Раздел 4. Термодинамические процессы

Термодинамические процессы идеальных газов

В закрытых системах

Основными процессами, весьма важ­ными и в теоретическом, и в прикладном отношениях, являются: изохорный, протекающий при постоянном объеме; изобарный, протекающий при посто­янном давлении; изотермический, происходящий при постоянной темпера­туре; адиабатный — процесс, при ко­тором отсутствует теплообмен с окружа­ющей средой, и политропный, удов­летворяющий уравнению Раздел 4. Термодинамические процессы - student2.ru .

Метод исследования процессов, не зависящий от их особенностей и являю­щийся общим, состоит в следующем:

выводится уравнение процесса, уста­навливающее связь между начальными и конечными параметрами рабочего тела в данном процессе;

вычисляется работа изменения объема газа;

определяется количество теплоты, подведенной (или отведенной) к газу в процессе;

определяется изменение внутренней энергии системы в процессе;

определяется изменение энтропии системы в процессе.

Изохорный процесс.При изохорном процессе выполняется условие

dv = 0 или v = const. Из уравнения состояния иде­ального газа следует, что p/T=R/v=const, т. е. давление газа прямо пропорционально его абсолютной темпе­ратуре:

Раздел 4. Термодинамические процессы - student2.ru .

Раздел 4. Термодинамические процессы - student2.ru

Рисунок 5.1 - Изображение изохорного процесса в р,v- и T, s-координатах

Работа расширения в этом процессе равна нулю, так как dv= 0.

Количество теплоты, подведенной к рабочему телу в процессе 12 при Раздел 4. Термодинамические процессы - student2.ru , определяется как:

Раздел 4. Термодинамические процессы - student2.ru

При переменной теплоемкости Раздел 4. Термодинамические процессы - student2.ru , где Раздел 4. Термодинамические процессы - student2.ru — средняя массовая изохорная теплоемкость в интервале темпера­тур от t1 до t2.

Так как 1= 0, то в соответствии с пер­вым законом термодинамики Раздел 4. Термодинамические процессы - student2.ru и

Раздел 4. Термодинамические процессы - student2.ru

Раздел 4. Термодинамические процессы - student2.ru

Поскольку внутренняя энергия идеально­го газа является функцией только его температуры, то полученные формулы справед­ливы для любого термодинамического процесса идеального газа.

Изменение энтропии в изохорном процессе определяется по формуле

Раздел 4. Термодинамические процессы - student2.ru ,

т. е. зависимость энтропии от температу­ры на изохоре при сv = const имеет лога­рифмический характер.

Изобарный процесс.Из уравнения состояния идеального газа при р=const находим Раздел 4. Термодинамические процессы - student2.ru , или Раздел 4. Термодинамические процессы - student2.ru , т. е. в изобарном процессе объем газа пропорционален его абсолютной темпе­ратуре (закон Гей-Люссака, 1802 г.). На рисунке изображен график процесса.

Раздел 4. Термодинамические процессы - student2.ru

Рисунок 5.2 - Изображение изобарного процесса в p,v- и T,s-координатах

Из выражения Раздел 4. Термодинамические процессы - student2.ru следует, что Раздел 4. Термодинамические процессы - student2.ru .

Так как Раздел 4. Термодинамические процессы - student2.ru и Раздел 4. Термодинамические процессы - student2.ru , то одно­временно

Раздел 4. Термодинамические процессы - student2.ru

Количество теплоты, сообщаемое га­зу при нагревании (или отдаваемое им при охлаждении):

Раздел 4. Термодинамические процессы - student2.ru ,

где Раздел 4. Термодинамические процессы - student2.ru — средняя массовая изобарная теплоемкость в интервале темпера­тур от t1до t2при Раздел 4. Термодинамические процессы - student2.ru = const

Раздел 4. Термодинамические процессы - student2.ru .

Изменение энтропии при ср = const согласно равно

Раздел 4. Термодинамические процессы - student2.ru ,

т. е. температурная зависимость энтро­пии при изобарном процессе тоже имеет логарифмический характер, но поскольку срv, то изобара в Т,s-диаграмме идет более полого, чем изохора.

