Плечом силы называется кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы
Скалярная величина 
называется момент инерции материальной точки относительно осивращения ZZ′.
Просуммируем (23) по всем элементам массы тела: 
. Получим:
или в векторном виде 
(24)
Здесь 
- результирующий момент силы, действующий на тело; 
- момент инерции тела.
Равенство (24) называется основным уравнением динамики вращательного движения. Т.к. скалярная величина J всегда положительная, то векторные величины 
и 
всегда направлены в одну сторону вдоль оси вращения тела.
Основное уравнение динамики вращательного движения по форме сходно с математическим выражением второго закона Ньютона :
↔ 
Из сопоставления вытекает, что при вращательном движении роль силы играет момент силы (вращательный момент), а инертные свойства тела выражаются моментом инерции тела – J.
МОМЕНТ ИМПУЛЬСА. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА
Моментом импульса материальной точки относительно оси вращения называют векторную величину, модуль которой
. 
(25)
Тогда момент импульса абсолютно твердого тела относительно неподвижной оси вращения
или в векторной форме 
, (26)
т.е. 
лежит на оси вращения и совпадает по направлению с 
(на-
правление определяется так же как и для – по правилу буравчика).
Запишем для нашего тела основное уравнение динамики вращательного движения в виде:
(27)
Если М = 0, то dL/dt = 0 т.е.
L = Jw = const. (28)
Момент импульса тела остается неизменным, если суммарный момент всех внешних сил действующих на тело равен нулю – это закон сохранения момента импульса.
Для системы из N тел, которые вращаются вокруг общей оси, закон сохранения импульса записывается в виде:
. (29)
МОМЕНТ ИНЕРЦИИ ТВЁРДЫХ ТЕЛ РАЗНОЙ ФОРМЫ
ТЕОРЕМА ШТЕЙНЕРА
Из определения момента инерции тел в общем виде:
(30)
следует, что эта величина является аддитивной. Это означает, что моменты инерции тел в некоторых случаях можно найти интегрированием исходя из геометрических соображений.
В качестве примера найдём момент инерции J тонкого стержня длиной l, массой m и диаметром d << l относительно оси 
проходящей через его центр масс перпендикулярно к стержню (Рис. 4). Выделим на расстоянии х от оси вращения элемент стержня бесконечно малой толщины dx.
Масса этого элемента dm = r×S×dx, где r – плотность материала, S – площадь поперечного сечения. Момент инерции элемента массы dm:
() Учитывая, что элементы массы dm попарно симметричны относитель-
но оси вращения 00', проинтегрируем левую часть () в пределах от 0 до J, а правую в пределах от 0 до l/2. Получим:
()
Т.к. 
– масса стержня, то окончательно для тонкого стержня
(33)
Определим момент инерции диск или цилиндра радиусом R, высотой h и массой m относительно его геометрической оси, параллельной образующей. Выделим цилиндрический слой бесконечно малой толщины dr и радиусом r. Очевидно, что все элементы этого слоя будут иметь одинаковые моменты инерции. Это, значит, что момент инерции слоя
.
Т.к. r изменяется в пределах от r = 0 до r = R, то интегрируя получим:
но 
, 
(36)
Без выводов запишем:
а) шар радиусом R и массой m, относительно оси, проходящей через его центр – 
(31)
б) полый тонкостенный цилиндр радиусом R и массой m, относительно его геометрической оси, параллельной образующей –
(32)
Согласно теореме Штейнера момент инерции тела – J относительно любой оси, параллельной оси проходящей через центр масс этого тела –
, (33)
где J0 – момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс, d – расстояние между осями. Например, если ось вращения проходит через конец стержня,
 |
то 
(34)
В качестве примера Определим момент инерции J тонкого стержня длиной l, массой m и диаметром d<<l. Относительно оси к перпендикулярной
а) тонкий однородный стержень.
к стержню и проходящей через его центр масс.
Выделим на расстоянии х от оси вращения элемент стержня бесконечно малой толщины dx.
Масса этого элемента dm = r×S×dx, где r-плотность материала,
S-площадь поперечного сечения. Момент инерции элемента массы dm
Интегрируем левую и правую части в пределах от 0 до J и правую от 0 до l/2. Учитывая, что элементы попарно симметричны, получим:
Т.к. 
, то окончательно 
(33)
б) диск или цилиндр радиусом R, высотой h и массой m.
Определим момент инерции цилиндра относительно его геометрической оси, параллельной образующей.
Выделим цилиндрический слой бесконечно малой толщины dr и радиусом r. Очевидно, что все элементы этого слоя будут иметь одинаковые моменты инерции. Это, значит, что момент инерции слоя
.
Т.к. r изменяется в пределах от r = 0 до r = R, то интегрируя получим:
но 
, 
(36)
Без выводов запишем:
а) тонкий однородный стержень –
(31)
б) диск или цилиндр радиусом R, высотой h и массой m -
(32)
Согласно теореме Штейнера момент инерции тела - J относительно любой оси, параллельной оси проходящей через центр масс этого тела
, (33)
где J0 – момент инерции тела относительно оси через центр масс, d - расстояние между осями. Например, если ось вращения проходит через конец стержня,
| |
то (34)
В качестве примера найдём момент инерции J тонкого стержня длиной l, массой m и диаметром d<<l. Относительно оси к перпендикулярной
а) тонкий однородный стержень.
к стержню и проходящей через его центр масс.
Выделим на расстоянии х от оси вращения элемент стержня бесконечно малой толщины dx.
Масса этого элемента dm = r×S×dx, где r-плотность материала,
S-площадь поперечного сечения. Момент инерции элемента массы dm
Интегрируем левую и правую части в пределах от 0 до J и правую от 0 до l/2. Учитывая, что элементы попарно симметричны, получим:
Т.к. , то окончательно (33)
б) диск или цилиндр радиусом R, высотой h и массой m.
Определим момент инерции цилиндра относительно его геометрической оси, параллельной образующей.
Выделим цилиндрический слой бесконечно малой толщины dr и радиусом r. Очевидно, что все элементы этого слоя будут иметь одинаковые моменты инерции. Это, значит, что момент инерции слоя
.
Т.к. r изменяется в пределах от r = 0 до r = R, то интегрируя получим:
но ,
(36)
Без выводов запишем:
а) тонкий однородный стержень –
(31)
б) диск или цилиндр радиусом R, высотой h и массой m -
(32)
Согласно теореме Штейнера момент инерции тела - J относительно любой оси, параллельной оси проходящей через центр масс этого тела
, (33)
где J0 – момент инерции тела относительно оси через центр масс, d - расстояние между осями. Например, если ось вращения проходит через конец стержня,
| |
то (34)
Без выводов запишем:
а) тонкий однородный стержень – ДОПОЛНИТЬ ВЫВОДОМ
(31)
б) диск или цилиндр радиусом R, высотой h и массой m -
(32)
Согласно теореме Штейнера момент инерции тела - J относительно любой оси, параллельной оси проходящей через центр масс этого тела
,(33)
где J0 – момент инерции тела относительно оси через центр масс, d - расстояние между осями. Например, для стержня, если ось вращения проходит через его конец (рис.1):
(34)