Собственные значения и собственные векторы

Пусть задано линейно преобразование вида

собственные значения и собственные векторы - student2.ru , (1)

которое вполне определяется матрицей коэффициентов собственные значения и собственные векторы - student2.ru

( собственные значения и собственные векторы - student2.ru )

собственные значения и собственные векторы - student2.ru .

Матрица А называется матрицей линейного преобразования.

Вектор собственные значения и собственные векторы - student2.ru называется собственным вектором линейного преобразования, заданного матрицей А , если найдется такое число λ , что выполняется условие собственные значения и собственные векторы - student2.ru .

Это число λ называют собственным значением линейного преобразования, соответствующим собственному вектору собственные значения и собственные векторы - student2.ru .

Каждое собственное значение матрицы А является корнем ее характеристического уравнения

собственные значения и собственные векторы - student2.ru . (2)

Координаты собственных векторов, соответствующих найденным собственным значениям, находят из системы уравнений

собственные значения и собственные векторы - student2.ru . (3)

Пример. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей

собственные значения и собственные векторы - student2.ru . собственные значения и собственные векторы - student2.ru

Решение. Составляем характеристическое уравнение

собственные значения и собственные векторы - student2.ru .

Раскроем определитель по правилу треугольника

собственные значения и собственные векторы - student2.ru

В результате преобразований последнее выражение примет вид:

собственные значения и собственные векторы - student2.ru .

Разложим левую часть уравнения на множители

собственные значения и собственные векторы - student2.ru ,

собственные значения и собственные векторы - student2.ru ,

собственные значения и собственные векторы - student2.ru .

Решением уравнения собственные значения и собственные векторы - student2.ru будут значения собственные значения и собственные векторы - student2.ru , собственные значения и собственные векторы - student2.ru , которые являются собственными значениями матрицы А.

Для отыскания координат собственных векторов составим систему уравнений

собственные значения и собственные векторы - student2.ru

Найдем собственные векторы, соответствующие значению собственные значения и собственные векторы - student2.ru .

При собственные значения и собственные векторы - student2.ru получим систему уравнений

собственные значения и собственные векторы - student2.ru ,

или

собственные значения и собственные векторы - student2.ru .

Легко видеть, что ранг матрицы системы равен 1, и система эквивалентна одному уравнению:

собственные значения и собственные векторы - student2.ru ,

откуда

собственные значения и собственные векторы - student2.ru .

Если принять собственные значения и собственные векторы - student2.ru , а собственные значения и собственные векторы - student2.ru , то значение собственные значения и собственные векторы - student2.ru будет равно собственные значения и собственные векторы - student2.ru , где собственные значения и собственные векторы - student2.ru и собственные значения и собственные векторы - student2.ru - произвольные действительные числа.

Таким образом, все собственные векторы, соответствующие собственные значения и собственные векторы - student2.ru , определяются равенством

собственные значения и собственные векторы - student2.ru .

Найдем собственные векторы, соответствующие собственные значения и собственные векторы - student2.ru .

При собственные значения и собственные векторы - student2.ru получим систему уравнений

собственные значения и собственные векторы - student2.ru

или

собственные значения и собственные векторы - student2.ru .

Запишем матрицу этой системы уравнений

собственные значения и собственные векторы - student2.ru .

Так как определитель этой матрицы равен 0, а минор второго порядка

собственные значения и собственные векторы - student2.ru ,

то ранг матрицы равен двум, и первые два уравнения системы линейно независимы. Оставим в системе только независимые уравнения, члены с собственные значения и собственные векторы - student2.ru перенесем в правые части уравнений:

собственные значения и собственные векторы - student2.ru .

Пусть собственные значения и собственные векторы - student2.ru , где собственные значения и собственные векторы - student2.ru - любое действительное число. Тогда система уравнений примет вид:

собственные значения и собственные векторы - student2.ru .

Решим эту систему методом Гаусса

собственные значения и собственные векторы - student2.ru ~ собственные значения и собственные векторы - student2.ru ,

собственные значения и собственные векторы - student2.ru ,

собственные значения и собственные векторы - student2.ru , собственные значения и собственные векторы - student2.ru .

Таким образом, все собственные векторы, соответствующие собственные значения и собственные векторы - student2.ru , определяются равенством

собственные значения и собственные векторы - student2.ru

или

собственные значения и собственные векторы - student2.ru .

Ответ.При собственном значении собственные значения и собственные векторы - student2.ru собственные векторы равны собственные значения и собственные векторы - student2.ru . При собственном значении собственные значения и собственные векторы - student2.ru собственные векторы равны собственные значения и собственные векторы - student2.ru .

Задачи для самостоятельного решения

Найти собственные векторы матрицы и соответствующие им собственные значения:

  1. собственные значения и собственные векторы - student2.ru .
  2. собственные значения и собственные векторы - student2.ru .
  3. собственные значения и собственные векторы - student2.ru .

Ответы: 1) собственные значения и собственные векторы - student2.ru , собственные значения и собственные векторы - student2.ru , собственные значения и собственные векторы - student2.ru , собственные значения и собственные векторы - student2.ru ,

2) собственные значения и собственные векторы - student2.ru , собственные значения и собственные векторы - student2.ru , собственные значения и собственные векторы - student2.ru собственные значения и собственные векторы - student2.ru собственные значения и собственные векторы - student2.ru собственные значения и собственные векторы - student2.ru , 3) собственные значения и собственные векторы - student2.ru , собственные значения и собственные векторы - student2.ru ,

собственные значения и собственные векторы - student2.ru собственные значения и собственные векторы - student2.ru - любой вектор, удовлетворяющий условию собственные значения и собственные векторы - student2.ru .

ОГЛАВЛЕНИЕ

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Основные понятия и определения

1.2.Методы решения систем линейных уравнений

Метод Крамера

Матричный метод

Метод Гаусса

1.3.Задачи для самостоятельного решения

1.4 Вопросы для подготовки к экзамену

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

Наши рекомендации