Изотермический процесс.При изотер­мическом процессе температура постоян­на, следовательно, pv = RT = const, или

Раздел 4. Термодинамические процессы - student2.ru ,

т. е. давление и объем обратно пропорци­ональны друг другу, так что при изо­термическом сжатии давление газа воз­растает, а при расширении — падает (закон Бойля — Мариотта, 1662 г.).

Графиком изотермического процесса в р,v –координатах является равнобокая гипербола, для которой координатные оси служат асимптотами .

Работа процесса:

Раздел 4. Термодинамические процессы - student2.ru .

Так как температура не меняется, то внутренняя энергия идеального газа в данном процессе остается постоянной ( Раздел 4. Термодинамические процессы - student2.ru ) и вся подводимая к газу тепло­та полностью превращается в работу расширения:

Раздел 4. Термодинамические процессы - student2.ru

Раздел 4. Термодинамические процессы - student2.ru

Рисунок 5.3 - Изображение изотермического про­цесса в р, v- и T, s-координатах.

При изотермическом сжатии от газа от­водится теплота в количестве, равном затраченной на сжатие работе.

Изменение энтропии в изотермиче­ском процессе выражается формулой

Раздел 4. Термодинамические процессы - student2.ru .

Адиабатный процесс.Процесс, про­исходящий без теплообмена с окружаю­щей средой, называется адиабатным, т. е. Раздел 4. Термодинамические процессы - student2.ru . Для того чтобы осуществить та­кой процесс, следует либо теплоизолиро­вать газ, т. е. поместить его в адиабат­ную оболочку, либо провести процесс на­столько быстро, чтобы изменение темпе­ратуры газа, обусловленное его тепло­обменом с окружающей средой, было пренебрежимо мало по сравнению с из­менением температуры, вызванным рас­ширением или сжатием газа. Как прави­ло, это возможно, ибо теплообмен про­исходит значительно медленнее, чем сжатие или расширение газа.

Уравнения первого закона термоди­намика для адиабатного процесса прини­мают вид: Раздел 4. Термодинамические процессы - student2.ru . Поделив первое уравнение на второе, получим

Раздел 4. Термодинамические процессы - student2.ru

Интегрируя последнее уравнение при условии, что k =cp/cv=const, находим

Раздел 4. Термодинамические процессы - student2.ru

После потенцирования имеем

Раздел 4. Термодинамические процессы - student2.ru . *

Это и есть уравнения адиабаты идеаль­ного газа при постоянном отношении теплоемкостей (k = const). Величина

Раздел 4. Термодинамические процессы - student2.ru

называется показателем адиаба­ты. Подставив cp = cv-R, получим k. Согласно классической кине­тической теории теплоемкость газов не зависит от температуры, по­этому можно считать, что величина k также не зависит от температуры и оп­ределяется числом степеней свободы мо­лекулы. Для одноатомного газа k=1,66 для двухатомного k=1,4, для трех- и многоатомных газов k=l,33.

Поскольку k>1, то в координатах р,v линия адиабаты идет круче линии изотермы: при адиабатном расши­рении давление понижается быстрее, чем при изотермическом, так как в процессе расширения уменьшается температура газа.

Раздел 4. Термодинамические процессы - student2.ru

Рисунок 5.4 - Изображение адиабатного процесса в р, v- и Т, s-координатах

Определив из уравнения состояния, написанного для состояний 1и 2, отно­шение объемов или давлений, получим уравнение адиабатного процесса в форме, выражающей зависимость температуры от объема или давления:

Раздел 4. Термодинамические процессы - student2.ru ;

Раздел 4. Термодинамические процессы - student2.ru .

Работа расширения при адиабатном процессе согласно первому закону термодинамики совершается за счет уменьшения внутренней энергии и может быть вычислена по одной из следующих формул:

Раздел 4. Термодинамические процессы - student2.ru .

Так как Раздел 4. Термодинамические процессы - student2.ru и Раздел 4. Термодинамические процессы - student2.ru , то

Раздел 4. Термодинамические процессы - student2.ru .

