Системы линейных алгебраических уравнений в задачах механики

Лекция 1

Введение. Задачи механики, приводящие к системам линейных уравнений

ВВЕДЕНИЕ

Настоящий курс продолжает изучение численных методов, используемых в механике деформируемого твердого тела. Рассмотренные в программе для бакалавров метод конечных элементов и метод конечных разностей позволяют перейти от математической модели конструкций с бесконечным числом степеней свободы к приближенной конечномерной модели. Несмотря на различие в подходах, и метод конечных элементов, и метод конечных разностей, и ряд других методов (метод граничных элементов, метод коллокаций, метод Ритца и т.п.) приводят, как правило, к одному и тому же набору вычислительных задач.

1. Задача статики (определение напряжений и перемещений в конструкции под действием постоянных, не изменяющихся во времени нагрузок) сводится к системе линейных уравнений:

, (1.1)

где ¾ матрица жесткости конструкции; ‑ вектор перемещений узловых точек; ‑ вектор внешних сил.

2. В случае если нагрузки, приложенные к конструкции, вызывают деформации, при которых зависимость напряжений от деформаций перестает быть линейной (напряжения выше предела пропорциональности), задача статики существенно усложняется. В этом случае поведение конструкции описывается уже на системой (1.1), а системой нелинейных уравнений:

(1.2)

Или, в векторной записи:

(1.3)

Для задач механики часто возможно сформулировать задачу (1.3) в виде

, (1.4)

то есть матрица жесткости не является постоянной, а сама зависит от перемещений.

3. Задача определения частот и форм собственных колебаний конструкции сводится к алгебраической проблеме собственных значений:

, (1.5)

4. Задача динамики (поведение конструкции под действием нагрузки, изменяющейся во времени) сводится к системе дифференциальных уравнений:

. (1.6)

В первой части курса рассмотрены методы решения систем линейных уравнений (1.1). Подробно рассмотрены прямые методы: метод Гаусса и метод Холецкого. По итерационным методам дана ознакомительная информация.

Во второй части рассмотрены методы решения нелинейных уравнений и систем таких уравнений

Третья часть посвящена методам решения симметричной задачи о собственных значениях (1.5). Метод вращений и степенной метод изложены достаточно полно. О QR-алгоритме, методе Ланцоша и методе итераций в подпространстве приводятся только ознакомительные сведения.

Четвертая часть знакомит читателя с численными методами решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

ЧАСТЬ 1.

РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Системы линейных алгебраических уравнений в задачах механики

Для иллюстрации того, как при решении задач статики получаются системы линейных уравнений, рассмотрим простейшую конструкцию (рис.1.1).

Два груза, последовательно подвешенные на пружинах с жесткостями и , могут совершать вертикальные перемещения. и - силы, приложенные к этим грузам; и - перемещения грузов. Используя закон Гука[1], записываем два уравнения равновесия (рис.1.2).

В результате получаем систему двух линейных уравнений:

(1.7)

Эта система позволяет по известным внешним силам и определить перемещения и . Используя матричные обозначения, эту систему можно записать следующим образом:

, (1.8)

где

(1.9)

В программе бакалауреата был рассмотрен метод конечных элементов, который позволяет задачи механики для сплошной деформируемой среды приближенно заменять моделями с конечным числом степеней свободы. Детально этот метод был рассмотрен раньше, здесь напомним только, что согласно этому методу:

1. Непрерывное тело разбивается на отдельные части – конечные элементы.

2. На границах этих элементов выбираются некоторые точки – узлы; перемещения узлов, а иногда (рис 1.3) и повороты, принимаются в качестве основных неизвестных – обобщенных координат.

3. Внешняя распределенная нагрузка заменяется системой эквивалентных сил, приложенных в узлах.

4. Перемещения узловых точек элемента однозначно определяют перемещения его внутренних точек.

5. Следовательно, потенциальная энергия конечных элементов и всей упругой системы однозначно определяется ее узловыми перемещениями.

В линейных задачах (деформации пропорциональны напряжениям) потенциальная энергия представляет собой квадратичную форму:

, (1.10)

где – вектор узловых перемещений (см рис 1.3), – матрица жесткости системы, – количество узловых перемещений.

Таким образом, в результате применения метода конечных элементов упругое тело представляется как система с конечным числом степеней свободы (узловых перемещений) , к узловым точкам которой приложены внешние силы .

Рис.1.3

Из курса теоретической механики [1.1] известно, что конфигурация механической системы является положением равновесия в том и только в том случае, когда все обобщенные силы равны нулю. В данном случае эти силы будут складываться из потенциальных сил и внешних сил , следовательно, условия равновесия системы:

. (1.11)

Учитывая симметрию матрицы жесткости , для производной потенциальной энергии получаем

(1.12)

Подставляя (1.12) в (1.11), получаем

. (1.13)

К системе вида (1.13) сводятся задачи статики и при использовании многих других методов дискретизации непрерывной задачи: метода конечных разностей, метода граничных элементов, метода Ритца.

Система уравнений (1.13) была получена при предположении о линейной зависимости напряжений и деформаций. Однако при решении задач с нелинейным поведением материала также, как правило, возникает необходимость решения систем линейных уравнений. При этом решение нелинейной задачи находится в результате решения последовательности линейных задач.

Действительная кривая материала заменяется ломаной (секущие модули на рис. 1.4,б). В пределах каждого отрезка поведение материала считается линейным. Другой вариант (касательные модули на рис. 1.4,а) также рассматривает поведение материала как линейное в пределах малого диапазона деформаций. В этом случае в качестве модуля упругости принимается тангенс угла наклона касательной к диаграмме при данной деформации.

В обоих случаях расчет проводится методом последовательных приближений. Сначала как для обычной линейной задачи строится и решается система уравнений:

. (1.14)

Полученное первое приближение позволяет, используя полученные значения деформаций в элементах, уточнить в соответствии с диаграммой значение модуля упругости для каждого элемента и построить матрицу жесткости второго приближения . Вновь решается система

. (1.15)

Полученное решение вновь используется для уточнения матрицы жесткости. Этот процесс продолжается до достижения сходимости.

Замечание. Здесь кратко описана процедура, представляющая один из вариантов метода простых итераций. Подробнее вопрос о методах решения систем нелинейных уравнений будет рассмотрен во второй части курса.

Таким образом, важность систем линейных уравнений в задачах механики установлена. Переходим к методам, используемым для ее решения.

Литература

1. Гантмахер Ф.Р. Лекции по аналитической механике. – М.: Наука, 1966. – 300с.

[1] Гук Роберт (1635-1703) – английский естествоиспытатель, разносторонний ученый и экспериментатор, архитектор.