 18 мм, а при додаванні в полярографічну комірку 20 мл стандартного розчину цієї солі, висота полярографічної хвилі збільшилась на 7 мм. Знайти концентрацію с_х іонів срібла в досліджуваному розчині методом добавок, якщо концентрація стандартного розчину с_ст. = 8·10^-4 мг/мл.

Дано:

с_ст. = 8·10^-4 мг/мл

Н_х = 18мм

ΔН = 7мм

V_ст. = 20мл

V_х = 40мл

____________

с_х - ?

Розв’язок

Концентрацію досліджуваного розчину обчислюємо методом стандартних добавок за формулою:

де: с_х і с_ст. – концентрації досліджуваного і стандартного розчинів, H_x – величина півхвилі досліджуваного розчину, H_x+ст. – величина півхвилі досліджуваного розчину після додавання до нього стандартного розчину, V_x і V_ст. – об’єми досліджуваного і стандартного розчинів.

Знаходимо Н_х+ст. = 18мм + 7мм = 25мм і обчислюємо концентрацію

Відповідь: концентрація іонів срібла рівна 5·10^-3 мг/мл.

Приклад №10

Знайти концентрацію розчину піперидину, якщо рН такого розчину визначений потенціометрично рівний рН = 7,5, а ступінь дисоціації основи α = 0,28.

Дано:

рН = 7,5

α = 0,28

____________

с_х - ?

Розв’язок

Знаючи рН розчину основи, знайдемо рОН цього розчину за формулою: рОН = 14 – рН. Отже: рОН = 14-7,5 = 6,5. За величиною рОН знаходимо концентрацію [ОН^-] в розчині піперидину.

Оскільки , то [ОН^-] = 10^-6,5моль/л = 3,16·10^-7моль/л.

Знаючи концентрацію іонів гідроксилу і ступінь дисоціації піперидину знайдемо його концентрацію в розчині, яка буде рівна: , де: [Е] – концентрація електроліту, [I ] – концентрація іону, α – ступінь дисоціації електроліту.

Отже: .

Відповідь: в досліджуваному розчині концентрація піперидину рівна 1,13·10^-6моль/л.

Приклад №11

Обчислити відносну, динамічну і кінематичну в¢язкість ефірної олії на основі вимірювань часу падіння кульки по методу Стокса, коли:

густина ефірної олії – 0,920 г/см³;

густина стандарту - 0,948 г/см³;

густина кульки – 7,87 г/см³;

динамічна в¢язкість стандарту - 9,86 Пз;

час падіння кульки в олії - 32 с;

час падіння кульки в стандарті – 48 с.

Дано:

ρ_к= 7,87 г/см ³

ρ_ст.= 0,948 г/см³

ρ_р= 0,920 г/см³

η_ст. = 9,86Пз

t_ст. = 48с

t_х. = 32с

____________

η_х - ?

Розв’язок

Відносну в¢язкість за методом Стокса визначають за формулою: . Де: ρ_к – густина кульки, ρ_р - густина досліджуваної рідини, ρ_ст. – густина рідини стандарту, t_ст. – час падіння кульки в рідині стандарту, t_р - час падіння кульки в досліджуваній рідині.

Отже: . Динамічна в¢язкість = 0,67·9,86Пз =6,61Пз = 0,661Па·с.

Кінематична в¢язкість рівна = =7,18Ст = 7,18·10^-4м²/с.

Відповідь: динамічна в¢язкість ефірної олії рівна 0,661Па·с, а кінематична - 7,18·10^-4м²/с.