Братная функция, сложная функция .

Действительные числа

Множество действительных чисел - это вместе взятые множества рациональных и иррациональных чисел.

Действительное число или как его еще называют вещественное число - это любое положительное число, отрицательное число или нуль.

Действительные числа разделяются на рациональные и иррациональные.

Вещественные (действительные) числа - это своего рода математическая абстракция, служащая для представления физических величин. Такие числа могут быть интуитивно представлены как отношение двух величин одной размерности, или описывающие положение точек на прямой. Множество вещественных чисел обозначается и часто называется вещественной или числовой прямой. Формально вещественные числа состоят из более простых объектов таких, как целые и рациональные числа.
Множество действительных чисел обозначается - R

Числовая ось –прямая, на которой изображаются действительные числа. Для превращения обычной прямой в числовую ось необходимо:

• выбрать положительное направление – одно из двух возможных на прямой (обычно слева - направо);
• выбрать начало отсчёта О и точку А – конец единичного отрезка (единицу масштаба).

Тогда всякое действительное число будет изображаться точкой числовой оси по следующим правилам. Число 0 изображается точкой О, число 1 – точкой А. Если число х положительно, оно изображается точкой В, такой что она находится по ту же сторону от точки О, что и точка А, причём на таком расстоянии от точки О, что . Если же число х отрицательно, оно изображается такой точкой С, которая находится по разные стороны от точки О с точкой А, а расстояние ОСудовлетворяет условию .

Такое соответствие между множеством точек прямой и множеством действительных чисел взаимно однозначно. Поэтому часто понятия «точка числовой прямой» и «действительное число» не различаются, в частности, оба вышеупомянутых множества обозначаются одной и той же буквой R.

На нашей модели числовой прямой расстояние от точки, изображающей число а, до начала отсчёта равно | a | – модулю (абсолютной величине) числа а; расстояние между числами а и b (точками на числовой оси) равно | a – b |. Середина отрезка с концами а и b занята числом .

3. Числовые промежутки. Окрестность точки

Числовыми промежутками (интервалами) называют подмножества всех действительных чисел, имеющих следующий вид:[a; b] = {х : α ≤ х ≤ b} — отрезок (сегмент, замкнутый промежуток); (a; ) = {х : а < х < b} — интервал (открытый промежуток); [a;b) = {х : а ≤ х < b}; (a; b] = {х : а < х ≤ b} — полуоткрытые интервалы (или полуоткрытые отрезки); (-∞; b] = {х : х ≤ b}; [α, +∞) = {х : х ≥ α}; (-∞; b) = {х : х <b}; (а, +∞) = {х : х > а}; (-∞, ∞) = {х : -∞<х<+∞} = R — бесконечные интервалы (промежутки).Окрестностью точки хо называется любой интервал (a; b), содержащий точку x0. В частности, интервал (хо-ε,хо+ε), где ε >0, называется ε-окрестностью точки хо. Число хо называется центром.

4. Числовые функции. График функции. Способы задания функций

Определение : Числовой функцией называется соответствие, которое каждому числу х из некоторого заданного множества сопоставляет единственное число y.

Обозначение:

y = f(x),

где x – независимая переменная (аргумент), y – зависимая переменная (функция). Множество значений x называется областью определения функции (обозначается D(f)). Множество значений y называется областью значений функции (обозначается E(f)). Графиком функции называется множество точек плоскости с координатами (x, f(x))

Графиком функции называется множество всех точек на координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты - соответствующим значениям функции. Если некоторому значению x=x₀ соответствуют несколько значений (а не одно) y, то такое соответствие не является функцией. Для того чтобы множество точек координатной плоскости являлось графиком некоторой функции, необходимо и достаточно, чтобы любая прямая параллельная оси Оу, пересекалась с графиком не более чем в одной точке.

Способы задания функции.

1. аналитический способ (с помощью математической формулы);

2. табличный способ (с помощью таблицы);

3. описательный способ (с помощью словесного описания);

4. графический способ (с помощью графика).

5. Основные характеристики функции (монотонность, четность-нечетность, периодичность)

Монотонность функции

Функция f(x) называется возрастающей на данном числовом промежутке, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Представьте, что некоторая точка движется по графику слева направо. Тогда точка будет как бы "взбираться" вверх по графику.

Функция f(x) называется убывающей на данном числовом промежутке, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Представьте, что некоторая точка движется по графику слева направо. Тогда точка будет как бы "скатываться" вниз по графику.

Функция, только возрастающая или только убывающая на данном числовом промежутке, называется монотонной на этом промежутке.

Четные и нечетные функции

Четная функция обладает следующими свойствами:
1) Область определения симметрична относительно точки (0; 0), то есть если точка aпринадлежит области определения, то точка -a также принадлежит области определения.
2) Для любого значения x, принадлежащего области определения , выполняется равенство f(-x)=f(x)
3) График четной функции симметричен относительно оси Оу.

Нечетная функция обладает следующими свойствами:
1) Область определения симметрична относительно точки (0; 0).
2) для любого значения x, принадлежащего области определения , выполняется равенство f(-x)=-f(x)
3) График нечетной функции симметричен относительно начала координат (0; 0).

Не всякая функция является четной или нечетной. Функции общего вида не являются ни четными, ни нечетными.

Периодические функции

Функция f называется периодической, если существует такое число , что при любом x из области определения выполняется равенство f(x)=f(x-T)=f(x+T). T - это период функции.

Всякая периодическая функция имеет бесконечное множество периодов. На практике обычно рассматривают наименьший положительный период.

Значения периодической функции через промежуток, равный периоду, повторяются. Это используют при построении графиков.

братная функция, сложная функция .

Пусть даны отображения и , такие, что пересечения и - непустое множество Æ.

Тогда вводится новое отображение, , которое включает новой функции

и закон соответствия получается по формуле:

- отображ. сложная функция (композиция).

Пример:

Обратная функция:

При взаимооднозн. отображении X на Y с пом. функции эти множества симм. относительно этого отображения, т.е. наряду с функцией существует обр. ф-я

Д/з: называется обратной взаимооднозн. ф-и , если каждому элементу ставят в соотв. так, что .

Замечание: y взаимнообр. ф-й D(f) и E(f) мен. местами

Замечание 2: если для обр. функций сделать замену переменных , чтобы то гр-ни функций и симм. отн. бессектр. 1 и 3 квадратов.

Пример: обр. ф-я –