Плоскость, проходящая через линии действия сил пары, называется плоскостью действия пары. Расстояние d между линиями действия сил пары - плечом пары.

Моментом пары называется величина, равная взятому с соответствующим знаком произведению модуля одной из сил пары на ее плечо :

Теорема Алгебраическая сумма моментов сил пары относительно любого центра , лежащего в плоскости ее действия, не зависит от выбора этого центра и равна моменту пары.

В самом деле. Возьмем в плоскости действия пары любую точку О. Найдем

Рис.8.5

Сложим эти два выражения, получим

8.2.3. Эквивалентность пар

Не изменяя оказываемого на тело действия, можно пару сил, приложенную к абсолютно твердому телу, заменить любой другой парой, лежащей в той же плоскости и имеющей тот же момент.

док- во

Пусть на твердое тело действует пара сил ( с плечом . Проведем в плоскости действия пары через произвольные точки

Рис.8.6

D и E две параллельные прямые до пересечения их с линиями действия сил пары ( ) в точках А и В и приложим силы и в этих точках. Расстояние между прямыми AD и BE обозначим . Разложим теперь силу по направлениям ВА и DA на силы и , а силу - по направлениям АВ и BE на силы и . Очевидно, при этом , . Силы и , как уравновешенные, можно отбросить.

В результате пара сил будет заменена парой ( ) с другим плечом и другими силами, которые можно, очевидно, приложить в точках D и E на их линиях действия. При этом, в силу произвола в выборе точек D и E , и направлений прямых AD и BE, пара может оказаться расположенной в плоскости ее действия, где угодно.

Покажем, что моменты пар ( и (

равны. В самом деле, так как сила является равнодействующей сил и , то по теореме Вариньона

.

Но , ,

Следовательно, , т.е. моменты пар равны друг другу.

Из доказанной теоремы вытекают следующие свойства пары сил :

1) данную пару, не изменяя оказываемого ею на тело действия, можно переносить куда угодно в плоскости действия пары;

2) у данной пары, не изменяя оказываемого ею на тело действия, можно произвольно менять модули сил или длину плеча, сохраняя неизменным ее момент.

Отсюда следует, что две пары, лежащие в одной плоскости и имеющие одинаковые моменты, эквивалентны, т.к. указанными операциями (т.е. путем изменения плеча и перемещения в плоскости действия) они могут преобразованы одна в другую.

По доказанному следует, чтобы задать пару, лежащую в данной плоскости, достаточно задать ее момент; чему при этом равны силы пары или ее плечо и где пара расположена в плоскости действия - не существенно. Поэтому, особенно в технике, пару сил часто изображают круговой стрелкой, указывающей направление поворота, не изображая сами силы (рис.8.7)

Рис. 8.7

Сложение пар, лежащих в одной плоскости. Условие равновесия пар.

Теорема. Система пар, лежащих в одной плоскости, эквивалентна одной паре, лежащей в той же плоскости и имеющей момент, равный алгебраической сумме моментов слагаемых пар.

док-во:

Пусть для определенности на тело действуют три пары с моментами ,

(рис.8.8). На основании теоремы об эквивалентности пар мы можем заменить эти пары тремя парами ( ), ( ),

( имеющими общее плечо d и такие же моменты:

, - ,

Рис.8.8

Сложив теперь отдельно силы, приложенные в точках А и В , получим в точке В силу , а в точке А - силу , которые по модулю будут равны

В результате вся система пар заменяется одной парой ( ) с моментом

Аналогично можно показать, что система, состоящая из n пар с моментами заменяется одной парой с моментом .

Из этой теоремы вытекает, что для равновесие плоской системы пар

необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма моментов этих пар была равна нулю

ПРИМЕР. На шестерню 1 радиуса действует пара сил с моментом . Определить момент пары, которую надо приложить к шестерне 2 радиуса чтобы сохранить равновесие.

Рис.8.9

Рассмотрим равновесие шестерни 1. На неё действует пара с моментом , которая может быть уравновешена только действием другой пары, в данном случае пары ( . Условие равновесия:

или .

Рассмотрим условия равновесия шестерни 2. На неё со стороны шестерни 1 действует сила , которая перпендикулярна к радиусу и образует с реакцией шарнира В пару с моментом . Эта пара и должна уравновеситься приложенной к шестерне 2 парой с моментом . Условие равновесия . Так как , то получим .