Циркуляция вектора магнитной индукции

Циркуляцией вектора магнитной индукции по заданному замкну-тому контуру называется интеграл по этому контуру:

∫ Bdl = ∫ Bl dl,	(1.5.1)
L	L

где dl – вектор элементарной длины контура, направленной вдоль об-

хода контура; B_l = Bcosα – составляющая вектора B в направлении касательной к контуру, с учетом выбранного направления обхода;

α − угол между векторами B и dl .

dl	А	R
β	dl1′
B		α
dα
	I

L

Рис. 1.5.1

Для магнитного поля бесконечного прямолинейного проводника с током силой I, находящегося в вакууме, рассчитаем циркуляцию век-тора магнитной индукции вдоль некоторого замкнутого контура L, ох-

ватывающего проводник с током, т. е. вычислим интеграл ∫ B_l dl . Для

L

этого мысленно разобьем контур L на элементы длиной dl (рис. 1.5.1). При вычислении циркуляции нужно учитывать направление (знак) силы тока по отношению к выбранному направлению обхода контура. Правило знаков для токов:сила тока считается положительной,еслинаправление тока и направление обхода контура удовлетворяют пра-вилу правого винта (буравчика), ток противоположного направления считается отрицательным.

С учетом выражения (1.3.5) для магнитной индукции прямолиней-ного тока в вакууме определим циркуляцию вектора B по контуру L:

∫		=∫ Bdlcosβ= ∫μ0	I
Bdl	dlcosβ.
2πR
L		L	L

(1.5.2)

Из рисунка видно, что:

_{dl =} dl ^*₌ Rdα_.cosβ cosβ

Подставим выражение (1.5.3) в (1.5.2):

∫		= ∫ μ 0	I	dl cosβ=∫μ0	I		Rdα
Bdl		cosβ =
2πR
L		L	L	2πR cosβ

^μ₂⁰_π^{I 2}_∫0^π dα=μ₀ I.

(1.5.3)

(1.5.4)

Далее рассмотрим случай , когда замкнутый контур L не охваты-вает проводник с током, т. е. такой ток не пронизывает поверхность этого контура (рис. 1.5.2). При вычислении циркуляции интеграл по L

разделим на два интеграла:
∫ Bdl =∫	Bdl	+ ∫	Bdl .	(1.5.5)
L	1а2				1b2
	L
	2					dl
		B

b

α₂

α₁ α

Рис. 1.5.2

При интегрировании на участке 1а2 угол α изменяется от α₁ до α₂, на участке 1b2 угол α изменяется от α₂ до α₁. В результате с уче-том предыдущего получаем:

			μ 0 I	α 2		μ 0 I	α1
∫	=	∫	d α+	∫ dα = 0 .	(1.5.6)
Bdl
L			2π	α		2π	α

Таким образом, рассмотрев два случая, можно сделать следую-щий вывод:

∫		μ0 I − контурохватываетпроводник стоком	(1.5.7)
Bdl =	− контур неохватываетпроводник с током
L		0

Это утверждение справедливо для магнитных полей, созданных проводниками с током любой формы и размеров, т. е. формула универ-сальна. Поэтому, если поле создается системой произвольных по форме проводников с токами силой I_i (i = 1, 2, ..., n), то с помощью формулы (1.5.7) и принципа суперпозиции магнитных полей (1.1.2) можно рас-считать циркуляцию напряженности B результирующего поля

		n			n		k
∫ Bdl	= ∫ ∑ Bi dl	= ∑ ∫ Bi dl	= μ0 ∑Ii ,	(1.5.8)
L		L i =1			i =1 L		i=1

где k ≤ n.

В результате преобразований мы получили теорему о циркуля-ции вектораBв вакуумев интегральной форме(или иначезакон полного тока для магнитного поля в вакууме):циркуляция векторамагнитной индукции по произвольному замкнутому контуру равна произведению магнитной постоянной μ₀ на алгебраическую сумму токов, охватываемых этим контуром

		k
∫ Bdl	= μ0 ∑Ii ,	(1.5.9)
L		i=1

где k – число проводников с токами, охватываемое контуром L произ-вольной формы.

Эта теорема справедлива только для поля в вакууме. Из получен-ного результата следует, что магнитное поле непотенциально, оно вихревое.

Так как магнитная индукция в вакууме связана с напряженностью магнитного поля соотношением B = μ₀ H , то можно получить теорему о циркуляции напряженности в интегральной форме

	k
∫ Hdl	= ∑Ii .	(1.5.10)
L	i=1
Между циркуляцией вектора магнитной индукции B	и циркуля-

цией вектора напряженности электрического поля E существует сле-дующее различие:

1) циркуляция вектора E электростатического поля всегда равна нулю, то есть поле является потенциальным;

2) циркуляция вектора B магнитного поля не равна нулю, то есть такое поле является вихревым.

Получим теорему о циркуляции магнитной индукции в вакууме в дифференциальной форме. Если контур L находится в сплошной про-водящей среде , то значение полного тока, пронизывающего поверх-ность контура, можно определить, как поток вектора плотности тока через поверхность S, ограниченную этим контуром

		k	∫ jn dS.
		∑I i =			(1.5.11)
		i=1	S
Подставим выражение (1.5.11) в формулу (1.5.9) и применим тео-
рему Стокса ( ∫ Adl	= ∫(rotA )n	dS ).
	L	S					(1.5.12)
∫ Bdl	= μ 0 ∫ jn dS ⇒ ∫ (rot B )n dS = μ 0	∫ jn dS ⇒rotB =μ0	j.
L	S	S			S
Результат подстановки – теорема о циркуляции вектора магнит-
ной индукции в вакууме в дифференциальной форме
			rotB = μ0 j.			(1.5.13)
Теорема о циркуляции вектора напряженности магнитного поля в
дифференциальной форме будет иметь вид:
			rotH = j.			(1.5.14)

Уравнение (1.5.14) математически выражает тот факт , что маг-нитное поле имеет вихревой характер и его источниками являются электрические токи.