Собственные значения и собственные векторы
Пусть задано линейно преобразование вида
, (1)
которое вполне определяется матрицей коэффициентов
( )
.
Матрица А называется матрицей линейного преобразования.
Вектор называется собственным вектором линейного преобразования, заданного матрицей А , если найдется такое число λ , что выполняется условие .
Это число λ называют собственным значением линейного преобразования, соответствующим собственному вектору .
Каждое собственное значение матрицы А является корнем ее характеристического уравнения
. (2)
Координаты собственных векторов, соответствующих найденным собственным значениям, находят из системы уравнений
. (3)
Пример. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей
.
Решение. Составляем характеристическое уравнение
.
Раскроем определитель по правилу треугольника
В результате преобразований последнее выражение примет вид:
.
Разложим левую часть уравнения на множители
,
,
.
Решением уравнения будут значения , , которые являются собственными значениями матрицы А.
Для отыскания координат собственных векторов составим систему уравнений
Найдем собственные векторы, соответствующие значению .
При получим систему уравнений
,
или
.
Легко видеть, что ранг матрицы системы равен 1, и система эквивалентна одному уравнению:
,
откуда
.
Если принять , а , то значение будет равно , где и - произвольные действительные числа.
Таким образом, все собственные векторы, соответствующие , определяются равенством
.
Найдем собственные векторы, соответствующие .
При получим систему уравнений
или
.
Запишем матрицу этой системы уравнений
.
Так как определитель этой матрицы равен 0, а минор второго порядка
,
то ранг матрицы равен двум, и первые два уравнения системы линейно независимы. Оставим в системе только независимые уравнения, члены с перенесем в правые части уравнений:
.
Пусть , где - любое действительное число. Тогда система уравнений примет вид:
.
Решим эту систему методом Гаусса
~ ,
,
, .
Таким образом, все собственные векторы, соответствующие , определяются равенством
или
.
Ответ.При собственном значении собственные векторы равны . При собственном значении собственные векторы равны .
Задачи для самостоятельного решения
Найти собственные векторы матрицы и соответствующие им собственные значения:
- .
- .
- .
Ответы: 1) , , , ,
2) , , , 3) , ,
- любой вектор, удовлетворяющий условию .
ОГЛАВЛЕНИЕ
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
Основные понятия и определения
1.2.Методы решения систем линейных уравнений
Метод Крамера
Матричный метод
Метод Гаусса
1.3.Задачи для самостоятельного решения
1.4 Вопросы для подготовки к экзамену
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА