Закон полного тока для магнитного поля в вакууме

(теорема о циркуляции вектора магнитной индукции)

где n – число проводников с токами, охватываемых контуром L произвольной формы.

1.
Существует принципиальное различие между циркуляцией вектора напряженности электрического поля Е и циркуляцией вектора магнитной индукции В: циркуляция Е почти всегда равна нулю, циркуляция В не равна нулюи это означает, что магнитное поле является вихревым.

2.
Теорема о циркуляции вектора магнитной индукции играет в магнитостатике такую же роль, как и теорема Остроградского-Гаусса в электростатике.

2. Рассчитаем, применяя теорему о циркуляции, индукцию магнитного поля внутри соленоида. Рассмотрим соленоид длиной l, имеющий N витков, по которому течет ток (рис. 175). Длину соленоида считаем во много раз больше, чем диаметр его витков, т. е. рассматриваемый соленоид бесконечно длинный. Экспериментальное изучение магнитного поля соленоида (см. рис. 162, б) показывает, что внутри соленоида поле является однородным, вне соленоида — неоднородным и очень слабым.

3. На рис. 175 представлены линии магнитной индукции внутри и вне соленоида. Чем соленоид длиннее,тем меньше магнитная индукция вне его. Поэтому приближенно можно считать, что поле бесконечно длинного соленоида сосредоточено целиком внутри него, а полем вне соленоида можно пренебречь.

4. Для нахождения магнитной индукции В выберем замкнутый прямоугольный кон­тур ABCDA, как показано на рис. 175. Циркуляция вектора В по замкнутому контуру ABCDA, охватывающему все N витков, согласно (118.1), равна

5.

6. Интеграл по ABCDA можно представить в виде четырех интегралов: по АВ, ВС, CD и DA. На участках АВ и CD контур перпендикулярен линиям магнитной индукции и B_l=0. На участке вне соленоида B=0. На участке DA циркуляция вектора В равна Вl (контур совпадает с линией магнитной индукции); следовательно,

7. (119.1)

8. Из (119.1) приходим к выражению для магнитной индукции поля внутри соленоида (в вакууме):

9. (119.2)

10. Получили, что поле внутри соленоида однородно (краевыми эффектами в областях, прилегающих к торцам соленоида, при расчетах пренебрегают). Однако отметим, что вывод этой формулы не совсем корректен (линии магнитной индукции замкнуты, и интеграл по внешнему участку магнитного поля строго нулю не равен). Корректно рассчитать поле внутри соленоида можно, применяя закон Био - Савара - Лапласа; в результате получается та же формула (119.2).

11. Важное значение для практики имеет также магнитное поле тороида — кольцевой катушки, витки которой намотаны на сердечник, имеющий форму тора (рис. 176). Магнитное поле, как показывает опыт, сосредоточено внутри тороида, вне его поле отсутствует.

12.

13. Линии магнитной индукции в данном случае, как следует из соображений симмет­рии, есть окружности, центры которых расположены по оси тороида. В качестве контура выберем одну такую окружность радиуса r. Тогда, по теореме о циркуляции (118.1), B×2pr=m₀NI, откуда следует, что магнитная индукция внутри тороида (в вакууме)

14.

15. где N — число витков тороида.

16. Если контур проходит вне тороида, то токов он не охватывает и B×2pr=0. Это означает, что поле вне тороида отсутствует (что показывает и опыт).