В данном процессе теплообмен газа с окружающей средой исключается, по­этому q=0. Выражение Раздел 4. Термодинамические процессы - student2.ru пока­зывает, что теплоемкость адиабатного процесса равна нулю.

Поскольку при адиабатном процессе Раздел 4. Термодинамические процессы - student2.ru = 0, энтропия рабочего тела не изме­няется (ds=0 и s=const). Следователь­но, на Т,s-диаграмме адиабатный про­цесс изображается вертикалью.

Политропный процесс и его обобща­ющее значение.Любой произвольный процесс можно описать в р,v-координатах (по крайней мере на небольшом участке) уравнением

Раздел 4. Термодинамические процессы - student2.ru ,

подбирая соответствующее значение п. Процесс, описываемый таким уравнением, называется политропным. Показатель политропы n может прини­мать любое численное значение в преде­лах от Раздел 4. Термодинамические процессы - student2.ru , но для данного процесса он является величиной посто­янной.

Из уравнения Клапейрона нетрудно получить выраже­ния, устанавливающие связь между р, v и Т в любых двух точках на политропе, аналогично тому, как это было сделано для адиабаты:

Раздел 4. Термодинамические процессы - student2.ru ; Раздел 4. Термодинамические процессы - student2.ru ; Раздел 4. Термодинамические процессы - student2.ru . (5.1)

Работа расширения газа в политропном процессе имеет вид Раздел 4. Термодинамические процессы - student2.ru .

Так как для политропы в соответст­вии с (5.1)

Раздел 4. Термодинамические процессы - student2.ru ,

то

Раздел 4. Термодинамические процессы - student2.ru (5.2)

Уравнение (5.1) можно преобразо­вать к виду:

Раздел 4. Термодинамические процессы - student2.ru

Количество подведенной (или отве­денной) в процессе теплоты можно опре­делить с помощью уравнения первого закона термодинамики: Раздел 4. Термодинамические процессы - student2.ru .

Поскольку Раздел 4. Термодинамические процессы - student2.ru , то

Раздел 4. Термодинамические процессы - student2.ru ,

где

Раздел 4. Термодинамические процессы - student2.ru

представляет собой теплоемкость иде­ального газа в политропном процессе. При постоянных cv, k и п теплоемкость сn = const, поэтому политропный процесс иногда определяют как процесс с посто­янной теплоемкостью.

Изменение энтропии

Раздел 4. Термодинамические процессы - student2.ru .

Политропный процесс имеет обобща­ющее значение, ибо охватывает всю со­вокупность основных термодинамических процессов. Ниже приведены характери­стики термодинамических процессов.

Процесс п Раздел 4. Термодинамические процессы - student2.ru
Изохорный Раздел 4. Термодинамические процессы - student2.ru Раздел 4. Термодинамические процессы - student2.ru
Изобарный 0 Раздел 4. Термодинамические процессы - student2.ru
Изотермический 1 Раздел 4. Термодинамические процессы - student2.ru
Адиабатный k 0

На рисунке показано взаимное распо­ложение на р, V- и Т, s-диаграммах политропных процессов с разными значения­ми показателя политропы. Все процессы начинаются в одной точке («в центре»).

Раздел 4. Термодинамические процессы - student2.ru

Рисунок 5.5 - Изображение основных термоди­намических процессов идеального газа в р, v- и Т, s-координатах

Изохора (п= ± Раздел 4. Термодинамические процессы - student2.ru ) делит поле диаг­раммы на две области: процессы, нахо­дящиеся правее изохоры, характеризу­ются положительной работой, так как сопровождаются расширением рабочего тела; для процессов, расположенных ле­вее изохоры, характерна отрицательная работа.

Процессы, расположенные правее и выше адиабаты, идут с подводом теп­лоты к рабочему телу; процессы, лежа­щие левее и ниже адиабаты, протекают с отводом теплоты.

Для процессов, расположенных над изотермой ( = 1), характерно увеличе­ние внутренней энергии газа; процессы, расположенные под изотермой, сопро­вождаются уменьшением внутренней энергии.

Процессы, расположенные между адиабатой и изотермой, имеют отрица­тельную теплоемкость, так как Раздел 4. Термодинамические процессы - student2.ru и du (а следовательно, и dT), имеют в этой области противоположные знаки. В таких процессах Раздел 4. Термодинамические процессы - student2.ru , поэтому на производство работы при расширении тратится не только подводимая теплота, но и часть внутренней энергии рабочего тела.

Эксергия

Основываясь на втором начале термодинамики, установим количествен­ное соотношение между работой, кото­рая могла бы быть совершена системой при данных внешних условиях в случае протекания в ней равновесных процес­сов, и действительной работой, произво­димой в тех же условиях, при неравно­весных процессах.

Рассмотрим изолированную систему, состоящую из горячего источника с тем­пературой Ti, холодного источника (ок­ружающей среды) с температурой То и рабочего тела, совершающего цикл.

Работоспособностью (или эксергией) теплоты Q1, отбирае­мой от горячего источника с температу­рой Т1, называется максимальная полез­ная работа, которая может быть полу­чена за счет этой теплоты при условии, что холодным источником является окру­жающая среда с температурой То.

Из предыдущего ясно, что макси­мальная полезная работа L'макс теплоты Q1 представляет собой работу равновес­ного цикла Карно, осуществляемого в диапазоне температур T1 –T0.

Раздел 4. Термодинамические процессы - student2.ru ,

где Раздел 4. Термодинамические процессы - student2.ru .

Таким образом, эксергия теплоты Q1

Раздел 4. Термодинамические процессы - student2.ru ,

т. е. работоспособность теплоты тем больше, чем меньше отношение Раздел 4. Термодинамические процессы - student2.ru . При Раздел 4. Термодинамические процессы - student2.ru она равна нулю.

Полезную работу, полученную за счет теплоты Q1 горячего источника, можно представить в виде Раздел 4. Термодинамические процессы - student2.ru , где Раздел 4. Термодинамические процессы - student2.ru — теплота, отдаваемая в цикле холодному источнику (окружающей сре­де) с температурой Раздел 4. Термодинамические процессы - student2.ru .

Если через Раздел 4. Термодинамические процессы - student2.ru обозначить прира­щение энтропии холодного источника, то Раздел 4. Термодинамические процессы - student2.ru , тогда

Раздел 4. Термодинамические процессы - student2.ru . (5.3)

Если бы в рассматриваемой изолиро­ванной системе протекали только равно­весные процессы, то энтропия системы оставалась бы неизменной, а увеличение энтропии холодного источника Раздел 4. Термодинамические процессы - student2.ru рав­нялось бы уменьшению энтропии горяче­го. В этом случае за счет теплоты Q1 можно было бы получить максималь­ную полезную работу

Раздел 4. Термодинамические процессы - student2.ru

что следует из уравнения (5.3).

Действительное количество работы, произведенной в этих же условиях, но при неравновесных процессах, определя­ется уравнением (5.3).

Таким образом, потерю работоспо­собности теплоты можно записать как Раздел 4. Термодинамические процессы - student2.ru , но разность Раздел 4. Термодинамические процессы - student2.ru представляет собой изменение энтропии рассматривае­мой изолированной системы, поэтому

Раздел 4. Термодинамические процессы - student2.ru . (5.4)

Величина Раздел 4. Термодинамические процессы - student2.ru определяет потерю работы, обусловленную рассеиванием энергии вследствие неравновесности про­текающих в системе процессов. Чем больше неравновесность процессов, мерой которой является увеличение энтропии изолированной системы Раздел 4. Термодинамические процессы - student2.ru , тем меньше производимая системой работа.

Уравнение (5.4) называют уравне­нием Гюи — Стодолы по имени француз­ского физика М. Гюи, получившего это уравнение в 1889 г., и словацкого тепло­техника А. Стодолы, впервые применив­шего это уравнение.

ЛЕКЦИЯ 6

Наши рекомендации